復(fù)變函數(shù)2-1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)第三講第三講 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分掌握掌握C-R方程與函數(shù)可導(dǎo)的充要條件方程與函數(shù)可導(dǎo)的充要條件 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換一一、復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與微微分分00( )( )f zzf zz則則說(shuō)說(shuō)在在 可可導(dǎo)導(dǎo)，此此極極限限值值稱稱為為在在的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). .1. 定義定義00( ).wf zDzDzzzD 設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)域域 上上有有定定義義， 為為 中中

2、一一點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)00()( )limzf zzf zz 如如果果極極限限存存在在，00000()()()limz zzf zzf zdwfzdzz 記記作作： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換000.zzzzz 定定義義中中即即的的方方式式是是注注意意任任意意的的：( )( ).f zDfDDz如如果果在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)：處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則說(shuō)說(shuō)在在 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)問(wèn)題：?jiǎn)栴}：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實(shí)變?cè)瘮?shù)的導(dǎo)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實(shí)變?cè)瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)有什么不同？數(shù)有什么不同？1例例討討論論下下列列函函數(shù)數(shù)的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性. .1)( )2f zxyi2

3、2)( ) |f zz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換0( )f zz解解：的的定定義義域域?yàn)闉槿w體復(fù)復(fù)平平面面，在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)任任取取一一點(diǎn)點(diǎn) ，則則1.( )2f zxyi000()()limzf zzf zz 00000()2()(2)limzxxyy ixy ixyi 02limzxyixyi 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換002limlim1zzxyixxyix 000,zzyzx 讓讓沿沿平平行行于于 軸軸的的直直線線趨趨向向 時(shí)時(shí)，因因故故0022limlim2zzxyiyixyiyi ( )2.f

4、 zxyi所所以以在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)000,zzxzy 讓讓沿沿平平行行于于 軸軸的的直直線線趨趨向向 時(shí)時(shí)，因因故故 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換22.( ) | |f zz 2200()limlimzzf zzf zzzzzz 解解 由導(dǎo)數(shù)的定義由導(dǎo)數(shù)的定義,有有0lim()zzzzzz 0()()limzzzzzzzz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換(0)0f 且且；0,0,zz 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)沿沿著著平平行行于于實(shí)實(shí)軸軸的的方方向向趨趨于于 時(shí)時(shí) 有有0lim()zzzzzzzz 0lim()

5、zzzzzzzz 2( )0.f zzz 所所以以在在的的點(diǎn)點(diǎn)處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)當(dāng)當(dāng)z 0時(shí)時(shí), 該極限值為零該極限值為零. 故在點(diǎn)故在點(diǎn)z=0處函數(shù)可導(dǎo)處函數(shù)可導(dǎo)0,z 沿沿著著平平行行于于虛虛軸軸的的方方向向趨趨于于 時(shí)時(shí) 有有 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2. 復(fù)變函數(shù)的微分復(fù)變函數(shù)的微分000()( ) df zA zf zzz稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在 處處的的微微分分，或或說(shuō)說(shuō)函函數(shù)數(shù)在在 處處可可微微。與與一一元元函函數(shù)數(shù)一一樣樣，復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)的的可可導(dǎo)導(dǎo)和和微微分分是是等等價(jià)價(jià)的的。0000()()()zAfzdwfzzfz dz 若若函函

6、數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) 可可微微，則則，即即00()()(|) (0)wf zzf zA zozz 若若 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換00( )( )f zzf zz若若在在 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則在在 處處必必定定連連續(xù)續(xù)；反反之之不不成成立立。3. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 000000( )()lim( )()lim()zzzzf zf zf zf zzzzz 00000( )()lim()limzzzzf zf zzzzz 00()0fz 證：因?yàn)樽C：因?yàn)?( ).f zz故故在在 處處連連續(xù)續(xù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與

7、積分變換1.( )0 ()cc 為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)2. ( )( )( )( )f zg zfzg z3. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )f z g zfz g zg z f z4. 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則2( )( ) ( )( ) ( )4. ( ( )0)( )( )f zfz g zg z f zg zg zgz 5. ( )( )( )( )f g zfw g zwg z其其中中16.( )( ),( )( ).fzwf zzww 是是兩兩個(gè)個(gè)互互為為反反函函數(shù)數(shù)的的單單值值函函數(shù)數(shù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換二、二、 Cauchy-Riema

8、nn方程方程復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性不等價(jià)于它的實(shí)部和虛復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性不等價(jià)于它的實(shí)部和虛部的可微性。部的可微性。那么什么條件下復(fù)變函數(shù)才能可導(dǎo)呢？那么什么條件下復(fù)變函數(shù)才能可導(dǎo)呢？00000( )()()()limzwf zzf zzf zfzz 若若在在 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，故故由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義，00ilim.ixyuvxy 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換000i ()limixzuvuvfzxxx 當(dāng)當(dāng)沿沿平平行行于于實(shí)實(shí)軸軸的的直直線線趨趨于于 時(shí)時(shí)，000i()limi.iyzuvvufzyyy 當(dāng)當(dāng)沿沿平平行行于于虛虛軸軸的的直直線線趨趨于于 時(shí)時(shí)，比較

