2020高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)平面解析幾何8第7講拋物線練習(xí)理含解析

1、 刷好題 基礎(chǔ)題組練 2x2y2 （2019圖考全國卷n）若拋物線y=2px（p0）的焦點(diǎn)是橢圓而+p=1的一個(gè)焦點(diǎn), 則p=() A.2 D.8 解析：選D.由題意，知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為去0,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（土4,0）,所以2=，2p,解得p=8,故選D. 2.若點(diǎn)A,B在拋物線y2=2px（p0）上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若正三角形OAB勺面積為4/3,則該拋物線方程是（） A.y2=-xB.y2=/3x C.y2=23xD.y2=33x 解析：選A.根據(jù)對(duì)稱性，AB!x軸，由于正三角形的面積是4故乎A百=4/3,故AB =4,正三角形的高為2故可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（273,2）,代入拋物線方程得4

2、=443p,解得p=乎，故所求拋物線的方程為y2=平x.故選A. 3. （2019甘肅張掖診斷）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于RXI,y。，Qx2,y2）兩點(diǎn)，如果XI+X2=6,則|PQ=（） A.9B.8 C.7D.6 解析：選B.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-1.根據(jù)題意可得，|PQ =|PF|+|QF=XI+1+X2+1=XI+X2+2=8.故選B. 4. （2019昆明調(diào)研）過拋物線C：y2=2px（p0）的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C 交于A,B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M若|MN=|AB, 則l的斜率為（） 1

3、A.- 3第7講拋物線 B.3 C.4 B. D.1 解析： 選B.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為m分別過點(diǎn)AN,B作AA， 色NN， 簿BB， 中垂足分另1J為A,N,B. 因?yàn)橹本€l過拋物線的焦點(diǎn)，所以|BB|=|BF|,|AA|=|AF|. 11 又N是線段AB的中點(diǎn)，|MN=|AB，所以|NN|=-(|BB|+|AA|)=-(|BF+|AF) 1 1 =AB=2|MN,所以/MNN=60,則直線MN的傾斜角為120.又MNLI,所以直線l的傾斜角為30。 ， 斜率是號(hào).故選B. 5. (2019合肥模擬)已知直線y=k(x+2)(k0)與拋物線C：y2=8x相交于A,B兩點(diǎn)， F為C的焦點(diǎn).若|FA

4、=2|FB,則k=() B.( C.3 解析：選D.設(shè)拋物線C:y2=8x的準(zhǔn)線為l,易知l:x=2, 直線y=k(x+2)恒過定點(diǎn)P(-2,0), 如圖，過A,B分別作AMLl于點(diǎn)MBNLl于點(diǎn)N, 由|FA=2|FB,知|AM=2|BN, 所以點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，連接OB 1 則|OB=AF, 所以|OB=|BF|,所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1, 因?yàn)閗0, 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2柩, 2,2-022上小年 所以k=一丁=黃一.故選D.1-(2)3 6.拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)O,F的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36兀，則拋物線的方程為.1A.-

5、 3 解析：設(shè)滿足題意的圓的圓心為M 根據(jù)題意可知圓心M在拋物線上， 又因?yàn)閳A的面積為36%, ，一,一D一D 所以圓的半徑為6,則|MF=XM+2=6,即XM=62, ,一、一,D一一.DD.一 又由題息可知XM=4，所以4=62，解得D=8. 所以拋物線方程為y2*=16X. 答案：y2=16X 一一一、,2一, 7.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(一2,0)且斜率為4的直線與C交于MN兩點(diǎn), 3 貝uFM-FN=. 解析：設(shè)MXI,yi),NX2,y2).由已知可得直線的方程為y=1(x+2),即x=3y2,由32 y2=4X, 2 3 2得y-6y+8=0. 由根與系數(shù)的關(guān)系可

6、得yi+y2=6,yiy2=8, 4 _ 3(yiV2)2一.一一 所以Xi+X2=2(yi+y2)4=5,XIX2=而=4,因?yàn)镕(1,0),所以FM,FN=(Xi 1),(X21)+yiy2=xiX2(Xi+X2)+1+yiy2=45+1+8=8. 答案：8 8.(一題多解)(2018高考全國卷出)已知點(diǎn)M1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若/AM屋90,則k=. 解析：法一：由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),則過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線方程為y y=k(X1), =k(X1)(kw。)，由2 y=4X, 消去y得k2(X1)2=4X,即k2x2

