第7章二階動態(tài)電路分析

1、第七章作業(yè)：第七章作業(yè)：7- 7-1 7-1 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng) 7-2 7-2 二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng)二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng) 7-3 7-3 二階電路的沖激響應(yīng)二階電路的沖激響應(yīng) 7-1 二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)二、二階電路的零輸入響應(yīng)二、二階電路的零輸入響應(yīng)一、二階電路一、二階電路用二階微分方程描述的動態(tài)電路稱為用二階微分方程描述的動態(tài)電路稱為二階電路二階電路。 當(dāng)二階電路無外施激勵時(shí)，由儲能元件的初始狀當(dāng)二階電路無外施激勵時(shí)，由儲能元件的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，稱為態(tài)引起的響應(yīng)，稱為二階電路的零輸入響應(yīng)二階電路的零輸入響應(yīng)。0(0 ),

2、(0 )0CLUUi( )CUt22d, , dCCCLRLUdUd UdiiCuRiRCuLLCtdtdtdt22d0CCCd UULCRCUdtdt例例:k kRC CLUci電路方程電路方程(KVL) :以以 為變量為變量,得得: 齊次方程的特征根齊次方程的特征根:210LCsRCs 21221()221()22RRSLLLCRRSLLLC 電路方程為二階齊次方程電路方程為二階齊次方程, 電路包含二個動態(tài)元件電路包含二個動態(tài)元件,故稱故稱為為二階電路二階電路.齊次方程根：齊次方程根：210LCsRCs 21,2()42RCRCLCsLC 2LRC21()02RLLC12,S S1212(

3、 ),Cs ts tUtAeA e0(0 )CUU0d(0 )0dCLtUiCt00CtdUdt01211220UAAASA S2102112021SAUSSSAUSS 二階電路根據(jù)電路參數(shù)不同二階電路根據(jù)電路參數(shù)不同,其電容電壓過渡其電容電壓過渡過程過程(輸出響應(yīng)輸出響應(yīng))也不同也不同.1) 當(dāng)當(dāng), 即即,特征根為二個不等負(fù)實(shí)根特征根為二個不等負(fù)實(shí)根初始條件初始條件, 即即,代入上式代入上式 得得 過阻尼過阻尼12120212112021( )(ee)d(ee)dS tS tCS tS tCUUtSSSSUS SiCCUtSS有有1201221d(ee)dS tS tcLiUuLSStSS過

4、渡過程單調(diào)衰減過渡過程單調(diào)衰減, 電路無電路無振蕩振蕩. t U0 uC uL iL U0 t1 t2 可見CLR2 時(shí)，電路出現(xiàn)“過阻尼”情況，響應(yīng)的波形為：ucictm2tmtU00uL 在“過阻尼”狀態(tài)下，電容電壓單調(diào)衰減最終趨于零，始終處于放電狀態(tài)，放電電流由零增大；對應(yīng)tm時(shí)刻達(dá)到最大，之后衰減到零。顯然，這種情況下uC和i是非振蕩的，沒有正、負(fù)交替狀況。電路中的原始能量全部消耗在電阻上。10 ,1,4,SUV CF RK12( )CUt(0 )(0 )10CCUUV0(0 )0CLtdUiCdt 21,2122RRSLLLC 12268, 3732SS 12122121(0 )(0

5、 ) 10.77,0.77CCSUSAUASSSS 例例1:K從從, 求求.RLC CK KiLUsUc1 12 2解解:2683732( )(10.77e0.77e)ttCUtV1,LH式中式中 為待定系數(shù)，由初始條件而定為待定系數(shù)，由初始條件而定.2LRC212RLLC20CCCd UdULCRCUdtdt21,2d1()22RRSjLLLC 2RL22201()2dRLCL0( )sin()tCdUtAet,A2), 即即(振蕩放電過程振蕩放電過程) RLC CiUc方程方程齊次方程特征根齊次方程特征根:式中式中:衰減系數(shù)，衰減系數(shù)，振蕩角頻率振蕩角頻率諧振角頻率諧振角頻率過渡過程一般形

6、式過渡過程一般形式:欠阻尼欠阻尼1000sin0sincosdddtgUAAU 0(0 ),CUU由由 得得00CtdUdtdote波形圖波形圖電容電壓衰減振蕩，衰減由電容電壓衰減振蕩，衰減由決定。決定。100( )sin()tdCddUtUettg電流最大值出現(xiàn)時(shí)間電流最大值出現(xiàn)時(shí)間:10sin()cos()01ddddddittdtttg電容電感元件之間有周期性的能量交換。電容電感元件之間有周期性的能量交換。00esin()esin()ttCdddddUUUCttdtLLit t( ) timaxi可見CLR2 時(shí)，電路出現(xiàn)“欠阻尼”情況，響應(yīng)的波形為：2tm 在“欠阻尼”狀態(tài)下，電容電壓