9、以上兩式即得比較以上兩式即得,uvvuxyxy Cauchy-Riemann方程方程 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換( )( , )( , )( )f zu x yiv x yDf zD設(shè)設(shè)定定義義在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)，則則在在 內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)的的充充要要條條件件是是：定理：復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件定理：復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件2,uvuvxyyx 在在該該點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程：1( , ), ( , )( , )u x y v x yx y 在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可微微； 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變

10、換證明：充分性證明：充分性( , ), ( , )( , )u x y v x yx yCR 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)處處可可微微，且且方方程程成成立立( , )x y則則在在點(diǎn)點(diǎn)處處有有1,uuuxyxv 2vvvxyxv 2212,xy 其其中中是是關(guān)關(guān)于于的的高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小,uvuvabxyyx 設(shè)設(shè) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1212()()()()fui va xb yi b xa yaibxi yi 則則0( )limzf zuvvuaibiizxxyy 所以所以0( )(lim0)zf zaibz 12ixi y 這這里里，于是，有于是，有 哈爾

11、濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換必要性必要性( )f zDDzxiy設(shè)設(shè)在在 內(nèi)內(nèi)解解析析，則則在在 內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且00()( )( )( )limlimzzf zzf zf zfzzz ( ),( ),f zui v fzabi 令令( )() ()()(|)f zui vaibzzaibxi yoz 有有0( )( )(lim0)zf zfzzz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換(|)ua xb yoz ；(|)vb xa yoz ；( , ), ( , )u x y v x yz于于是是可可得得在在

12、點(diǎn)點(diǎn)可可微微, ,且且,uvuvabxyyx C-R方程方程2( ).f zxiy討討論論函函數(shù)數(shù)的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性( )0f zxyz 討討論論函函數(shù)數(shù)在在的的可可微微性性例例2例例3 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2( , ), ( , ),u x yx v x yy因因?yàn)闉樗砸?,0,0,2uuvvyxyxy( , )( , ),u x yv x y和和在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處可可微微120uvyxyCRuvyx 由由方方程程12y21,( )Im( )=2f zxiyz因因此此僅僅在在直直線線上上的的各各點(diǎn)點(diǎn)可可導(dǎo)導(dǎo)例例2 解解 哈爾濱工程大學(xué)

13、哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換( , ), ( , )0u x yxy v x y 由由于于所所以以0(,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0)xyxuxuuvx 0(0,)(0,0)(0,0)lim0(0,0)yxyuyuuvy ()(0)x yfzfzxi y ( )0f zxyz 討討論論函函數(shù)數(shù)在在的的可可微微性性例例3解解但是由于但是由于滿足滿足C-R方程；方程； 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換00limlim(1)1xxy k xx yk x xkxi yxkiki 而而k隨隨著著 值值不不同同，極極限限值值也也不不同同

14、，故故極極限限不不存存在在( )0.f zz 所所以以在在處處不不可可微微( , ), ( , )u x y v x y常常用用是是否否有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)來(lái)來(lái)代代替替是是否否可可微微為什么滿足為什么滿足C-R方程，函數(shù)還方程，函數(shù)還不可微（導(dǎo)）？不可微（導(dǎo)）？因?yàn)橐驗(yàn)镃-R方程只是必要條件方程只是必要條件 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換222222( , )( , )-0( , )( , )00wu x yiv x yCRxyxyxyu x yv x yxy 驗(yàn)驗(yàn)證證是是否否滿滿足足方方程程，并并討討論論其其可可導(dǎo)導(dǎo)性性，其其中中( )( , )(

15、 , )00 0f zu x yiv x yzuvuvCRxyyx 在在點(diǎn)點(diǎn)滿滿足足方方程程：，解解：( , )( , )(0,0)( )0,.u x yv x yf zz 但但、在在點(diǎn)點(diǎn)不不連連續(xù)續(xù)，所所以以復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)在在不不連連續(xù)續(xù) 從從而而不不可可導(dǎo)導(dǎo)例例4 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換000( )( )1. f zzzf zz如如果果函函數(shù)數(shù)在在 及及 的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)處處處處可可定定義義：導(dǎo)導(dǎo)，則則稱稱在在 解解析析三、解析函數(shù)三、解析函數(shù)00( )( ).f zzzf z如如果果在在 不不解解析析，則則為為的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)稱稱( )( ).f

16、 zf z在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析注意注意( )( ).f zf z在在一一點(diǎn)點(diǎn)處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處解解析析 ( )( )( ).f zDf zDf zD如如果果在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)解解析析，稱稱在在內(nèi)內(nèi)解解析析，或或稱稱是是 內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)解解析析函函數(shù)數(shù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換22( ),( )21( )5( )f zzf zxyif zzf zz分分別別討討論論函函數(shù)數(shù)的的，例例的的解解析析性性2( )0.f zzz僅僅在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)，在在其其他他點(diǎn)點(diǎn)處處都都不不可可導(dǎo)導(dǎo)，它它在在復(fù)復(fù)平平面面上上處

17、處處處不不解解析析( )2f zxyi在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)不不可可導(dǎo)導(dǎo)，所所以以復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)是是處處處處不不解解析析的的；2( ) f zz 因因?yàn)闉樵谠趶?fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，所所以以在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)是是解解：解解析析的的； 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換210( )zfzz 由由求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則知知，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，10( )0.zf zzz 所所以以除除外外，在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處解解析析，是是它它的的奇奇點(diǎn)點(diǎn)1( )f zz 考考慮慮 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換,uvuvxyyx 定理定理2.

