初二下冊(cè)數(shù)學(xué)最經(jīng)典題

1、.初二（下冊(cè)）數(shù)學(xué)題精選分式：一：如果abc=1,求證+=1解：二：已知+=，則+等于多少.解：三：一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分。求兩根水管各自注水的速度。解：四：聯(lián)系實(shí)際編擬一道關(guān)于分式方程的應(yīng)用題。要求表述完整，條件充分并寫出解答過程。解略五：已知M、N，用“+”或“”連結(jié)M、N,有三種不同的形式，M+N、M-N、N-M，請(qǐng)你任取其中一種進(jìn)行計(jì)算，并簡(jiǎn)求值，其中x：y=5：2。解：反比例函數(shù)：一：一張邊長(zhǎng)為16cm正方形的紙片，剪去兩個(gè)面積一定且一樣的小矩形得

2、到一個(gè)“E”圖案如圖1所示小矩形的長(zhǎng)x（cm）與寬y（cm）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）“E”圖案的面積是多少.（3）如果小矩形的長(zhǎng)是6x12cm，求小矩形寬的范圍.二：是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分，點(diǎn)，是它的兩個(gè)端點(diǎn)111010ABOxy（1）求此函數(shù)的解析式，并寫出自變量的取值范圍；（2）請(qǐng)你舉出一個(gè)能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實(shí)例三：如圖，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于 . 四：如圖11，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)M（2，），且P（，2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA

3、垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B （1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得OBQ與OAP面積相等.如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由； （3）如圖12，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值圖11圖12五：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)8，與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點(diǎn)c(1，6)、點(diǎn)D(3，x)過點(diǎn)C作CE上y軸于E，過點(diǎn)D作DF上X軸于F (1)求m，n的值； (2)求直線AB的函數(shù)解

4、析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣的帝王近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著，其中有一文積求勾股法，它對(duì)“三邊長(zhǎng)為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長(zhǎng)”這一問題提出了解法：“若所設(shè)者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之?dāng)?shù)”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：“若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S，則第一步：m；第二步：=k；第三步：分別用3、4、5乘以k，得三邊長(zhǎng)” （1）當(dāng)面積S等于150時(shí)，請(qǐng)用康熙的“積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)； （2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎.請(qǐng)寫出證明過程二：一張等腰三角形

5、紙片，底邊長(zhǎng)l5cm，底邊上的高長(zhǎng)225cm現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是( )A第4張 B第5張 C第6張 D第7張三：如圖，甲、乙兩樓相距20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的處目測(cè)得點(diǎn) 與甲、乙樓頂剛好在同一直線上，且A與B相距米，若小明的身高忽略不計(jì)，則乙樓的高度是米20米乙CBA甲10米.米20米四：恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客小民

6、設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說明的值為最??；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長(zhǎng)最小并求出這個(gè)最小值BAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）DCEBGAF五：已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，DEAC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且（1）求證：；（2

7、）若，求AB的長(zhǎng)四邊形：一：如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.(1) 當(dāng)ABAC時(shí)，證明四邊形ADFE為平行四邊形；EFDABC (2) 當(dāng)AB = AC時(shí)，順次連結(jié)A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類.直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.二：如圖，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連結(jié)AF、BE和CF。（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“”表示，并加以證明。（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積。三：如圖，在ABC中，A、B的

8、平分線交于點(diǎn)D，DEAC交BC于點(diǎn)E，DFBC交AC于點(diǎn)F（1）點(diǎn)D是ABC的_心；（2）求證：四邊形DECF為菱形四：在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE，且ABE30°，BEDE，連接BD點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQBD交直線BE于點(diǎn)Q(1) 當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1），求證：BEPDPQ； （2）若 BC6，設(shè)PQ長(zhǎng)為x，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為y，求y與 x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（3）在的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接QC，過點(diǎn)P作PFQC，垂足為F，PF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G（如圖2），求線段PG

9、的長(zhǎng)。解：五：如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,腰長(zhǎng)為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來(lái)拼成較大的等腰梯形,那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形"分別畫出它們的示意圖,并寫出它們的周長(zhǎng). 解：如圖所示六：已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn),且EF=ED,EFED.求證:AE平分BAD.七：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上,BG=10.(1)當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí),如圖(1).求EFG的面積.(2)當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí),如圖(2).證明四邊形BGEF為菱形,并求出折痕GF的長(zhǎng).圖