7、和電路中的充、放電電流均為減幅振蕩。顯然，這種情況下電場和磁場交替建立和釋放，能量隨著在電阻上的消耗越來越少直至消耗完畢。tU00ucictm415,1700,6 10SUKV CF R96 10LH( )i tmaxi94366 106 10223.75 101700 10LRC2513 10dLC 65045 10sin8.3 10sin(3 10 )ddttUetet ALi 例例2：脈沖磁場電流產(chǎn)生。：脈沖磁場電流產(chǎn)生。RLC CK KiLUsUc,求求及及.解：二階電路，解：二階電路，振蕩過程：振蕩過程：45 10 .2RL 11651164.6 103 10ddttgtg656ma

8、x465 104.6 108.3 10sin(3 104.6 10 )ei 6max6.3 10iA當(dāng)當(dāng)秒秒0R 00,d00( )sin(90 )cu tUt討論討論 : 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 無衰減振蕩無衰減振蕩,t tte( )CUt( )CUtt t0R 0R 2LRC2102RLLC122RSSL 12( )()eCtUtAA t1 ,1,1 ,1SRLH CF UV Li( )CUt3., 即即方程為重根方程為重根 (單調(diào)衰減單調(diào)衰減)例例3:K閉合已久閉合已久,求求K打開后打開后和和.UCC CRRLiLK KUs22LRRC 12RL解解: 判別電路狀態(tài)判別電路狀態(tài)臨界阻尼臨界阻尼臨界阻

9、尼臨界阻尼12, ( )()etCUtAA tUCC CRRLiL (0 )(0 )1CCUU方程解方程解:初始條件初始條件:代入得代入得: 0(0 )(0 )1,CLLtdUiiCdt (0 )1CdUdt 1121210 10AAAAA ( )e. e CCttLdUUtVCAdti 即即討論：討論：RLC 串聯(lián)時(shí)串聯(lián)時(shí),增大增大R可抑制振蕩可抑制振蕩.RLC并聯(lián)時(shí)并聯(lián)時(shí), 減小減小R可抑制振蕩可抑制振蕩.22ddd dddCCLLUUCULLCttRti0LCUU220.CCCd UdUCLCUdtRdt221,24111222bbacSaRLRLLC 1 2LRC12LRC例例: 判別

10、電路響應(yīng)形式判別電路響應(yīng)形式.UCC CRLiL建立電路方程建立電路方程d. dCCLUUCRti回路方程回路方程:特征根特征根判別式判別式:,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 二個負(fù)實(shí)根二個負(fù)實(shí)根, 無振蕩無振蕩.RLC CK KiLUsUc1 12 2例例: 建立電感電流為變量的二階建立電感電流為變量的二階電路方程。電路方程。1( )( )CLuti t dtC( )0LLCdiLR iutdt求導(dǎo)：求導(dǎo)：220LLLd idiLCRCidtdt初始條件：初始條件：(0 )0Li(0 )1(0 )LCdiudtL 7-2 二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng)二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng)( )1( )SSUtUtUs

11、(t)RLC CUc數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型： 電容電壓階躍響應(yīng)電容電壓階躍響應(yīng)一、二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一、二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)二、二階電路的階躍響應(yīng)二、二階電路的階躍響應(yīng)二階電路的二階電路的初始儲能為零初始儲能為零（電容電壓為零，電感電流為（電容電壓為零，電感電流為零），僅由外施激勵引起的響應(yīng)。零），僅由外施激勵引起的響應(yīng)。二階電路在二階電路在階躍激勵階躍激勵下的下的零狀態(tài)零狀態(tài)響應(yīng)。響應(yīng)。(0 )0, (0 )0.CLUi( )CUt22ddddCCCSUULCRCUUttCSUU 例例 :Us(t)RLC CUc求求.解解: 電路方程電路方程(二階非齊次方程二階非齊次方程).方程解方程解=特解

12、特解+通解通解方程特解方程特解 (穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解):( )1( )SSUtUt通解通解: 1. 當(dāng)當(dāng)3 ,22LRRC 221,21()1.5(1.5)122RRSLLLC (過阻尼過阻尼)1 ,CF1 ,2 ,3 .設(shè)設(shè):1,LH分別為分別為R10.38, S 0.382.6212( )ttCSUtUK eK e0(0 )0, 0CCtdUUdt000.382.62( )1.170.17CttUtUUeU e2 ,22LRRC 1212RSSL 012( )()tCUtUAA t e0d(0)0, 0dCCtUUt初始條件初始條件:代入解出得代入解出得:2.當(dāng)當(dāng)臨界阻尼臨界阻尼, 由初始條件由