7、(2k2+4)X+k2=0, 設(shè)A(Xi,yi),RX2,V2,則 2k2+4,y=k(Xi), Xi+X2=2,XIX2=1.由2 ky=4X, 消去X得y2= 4 一4=0,則yH-y2=,yiy2=4,由/AMB90k ,得MA-MB=(Xi+i, yi1),(X2+1,y2-1)=X1X2+xi+X2+1+yiy2(yi+y2)+1=0,將 2k24 xi+x2=ri-,XIX2=1 k 4 與yi+y2=k， yiy2=4代入，得k=2. 一yiV24一.一,一一一.， X2),則k=-=,取AB的中點(diǎn)M(xo,yo),分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線x=1的垂線，Xi-X2yi+y2 1_1_

8、 垂足分別為A,B,又/AMB=90,點(diǎn)M在準(zhǔn)線x=1上，所以1MM|=習(xí)AB=/(|AFJ 1 +|BF|)=2(|AA|+|BB|).又M為AB的中點(diǎn)，所以MM平彳r于x軸，且yo=1,所以 丫1+丫2=2,所以k=2. 答案：2 9.已知拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4,且位于x軸上方的 點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸，垂足為B,OB勺中點(diǎn)為M (1)求拋物線的方程； (2)若過M作MNLFA垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo). 解：(1)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=p, 一口p 于是4+2=5, 所以p=2. 所以拋物線方程為y2=4x. (2)

9、因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4), 由題意得B(0,4),M。，2). 4 又因?yàn)镕(1,0),所以kFA=-,3 一、，_，3 因?yàn)镸NLFA所以kM4. 4_ 又FA的方程為y=q(x1),3 3- MN勺方程為y2=4x, 一84 聯(lián)立，解得x=-,y=-, 55 所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為84. 55 10.已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為2(2的直線交拋物線于A(x1,y。， Rx2,y2)(xx2)兩點(diǎn)，且|AB=9. (1)求該拋物線的方程； (2)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若OoOs入OB求入的值. p,2 解：由題意得直線AB的方程為y=2y12-x2,與y=2px聯(lián)立,

10、 消去y有4x2-5px+p2=0, 所以xi+x2=半. 4 5p 由拋物線定乂得|AB=xi+x2+p=于+p=9, 所以p=4,從而該拋物線的方程為y2=8x. (2)由(1)得4x25px+p2=0, 即x25x+4=0, 則xi=1,x2=4, 于是yi=-2，2,y2=42, 從而A(1,2也),B(4,44,設(shè)C(xs,ys), 則OC（x3,ys）=（1,-2%/2）+入（4,4立） =（4入+1,4必入2?。? 又y3=8xs,所以2班（2入一1）2=8（4入+1）, 整理得（2入1）2=4入+1, 解得入=0或入=2. 綜合題組練 22 1.（2019重慶六校聯(lián)考）已知雙曲

11、線G：看=1（a0,b0）的離心率為2,若拋物 線C2：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)到雙曲線C的漸近線的距離為 2,則拋物線G的方程是（ -2 A.x=16y 2 B.x=8y C.x2=*D.x2=y 33 l5、x2y24一、ca2+b2 解析：選A.因?yàn)殡p曲線C：a-b2=1(a0,b0)的離心率為2,所以占=2,即了= 4,所以2=3.因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為bx土ay=0,拋物線a C2:x2=2py(p0)的焦點(diǎn) p pa 0,2到雙曲線的漸近線的距離為2,所以養(yǎng)幅=2,解得p=8,所以拋物線G的方程是 x2=16y. 2.（2019湖南郴州模擬）如圖，過拋物線y2=2px（p0）的

12、焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn) AB,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC=2|BF,且|AF=3,則此拋物線的方程是（） 從而拋物線的方程為y2=3x,故選C. 為3,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的最小值為() 解析：選A.由題意設(shè)A(xi,yi),Rx2,y2),M(xo,yo),直線AB的方程為y=kx+b.由題 2x2-kx-b=0,A=k2+8b0,xi+x2=g,xix2 、,一一y=kx+b-一 意知yobO,聯(lián)立得2,整理得 y=2x rk2yi+y222k2一、一 7+2b,點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yo=J2JL=xi+x2=z+b.因?yàn)橄褹B的長 b,則|AB=+k2- 為3,所以Vi+k. k2一2k2一一 -+