18、 函數(shù)解析的充要條件函數(shù)解析的充要條件( )( , )( , )f zu x yiDv x y函函數(shù)數(shù)在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)解解析析其其的的充充要要條條件件是是1( , ), ( , )u x y v x yD 在在 內(nèi)內(nèi)可可微微; ;2( , ), ( , )-u x y v x yCRD 在在滿滿足足內(nèi)內(nèi)方方程程00( )( , )( , )f zu x yiv xDyzDz 函函數(shù)數(shù)在在解解析析的的充充要要條條件件只只需需把把定定理理中中的的“”改改點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)的的某某個(gè)個(gè)成成“鄰鄰域域”即即可可。注：注： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換( ) uvvvfz

19、iixxyxuuvuiixyyy 注解注解:1. 解析函數(shù)解析函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù))的實(shí)部和虛部不是完全的實(shí)部和虛部不是完全 獨(dú)立的，它們是柯西獨(dú)立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解；黎曼方程的一組解；2. 柯西柯西-黎曼條件是復(fù)變函數(shù)解析的必要條件黎曼條件是復(fù)變函數(shù)解析的必要條件 而非充分條件；而非充分條件；3. 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有更簡(jiǎn)潔的形式：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有更簡(jiǎn)潔的形式： 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換( ), ( ).Df zg z在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)，解解析析，則則其其和和、差差、積積、商商（分分母母為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)除除外外）仍仍解解析析( )( )(

20、 ), ( ).hg zDwf hGzDhg zGwf g zD 設(shè)設(shè)在在 內(nèi)內(nèi)解解析析，在在 內(nèi)內(nèi) 解解析析，又又對(duì)對(duì)每每一一個(gè)個(gè)，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)解解析析定理定理1定理定理2 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1011.( ).nnnP za za za 多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析( )2.( )0( )P zQ zQ z 有有理理分分式式函函數(shù)數(shù)在在的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析. .有用的結(jié)論有用的結(jié)論 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換,(1) ( ), (2) ( )(

21、cossin )(3)Re( )xf zzf zeyiywzz 判判定定下下列列函函數(shù)數(shù)在在何何處處可可導(dǎo)導(dǎo) 何何處處解解析析？2222( )(), , ,f zxaxybyi cxdxyya b c d設(shè)設(shè)問(wèn)問(wèn)常常數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)，在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析？( )( ).fzDf zD 如如果果在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)處處處處為為零零， 那那么么在在 內(nèi)內(nèi)為為一一常常數(shù)數(shù)例例6例例7例例8 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換1,0,0,1uuvvxyxy CRwz可可知知：方方程程不不滿滿足足，所所以以在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不可可導(dǎo)導(dǎo)。例例6

22、解：解：(1)( ),( , ), ( , )f zzu x yx v x yy 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換cosxveyy ( ).f z所所以以在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析(2) ( )(cossin )xf zeyiy( , )cos , ( , )sinxxu x yey v x yeycos ,xueyx sinxueyy sin ,xveyx ,uvuvxyyx 從從而而上上面面四四個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都連連續(xù)續(xù)， 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2Re( )()wzzxiyxxxyi2 ,0,uuvv

23、xyxxyxy0,xyCR但但只只有有時(shí)時(shí) 它它們們才才滿滿足足方方程程(3)Re( )wzz 2( , ), ( , )u x yx v x yxy所所以以,此此四四個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)處處處處連連續(xù)續(xù)Re( )0,.wzzz因因而而在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)但但在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處不不解解析析 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換2,22,2uuxayaxybxyvvcxdydxyxy2222( )(), , ,f zxaxybyi cxdxyya b c d設(shè)設(shè)問(wèn)問(wèn)常常數(shù)數(shù)取取何何值值時(shí)時(shí)，在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析？例例7解：解：2222xaydxy

24、axbycxdy 令令，2,1,1,2( ).abcdf z 故故當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換0uuvvxyxy故故( )( ).fzDf zD 如如果果在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)處處處處為為零零， 那那么么在在 內(nèi)內(nèi)為為一一常常數(shù)數(shù)例例8證明：證明：D因因?yàn)闉樵谠趨^(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)1( )0uvuvfzixyiyyu0,0vvuiixxyy即即( ).f zD從從在在 內(nèi)內(nèi)為為一一常常數(shù)數(shù)( , )( , )u x yv x y 常常數(shù)數(shù)常常數(shù)數(shù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換練習(xí)：練習(xí)：1.( )( ,0)( ).azbf zc dczdf z 設(shè)設(shè)至至少少有有一一個(gè)個(gè)不不為為