10、（1）圖（2）八：（1）請(qǐng)用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個(gè)矩形中各作一個(gè)不為正方形的菱形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上（保留作圖痕跡）（2）寫出你的作法ABCPDE九：如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：PE=PD ； PEPD；（2）設(shè)AP=x, PBE的面積為y. 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； 當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值.ABCPDEFABCDPE12HABCPDEFG123十：如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊

11、在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中正方形改為矩形（如圖46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立.若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說明理由（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值數(shù)

12、據(jù)的分析：一：4為了幫助貧困失學(xué)兒童，某團(tuán)市委發(fā)起“愛心儲(chǔ)蓄”活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生將自己的壓歲錢和零花錢存入銀行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐給貧困失學(xué)兒童.某中學(xué)共有學(xué)生1200人，圖1是該校各年級(jí)學(xué)生人數(shù)比例分布的扇形統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該校學(xué)生人均存款情況的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）九年級(jí)學(xué)生人均存款元；（2）該校學(xué)生人均存款多少元.（3）已知銀行一年期定期存款的年利率是2.25% （“愛心儲(chǔ)蓄”免收利息稅），且每351元能提供 給一位失學(xué)兒童一學(xué)年的基本費(fèi)用，那么該校一學(xué)年能幫助多少為貧困失學(xué)兒童。二：如圖是連續(xù)十周測(cè)試甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員體能訓(xùn)練情況的折線統(tǒng)計(jì)圖。教練組規(guī)定：體能測(cè)試成績(jī)70分以上

13、（包括70分）為合格。請(qǐng)根據(jù)圖11中所提供的信息填寫右表：請(qǐng)從下面兩個(gè)不同的角度對(duì)運(yùn)動(dòng)員體能測(cè)試結(jié)果進(jìn)行判斷：依據(jù)平均數(shù)與成績(jī)合格的次數(shù)比較甲和乙，的體能測(cè)試成績(jī)較好；平均數(shù)中位數(shù)體能測(cè)試成績(jī)合格次數(shù)甲65乙60依據(jù)平均數(shù)與中位數(shù)比較甲和乙，的體能測(cè)試成績(jī)較好。依據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖和成績(jī)合格的次數(shù)，分析哪位運(yùn)動(dòng)員體能訓(xùn)練的效果較好。三：如圖所示，A、B兩個(gè)旅游點(diǎn)從2002年至2006年“五、一”的旅游人數(shù)變化情況分別用實(shí)線和虛線表示根據(jù)圖中所示解答以下問題：（1）B旅游點(diǎn)的旅游人數(shù)相對(duì)上一年，增長(zhǎng)最快的是哪一年.（2）求A、B兩個(gè)旅游點(diǎn)從2002到2006年旅游人數(shù)的平均數(shù)和方差，并從平均數(shù)和方差的

14、角度，用一句話對(duì)這兩個(gè)旅游點(diǎn)的情況進(jìn)行評(píng)價(jià)；2002 2003 2004 2005 2006 年654321萬(wàn)人AB（3）A旅游點(diǎn)現(xiàn)在的門票價(jià)格為每人80元，為保護(hù)旅游點(diǎn)環(huán)境和游客的安全，A旅游點(diǎn)的最佳接待人數(shù)為4萬(wàn)人，為控制游客數(shù)量，A旅游點(diǎn)決定提高門票價(jià)格已知門票價(jià)格x（元）與游客人數(shù)y（萬(wàn)人）滿足函數(shù)關(guān)系若要使A旅游點(diǎn)的游客人數(shù)不超過4萬(wàn)人，則門票價(jià)格至少應(yīng)提高多少.參考答案初二（下冊(cè)）數(shù)學(xué)題精選分式：一：如果abc=1,求證+=1解：原式=+ =+ = =1二：已知+=，則+等于多少.解：+=2()=92+4+2=92（）=5=+=三：一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向

15、容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分。求兩根水管各自注水的速度。解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，則大水管進(jìn)水速度為4x。由題意得：解之得：經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程解。小口徑水管速度為，大口徑水管速度為。四：聯(lián)系實(shí)際編擬一道關(guān)于分式方程的應(yīng)用題。要求表述完整，條件充分并寫出解答過程。解略五：已知M、N，用“+”或“”連結(jié)M、N,有三種不同的形式，M+N、M-N、N-M，請(qǐng)你任取其中一種進(jìn)行計(jì)算，并簡(jiǎn)求值，其中x：y=5：2。解：選擇一：，當(dāng)=52時(shí)，原式=選擇二：，當(dāng)=52時(shí)，原式=選擇三：，當(dāng)=52時(shí)，原式=反比例函數(shù)：一：一張邊長(zhǎng)

