巧解排列組合及21種模型

1、巧解排列組合的21種模型排列組合問題是高考的必考題， 它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣， 思路靈活，不易掌 握.實踐證明，掌握題型和識別模式，并熟練運用，是解決排列組合的有效途徑.下面就系統(tǒng) 地介紹巧解排列組合的21種模型.1. 相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排 列.例1. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果 代B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的 排法種數(shù)有A 60 種 B 、48 種 C 、36 種 D 、24 種解析：把代B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當于4人的全排列，A = 24種, 答案：D.2. 相離問題插空排：元素相離（即不

2、相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A、1440 種B 、3600 種 C 、4820 種 D 、4800 種解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為A?種，再用甲乙去插6個空位有A；種，不同的排 法種數(shù)是A5A2 =3600種，選B.3. 定序問題縮倍法：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù) 的方法.例3. A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A, B可以不相鄰）那 么不同的排法種數(shù)是A、24 種 B 、60 種 C 、90

3、 種 D 、120 種解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設的排法只是5個元素全排列 數(shù)的一半，即1 a5 =60種，選B .24. 標號排位問題分步法：把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步 再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每 個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有A 6 種 B 、9 種 C 、11 種 D 、23 種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3X

4、3X仁9種填法，選B.5. 有序分配問題逐分法：有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5. (1)有甲乙丙三項任務，甲需 2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4 人承擔這三項任務，不同的選法種數(shù)是A 1260 種 B 、2025 種 C 、2520 種 D 、5040 種解析：先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務， 第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有 g2,c8c；=252O種，選C.(2) 12名同學分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有444A C1；C；C：種B 、3C；C；C：種C

5、 、C1；C；A；種D 、C12C|C4 種A答案：A.6. 全員分配問題分組法:例6. (1) 4名優(yōu)秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去一名，則不同的保送 方案有多少種？解析：把四名學生分成3組有C：種方法，再把三組學生分配到三所學校有 A3種，故共 有C：A； =36種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.(2) 5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為A 480 種B 、240 種 C 、120 種 D 、96 種答案：B.7. 名額分配問題隔板法：例7.10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同

6、分配方 案？解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每 堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方 案，故共有不同的分配方案為C； =84種.8限制條件的分配問題分類法：例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開 發(fā)建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案 A4種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有 3種方 法，然后安排其余學生有 A方法，所以共有3A85;若乙參加而甲不

7、參加同理也有3A8種； 若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有A2種， 共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為 A84 3A83 3A3 7A = 4088種.9. 多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況 分別計數(shù)，最后總計.例9. （ 1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于 十位數(shù)字的共有A 210 種 B 、300 種 C 、464 種 D 、600 種解析：按題意，個位數(shù)字只可能是 0、1、2、3和4共5種情況，分別有a5、a4a3a3、 a3a3a3、a2a3a3和a3A個

8、，合并總計300個,選b.（2）從1, 2, 3-，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被 7整除，這兩 個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被 7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100 個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A二7,14,21,川9&共有14個元素， 不能被7整除的數(shù)組成的集合記做eA =1,2,3,4,川,100?共有86個元素；由此可知，從A中 任取2個元素的取法有C：，從A中任取一個，又從eiA中任取一個共有CuC86，兩種情形共 符合要求的取法有G； C；4C；6295種.（3） 從1, 2, 3,，1

9、00這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被 4整除的取法（不計 順序）有多少種？解析：將I *1,2,3川,100?分成四個不相交的子集，能被 4整除的數(shù)集A »48,12,川1001 ;能被4除余1的數(shù)集B 一 1,5,9，川97，能被4除余2的數(shù)集C=2,6,川,98?,能被4除余3的數(shù)集D3,7,11,川99，易見這四個集合中每一個有25個 元素；從A中任取兩個數(shù)符合要；從B,D中各取一個數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符 合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有c25 - c2sc2s - Cfs種.10. 交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用