13、2b=3,即(i+k)(-+2b)=9,故(i+4y。一4b)(yo+b)=9,即(i +4yo4b)(4yo+4b)=36.由基本不等式得，(i+4yo4b)+(4yo+ ii一，一ii一， 工，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取小值為,故選A. 88 4.已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使彳導(dǎo)/AC助直 2 A.y=9x 2 B.y=6x 2 C.y=3x D.y2=3x 的PICFi口u3 故|AA|=西廠2，即P=2 3.(2Oi9廣東六校第一次聯(lián)考 )拋物線y=2x2上有一動(dòng)弦AB,中點(diǎn)為M且弦AB的長 D.i 4b)24(i+4yo4b)(4yo+4b)=i2,當(dāng)且

14、僅當(dāng) i b=8 時(shí)取等號(hào)，即i+8yoi2,yoii yo=T 角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 解析：如圖，設(shè)C(xo,x2)(x2wa),A(-a,a),B(/a,a), 于|BC=2|BF|=2|BB|,則直線AB的斜率為m, 故|AC=2|AA|=2|AF=6, 從而|BF=i,|AB=4, ii A.8 則CA=(-/a-xo,ax2),CB=(Vaxo,ax2). 解析：選C.設(shè)A,B在準(zhǔn)線l上的射影分別為 Ai,B,如圖，由 5B.4C. 3 2 因?yàn)镃兒CB所以CA-限0, 即一(ax0)+(ax0)2=0,(ax0)(1+ax0)=0,一一一2一一一 所以x0=a-10,所以a1.

15、 答案：1,+oo) 5.(應(yīng)用型)(2019湖南六校聯(lián)考)已知拋物線的方程為x2=2py(p0),其焦點(diǎn)為F,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)F作斜率為k(kw0)的直線與拋物線交于AB兩點(diǎn)，過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線，設(shè)兩條切線交于點(diǎn)M (1)求OAOB (2)設(shè)直線MF與拋物線交于C,D兩點(diǎn)，且四邊形ACBD勺面積為32p2,求直線AB的斜率 3 k. x2=2py, y1),B(x2,y2),由p得x22pkx y=kx+2, -p2=0, xX2=2pk, 則2所以y XI-X2=p, 所以O(shè)A。OB=XI,x2+y1,y2= ,2,X (2)由x=2py,知y= p XIX2XI 所

16、以拋物線在A,B兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為-p,-p,所以直線AM勺方程為yy1=1(x .、一.X2一.一,p -XI),直線BM的方程為y-y2=(x-x2),則可得Mpk,2. 一,1 所以kMF=-,所以直線MFAB相互垂直. k 由弦長公式知，|AB=楙2+1|XI-X2|=.k2+1：4p2k2+4p2=2p(k2+1), 用一1代替k得，|CD=2pJ+1, kk 四邊形ACBD勺面積S=1|AB|CD=2p22+k2+1=32p2,2k3 解得k2=3或k2=1, 3 即k=m或k= *.3 123 解：(1)設(shè)直線AB勺方程為 ，.pA, y=kx+,A(XI, y-， 6.(

17、創(chuàng)新型)(2019武漢調(diào)研)已知拋物線C:x2=2py(p0)和定點(diǎn)M(0,1)設(shè)過點(diǎn)M的 動(dòng)直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，拋物線C在A,B處的切線的交點(diǎn)為N (1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值； (2)若4AB廂面積的最小值為4,求拋物線C的方程. 解：設(shè)直線AB：y=kx+1,A(xi,yi),Rx2,y2), 將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x12-2pkx-2p=0, 貝Uxi+x2=2pk,xix2=2p. (1)由x2=2py得y=則A,B處的切線斜率的乘積為r-=-ppp 因?yàn)辄c(diǎn)N在以AB為直徑的圓上，所以ANLBN 2 所以-一=-1,所以p=2.pH x1x2 (2)易得直線ANy-y1=(x-x1),直線BNy-y2=(x-x2), x1,、 y-y1=(x-xO,聯(lián)立，得 *2，、 yy2=(xx2),p 一一，x=pk