16、為16cm正方形的紙片，剪去兩個(gè)面積一定且一樣的小矩形得到一個(gè)“E”圖案如圖1所示小矩形的長(zhǎng)x（cm）與寬y（cm）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）“E”圖案的面積是多少.（3）如果小矩形的長(zhǎng)是6x12cm，求小矩形寬的范圍.解：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為函數(shù)圖象經(jīng)過（10，2） k=20， （2）xy=20， （3）當(dāng)x=6時(shí)， 當(dāng)x=12時(shí)，小矩形的長(zhǎng)是6x12cm，小矩形寬的范圍為二：是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分，點(diǎn)，是它的兩個(gè)端點(diǎn)111010ABOxy（1）求此函數(shù)的解析式，并寫出自變量的取值范圍；（2）請(qǐng)你舉出一個(gè)能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實(shí)例解：（1）設(shè)

17、，在圖象上，即，其中； （2）答案不唯一例如：小明家離學(xué)校，每天以的速度去上學(xué)，那么小明從家去學(xué)校所需的時(shí)間三：如圖，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于 . 答案：r=1 S=r²=四：如圖11，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)M（2，），且P（，2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B （1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得OBQ與OAP面積相等.如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由； 圖

18、12圖11（3）如圖12，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為，將點(diǎn)M（，）坐標(biāo)代入得，所以正比例函數(shù)解析式為同樣可得，反比例函數(shù)解析式為（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線DO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為， 于是，而，所以有，解得所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為和（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)PCQ，OQPC，而點(diǎn)P（，）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，由勾股定理可得，所以當(dāng)即時(shí)，有最小值4，又因?yàn)镺Q為正

19、值，所以O(shè)Q與同時(shí)取得最小值，所以O(shè)Q有最小值2 由勾股定理得OP，所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是五：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)8，與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點(diǎn)c(1，6)、點(diǎn)D(3，x)過點(diǎn)C作CE上y軸于E，過點(diǎn)D作DF上X軸于F (1)求m，n的值； (2)求直線AB的函數(shù)解析式；勾股定理：一：清朝康熙皇帝是我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣的帝王近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著，其中有一文積求勾股法，它對(duì)“三邊長(zhǎng)為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長(zhǎng)”這一問題提出了解法：“若所設(shè)者為積數(shù)（面積），以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各

20、率乘之，即得勾股弦之?dāng)?shù)”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：“若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S，則第一步：m；第二步：=k；第三步：分別用3、4、5乘以k，得三邊長(zhǎng)” （1）當(dāng)面積S等于150時(shí)，請(qǐng)用康熙的“積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)； （2）你能證明“積求勾股法”的正確性嗎.請(qǐng)寫出證明過程解：（1）當(dāng)S=150時(shí)，k=5，所以三邊長(zhǎng)分別為：3×5=15，4×5=20，5×5=25；（2）證明：三邊為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)為k倍，則三邊為3k，4k，5k，而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊其面積S=（3k）·（4k）=6k

21、2，所以k2=，k=（取正值），即將面積除以6，然后開方，即可得到倍數(shù)二：一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng)l5cm，底邊上的高長(zhǎng)225cm現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是( )A第4張 B第5張 C第6張 D第7張答案：C三：如圖，甲、乙兩樓相距20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的處目測(cè)得點(diǎn) 與甲、乙樓頂剛好在同一直線上，且A與B相距米，若小明的身高忽略不計(jì)，則乙樓的高度是米20米乙CBA甲10米.米20米答案：40米四：恩施州自然風(fēng)光無(wú)限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗

22、山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（與直線垂直，垂足為），到、的距離之和，圖（2）是方案二的示意圖（點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn)），到、的距離之和（1）求、，并比較它們的大??；（2）請(qǐng)你說明的值為最小；（3）擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、組成的四邊形的周長(zhǎng)最小并求出這個(gè)最小值BAPX圖（1）YXBAQPO圖（3）BAPX圖（2）解:圖10（1）中過B作BCAP,垂足為C,則PC

23、40,又AP10,AC30 在RtABC 中，AB50 AC30 BC40 BPS1圖10（2）中，過B作BCAA垂足為C，則AC50，又BC40BA'由軸對(duì)稱知：PAPA'S2BA'(2)如 圖10（2），在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA'，由軸對(duì)稱知MAMA'MB+MAMB+MA'A'BS2BA'為最?。?）過A作關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)A', 過B作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接A'B',交X軸于點(diǎn)P, 交Y軸于點(diǎn)Q,則P,Q即為所求過A'、 B'分別作X軸、Y軸的平行線交于點(diǎn)G,