13、初始條件: 得得:00( )(1)CtUtUUt e2 2.62S 1 22LRRC 212003( )sin113,222 (0)0, ().0 2 CCCdtRLLCUtUAdUUdett1000sin360 2130sincos322UAtgAU 00223( )sin(60 )23CtUtUU et3.當(dāng)當(dāng),欠阻尼振蕩欠阻尼振蕩323t42.413 3ts0(2.41)CUU當(dāng)當(dāng)即即時(shí)時(shí),波形圖波形圖 隨著隨著R減小減小, 系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩, R越小越小, 超調(diào)量越大超調(diào)量越大. 響應(yīng)速度與超調(diào)量是互相關(guān)聯(lián)的響應(yīng)速度與超調(diào)量是互相關(guān)聯(lián)的,在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮二者

14、之間的關(guān)。二者之間的關(guān)。(參見自動控制于理論參見自動控制于理論).02.41ts1 ,;CSRUU 2 ,R 0.69;CSUU3 ,0.53CSRUU 討論討論: 減小減小R可使系統(tǒng)響應(yīng)加快可使系統(tǒng)響應(yīng)加快, 在在時(shí)時(shí),.t tUCt tO OR1R3例例:如圖電路如圖電路,1210 ,2 ,RR R1R2C CLUciLUs1 1Us2 2k k1 12 2C=0.25F, L=2H, 126 ,12 ,SSUV UV開關(guān)開關(guān)K在在1已久已久,求求K打至打至2后電后電感電流和電容電壓感電流和電容電壓.解解: 初始值初始值(0 )t112(0 )0.5SLUiARR2(0 )(0 )1CLU

15、RiV開關(guān)切換后開關(guān)切換后, 取電容電壓為求解變量取電容電壓為求解變量:CCLduuiCdtR三、二階電路的全響應(yīng)三、二階電路的全響應(yīng)如果把如果把R2去掉，去掉，那么初始值又那么初始值又是多少？是多少？12LLCSdiLRiuUdtCCLduuiCdtR2112222()(1)CCCSd uduRLLCRCuUdtRdtRR1R2C CLUciLUs2 2代入數(shù)字代入數(shù)字2271224CCCd uduudtdt方程特解方程特解( )2CPutVR1R2C CLUciLUs2 2227120CCCd uduudtdt齊次方程根齊次方程根27120ss123,4ss 齊次方程通解齊次方程通解341

16、2( )ttchutK eK e方程全解方程全解:3412( )( )( )2ttCchcputututK eK e初始條件初始條件:(0 )0.5LiA(0 )(0 )1CCUUV02(0 )(0 )0CCLtduuidtCR CR1R2C CLUciLUs2 21212KK12034KK 解得解得:1243KK 34( )243ttCutee 7-3 二階電路的沖激響應(yīng)二階電路的沖激響應(yīng)220( )(0 )0, (0 )0 0CCCCCLtd UdULCRCUtdtdtdUUidt即00(0 )CU(0 )Li00000000( )( )CCCdUtLCdRCdUU dtt dtdt000

17、0(0 )(0 )1CCCCCttdUdULCRC UUU dtdtdt例：例： 零初始條件下沖擊電壓響應(yīng)零初始條件下沖擊電壓響應(yīng)RLC CUciL( ) t沖擊響應(yīng)只在沖擊響應(yīng)只在到到作用，應(yīng)先求出作用，應(yīng)先求出和和的值。的值。CUCdUdt(0 )(0 )CCUU01CtdULCdt0000(0 )(0 )1CCCCCttdUdULCRC UUU dtdtdt由式二邊比較由式二邊比較應(yīng)為連續(xù)函數(shù)，應(yīng)為連續(xù)函數(shù)，否則否則為沖激函數(shù)。為沖激函數(shù)。即即，0(0 )(0 )01CCCtUUdUdtLC0t 初始條件為初始條件為:當(dāng)當(dāng)時(shí)，電路等于在上述初始條件下的零輸入響應(yīng)。時(shí)，電路等于在上述初始條

18、件下的零輸入響應(yīng)。RLC串聯(lián)時(shí)，沖擊電壓能量全部降落在電感上！串聯(lián)時(shí)，沖擊電壓能量全部降落在電感上！* 高階電路過渡過程的經(jīng)典法求解介紹高階電路過渡過程的經(jīng)典法求解介紹例：例： 如圖電路，如圖電路，12312 ,2 ,1 ,1 ,SUV RRRCF 121,LLH開關(guān)打開已久，求開關(guān)閉合后開關(guān)打開已久，求開關(guān)閉合后12( ), ( ),( ).Ci t i tut和i1i2R1L1L2R3R2C Cu uc c( (t t) )Usk k解：解： 建立電路方程建立電路方程11 11312()SdiRiLR iiUdt2222 231201( )()0tdiLidR iR iidtC. 1. 2由由1式得式得:1131123()SdiRR iLUdtiR. 3對對2式求導(dǎo)式求導(dǎo)22212323221()0d ididiLRRRidtdtdtC. 43式代入式代入4式式3223113212113233()()L RRL RRL L d id iRdtRdt31321311313333()()SRRRRRRULdiRiRR CdtR CR C