10、集合中求元素個數(shù)公式 n(AUB)二 n(A) n(B) -n(A|B).例10.從6名運動員中選出4人參加4X 100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第 四棒，共有多少種不同的參賽方案？解析：設全集=6人中任取4人參賽的排列, A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第 四棒的排列，根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：4220n( I) - n(A) - n(B) n( AB)二 A - As - As A = 252 種.11. 定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排 其它的元素。例11.1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多

11、少種？解析：老師在中間三個位置上選一個有 A3種，4名同學在其余4個位置上有A：種方法； 所以共有A3A4 =72種.12. 多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理例12. (1) 6個不同的元素排成前后兩排，每排 3個元素，那么不同的排法種數(shù)是 A 36 種 B 、120 種 C 、720 種 D 、1440 種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共A =720種，選C .(2) 8個不同的元素排成前后兩排，每排 4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1 個元素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中

12、選排2個，有A2種，某1個元素排 在后半段的四個位置中選一個有 A1種，其余5個元素任排5個位置上有A5種，故共有125AqAA =5760 種排法.13. “至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：抽取兩類混合元素不能分步抽.例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺, 則不同的取法共有A 140 種 B 、80 種 C 、70 種 D 、35 種解析1:逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有C； -C4 -c| -70種,選.C解析2:至少要甲型和乙 型電視機各一臺可分兩種情況：甲型 1臺乙型2臺；甲型2

13、 臺乙型1臺；故不同的取法有C；C4+C；C2 =70臺，選C.14. 選排問題先取后排：從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置 上，可用先取后排法.例14.（ 1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有 多少種？解析：“先取”四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C：種，“再排”在四個盒中每次排3個有A種，故共有=144種.（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓練，有多少種 不同的分組方法？解析：先取男女運動員各2名，有cfc：種，這四名運動員混和雙打練習有 A中排法， 故共有C；C：A； =120種.15. 部分合

14、條件問題排除法：在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不 符合條件數(shù)，即為所求例15.（ 1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有A 70 種 B 、64 種 C 、58 種 D 、52 種解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成 C；四面體，但6個表面和6個 對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有C； -12 =58個.（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有A 150 種 B 、147 種 C 、144 種 D 、141 種解析：10個點中任取4個點共有C10種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四 個面上，每面內(nèi)四點

15、共面的情況為C；，四個面共有4C：個；過空間四邊形各邊中點的平行 四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共 6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是44Go 4C6 -3 -6 =141 種.16. 圓排問題線排法：把n個不同元素放在圓周n個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是 相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列n個普通排列：厲赴心|ILan；a2,a3,a4,M,an,（H;an,ai,HI,an在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同，n個元素的圓排列數(shù)有 種.因此可將某個元素固定

16、展成線排，其它的n-1n元素全排列例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有 A4種，然后在讓插入其間，每位均可 插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式24 25 =768種不同站法.說明：從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有-Am種不同排法m17. 可重復的排列求幕法：允許重復排列問題的特點是以元素為研究對象， 元素不受位置 的約束，可逐一安排元素的位置，一般地 n個不同元素排在m個不同位置的排列數(shù)有mn種 方法例17.把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實

17、習生分配到車間有 7種不同方案，第二 步：將第二名實習生分配到車間也有 7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有76種 不同方案.18. 復雜排列組合問題構(gòu)造模型法：例18.馬路上有編號為1, 2, 3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析：把此問題當作一個排對模型，在 6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈C；種 方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型， 裝盒模型可使問題容易解決.19. 元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法 ：例19

18、.設有編號為1, 2, 3, 4, 5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個 球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多 少種不同的方法?解析：從5個球中取出2個與盒子對號有C；種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對 應，利用枚舉法分析，如果剩下 3, 4, 5號球與3, 4, 5號盒子時，3號球不能裝入3號盒 子，當3號球裝入4號盒子時，4, 5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4, 5號 球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C；=20種.20. 復雜的排列組合問題也可用分解與合成法：例20.( 1)30030能被多少個不同偶數(shù)整除？解析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形