24、A'B'所求四邊形的周長(zhǎng)為DCEBGAF五：已知：如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90°，DEAC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且（1）求證：；（2）若，求AB的長(zhǎng)解：（1）證明：于點(diǎn)，DCEBGAF，連接，AGAG,ABAF，（2）解：ADDC,DFAC，四邊形：一：如圖，ACD、ABE、BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.(1) 當(dāng)ABAC時(shí)，證明四邊形ADFE為平行四邊形；EFDABC (2) 當(dāng)AB = AC時(shí)，順次連結(jié)A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類.直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.解：(1) ABE、BCF為等邊三角形，

25、AB = BE = AE，BC = CF = FB，ABE = CBF = 60°.FBE = CBA. FBE CBA. EF = AC. 又ADC為等邊三角形，CD = AD = AC.EF = AD. 同理可得AE = DF. 四邊形AEFD是平行四邊形. (2) 構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段. 當(dāng)圖形為菱形時(shí)， BAC60°（或A與F不重合、ABC不為正三角形）當(dāng)圖形為線段時(shí)，BAC = 60°（或A與F重合、ABC為正三角形）. 二：如圖，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連

26、結(jié)AF、BE和CF。（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“”表示，并加以證明。（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積。解：（1）（選證一）（選證二）證明：（選證三）證明：（2）四邊形ABDF是平行四邊形。由（1）知，、都是等邊三角形。（3）由（2）知，）四邊形ABDF是平行四邊形。三：如圖，在ABC中，A、B的平分線交于點(diǎn)D，DEAC交BC于點(diǎn)E，DFBC交AC于點(diǎn)F（1）點(diǎn)D是ABC的_心；（2）求證：四邊形DECF為菱形解：(1) . (2) 證法一：連接CD， DEAC，DFBC，圖7 四邊形DECF為平行四邊形，又

27、 點(diǎn)D是ABC的內(nèi)心，CD平分ACB，即FCDECD，又FDCECD，F(xiàn)CDFDCFCFD， DECF為菱形證法二：過D分別作DGAB于G，DHBC于H，DIAC于I AD、BD分別平分CAB、ABC，DI=DG，DG=DHDH=DI DEAC，DFBC，四邊形DECF為平行四邊形，SDECF=CE·DH =CF·DI，CE=CFDECF為菱形 四：在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE，且ABE30°，BEDE，連接BD點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQBD交直線BE于點(diǎn)Q(1) 當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1），求證：BEPDPQ； （2）若 B

28、C6，設(shè)PQ長(zhǎng)為x，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為y，求y與 x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（3）在的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接QC，過點(diǎn)P作PFQC，垂足為F，PF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G（如圖2），求線段PG的長(zhǎng)。解：（1）證明：A=90°ABE=30°AEB=60°EB=ED EBD=EDB=30°PQBD EQP=EBD EPQ=EDBEPQ=EQP=30°EQ=EP 過點(diǎn)E作EMOP垂足為M PQ=2PMEPM=30°PM=PE PE=PQ BE=DE=PD+PE BE=PD+ PQ

29、（2）解：由題意知AE=BE DE=BE=2AEAD=BC=6 AE=2 DE=BE=4 當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)（如圖1） 過點(diǎn)Q做QHAD于點(diǎn)H QH=PQ=x 由（1）得PD=BE-PQ=4-xy=PD·QH= 當(dāng)點(diǎn)P在線段ED的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2）過點(diǎn)Q作QHDA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)HQH=x 過點(diǎn)E作EMPQ于點(diǎn)M 同理可得EP=EQ=PQ BE=PQ-PDPD=x-4 y=PD·QH= （3）解：連接PC交BD于點(diǎn)N（如圖3）點(diǎn)P是線段ED中點(diǎn)EP=PD=2 PQ=DC=AB=AE·tan60°=PC=4 cosDPC=DPC=60°QPC

30、=180°-EPQ-DPC=90°PQBD PND=QPC=90°PN=PD=1 QC=PGN=90°-FPC PCF=90°-FPCPCN=PCF1分 PNG=QPC=90°PNGQPCPG=五：如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,腰長(zhǎng)為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來(lái)拼成較大的等腰梯形,那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形"分別畫出它們的示意圖,并寫出它們的周長(zhǎng). 解：如圖所示六：已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn),且EF=ED,EFED.求證:AE平分BAD.證明：四

31、邊形ABCD是矩形B=C=BAD=90° AB=CDBEF+BFE=90°EFEDBEF+CED=90°BEF=CEDBEF=CDE又EF=EDEBFCDEBE=CDBE=ABBAE=BEA=45°EAD=45°BAE=EADAE平分BAD七：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上,BG=10.(1)當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí),如圖(1).求EFG的面積.(2)當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí),如圖(2).證明四邊形BGEF為菱形,并求出折痕GF的長(zhǎng).圖（1）圖（2）解:(1)過點(diǎn)G作GHAD,則四邊形ABGH

32、為矩形,GH=AB=8,AH=BG=10,由圖形的折疊可知BFGEFG,EG=BG=10,FEG=B=90°；EH=6,AE=4,AEF+HEG=90°,AEF+AFE=90°,HEG=AFE,又EHG=A=90°,EAFEHG,EF=5,SEFG=EF·EG=×5×10=25.(2)由圖形的折疊可知四邊形ABGF四邊形HEGF,BG=EG,AB=EH,BGF=EGF,EFBG，BGF=EFG,EGF =EFG,EF=EG,BG=EF,四邊形BGEF為平行四邊形,又EF=EG,平行四邊形BGEF為菱形；連結(jié)BE，BE、FG互

33、相垂直平分，在RtEFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，AE=16，BE=8，BO=4，F(xiàn)G=2OG=2=4。八：（1）請(qǐng)用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個(gè)矩形中各作一個(gè)不為正方形的菱形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上（保留作圖痕跡）（2）寫出你的作法解：（1）所作菱形如圖、所示說明：作法相同的圖形視為同一種例如類似圖、圖的圖形視為與圖是同一種（2）圖的作法：作矩形A1B1C1D1四條邊的中點(diǎn)E1、F1、G1、H1；連接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1四邊形E1F1G1H1即為菱形圖的作法：在B2C2上取一點(diǎn)E2，使E2C2A2E2且E2不與B2重合

34、；以A2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交A2D2于H2；以E2為圓心，A2E2為半徑畫弧，交B2C2于F2；連接H2F2，則四邊形A2E2F2H2為菱形ABCPDE九：如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證：PE=PD ； PEPD；（2）設(shè)AP=x, PBE的面積為y. 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； 當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值. 解：（1）證法一： 四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線，BC=DC, BCP=DCP=45°. PC=PC，PBCPDC （SAS）. PB=

35、 PD， PBC=PDC. 又PB= PE ，PE=PD. ABCDPE12H （i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(E與B、C不重合)時(shí)， PB=PE，PBE=PEB，PEB=PDC，PEB+PEC=PDC+PEC=180°，DPE=360°-(BCD+PDC+PEC)=90°，PEPD. ）（ii）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PEPD.（iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖.PEC=PDC，1=2，DPE=DCE=90°，PEPD.綜合（i）（ii）（iii）, PEPD. ABCPDEF（2） 過點(diǎn)P作PFBC，垂足為F，則BF=FE.A

36、P=x，AC=，PC=- x，PF=FC=.BF=FE=1-FC=1-()=.SPBE=BF·PF=(). 即 (0x). . 0， 當(dāng)時(shí)，y最大值. （1）證法二：ABCPDEFG123 過點(diǎn)P作GFAB，分別交AD、BC于G、F. 如圖所示. 四邊形ABCD是正方形， 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形.GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90°. 又PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD （SAS）. PE=PD. 1=2.1+3=2+3=90°.DPE=90°.PEPD. （2）AP

37、=x，BF=PG=，PF=1-. SPBE=BF·PF=(). 即 (0x). . 0， 當(dāng)時(shí)，y最大值.十：如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4

38、6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立.若成立，以圖5為例簡(jiǎn)要說明理由（3）在第(2)題圖5中，連結(jié)、，且a=3，b=2，k=，求的值解: (1)仍然成立 在圖（2）中證明如下四邊形、四邊形都是正方形， （SAS）又（2）成立，不成立簡(jiǎn)要說明如下四邊形、四邊形都是矩形，且，(，)，又（3） 又，數(shù)據(jù)的分析：一：4為了幫助貧困失學(xué)兒童，某團(tuán)市委發(fā)起“愛心儲(chǔ)蓄”活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生將自己的壓歲錢和零花錢存入銀行，定期一年，到期后可取回本金，而把利息捐給貧困失學(xué)兒童.某中學(xué)共有學(xué)生1200人，圖1是該校各年級(jí)學(xué)生人數(shù)比例分布的扇形統(tǒng)計(jì)圖，圖2是該校學(xué)生人均存款情況的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）九年級(jí)學(xué)生人均存款元；（2）該校學(xué)生人均存款多少元.