2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)必考問題專項(xiàng)突破3不等式及線性規(guī)劃問題理

1、問題3不等式及線性規(guī)劃問題I真題體驗(yàn)I)1. （2020 上海）若a, be R,且ab0,則下列不等式恒成立的是 （A. a2+ b22abB. a+ b2 abc.14 -2- a b abb aD.-+-2a bA錯(cuò)；對于B、C：答案：D 對于A：當(dāng)a=b=1時(shí)滿足ab0,但a2+b2=2ab,所以112.當(dāng) a= b= - 1 時(shí)滿足 ab0,但 a+ b0, a + b0, 不0,顯然 B、C不對;對于D：當(dāng)ab0時(shí)，由基本不等式可得 b+a2A /b - a=2. a b , a b2. （2020 遼寧）若xC0, +8）,則下列不等式恒成立的是（）.A. e21 + x + x

2、2B 1 1 2x2D. ln（1 + x） x x2答案：C 正確命題要證明， 錯(cuò)誤命題只需舉一個(gè)反例即可.如A因?yàn)閑31 + 3+32,故A不恒成立；同理，當(dāng)x=1時(shí) 11x+1x2,故B不恒成立；因?yàn)閏os x+；x21 3#+x2421 21 2=-sin x+ x0(x 0 ,+8),且 x = 0 時(shí)，y= cos x + -x 1 = 0,所以 y= cos x + 2x 10恒成立，所以C對；當(dāng)x=4時(shí)，ln（1 +x） 2,則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y3. （2020 山東）設(shè)變量x, y滿足約束條件2x+y 1,的取值范圍是().33A -2, 6B. -2, -13C. -1,

3、6D. 6, 2答案：A y=3x,由圖作出不等式組所表示的區(qū)域如圖，由z = 3xy得，y=3xz,平移直線象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) 日2 , 0)時(shí)，直線y=3x z的截距最小，此時(shí)z最大為z=3X2 0= 6,4x y = - 1,當(dāng)直線經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，直線y=3x-z的截距最大，此時(shí)z最小由2x+y“解得1 x=33 32 此時(shí)z=3xy=5 3= 2,所以z = 3x y的取值氾圍是 一萬，6 . y=3,x0,4.(2020 安徽)若x,y滿足約束條件x+2y3, 則xy的取值范圍是 2x+y2 ab取等號(hào)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a=b；當(dāng)且僅當(dāng)計(jì)x+y x = y 時(shí)，4xy(x0, y0)取等號(hào)

4、.a+ b 2(2)幾個(gè)重要的不等式： abyab0b(a，b。)；1a+ 2( a 0,當(dāng)a= 1時(shí)等3成立.)；a2(a2+b2) (a+b) 2( a, bCR,當(dāng) a=b 時(shí)等號(hào)成立);| a| - | b| I ab| 0( aw 0)或 ax2+bx+cv 0( aw 0),可利用一元二次 方程、一元二次不等式和二次函數(shù)間的關(guān)系.2 .使用基本不等式以及與之相關(guān)的不等式求一元函數(shù)或者二元函數(shù)最值時(shí)，基本的技 巧是創(chuàng)造使用這些不等式的條件，如各變數(shù)都是正數(shù)，某些變數(shù)之積或者之和為常數(shù)等，解題中要根據(jù)這個(gè)原則對求解目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，使之達(dá)到能夠使用這些不等式求解最值的目的.在使用基本

5、不等式求函數(shù)的最值、特別是求二元函數(shù)最值時(shí)一定要注意等號(hào)成立的條件，盡量避免二次使用基本不等式.3 .平面區(qū)域的確定方法是“直線定界、特殊點(diǎn)定域”，二元一次不等式組所表示的平 面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的半平面的交集.線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by中的z不是直線ax+ by = z在y軸上的截距，把目標(biāo)函數(shù)化為az一. z 一 ，.，.y = bx+b可知b是直線ax+by=z在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號(hào)確定目標(biāo)函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值A(chǔ)A REDI ANM INaTIlJl AO&U一方 熱點(diǎn)命題角度權(quán)威透析：捷點(diǎn)美破基本不等式的應(yīng)用?？疾椋褐苯永没静坏仁角笞钪?；先利

6、用配湊法等進(jìn)行恒等變形，再利用基本不等式求最值.近幾年高考試題?？疾閷?shí)際應(yīng)用題中基本不等式的應(yīng)用，應(yīng)引起我們的重視.【例1】？ (2020 重慶)已知x0,y0,x+2y + 2xy=8,貝U x+ 2y的最小值是().911A. 3 B . 4 C. 2 D.審題視點(diǎn)聽課記錄審題視點(diǎn)將已知式改寫成y關(guān)于x的表達(dá)式，再代入 x + 2y消元，整理成應(yīng)用基本不等式的形式求最值.B . x+2y+2xy=8,8 x1-y=2x + 2 0，1Vx2x+ 12 = 4,此時(shí) x= 2,x 1y=1,故選 b.方一錦宜當(dāng)函數(shù)或代數(shù)式具有“和是定值”、“積是定值”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)時(shí)，常利用基本不等式求其最大、

7、 最小值.在具體題目中， 一般很少考查基本不等式的直接應(yīng)用，而是需 要對式子進(jìn)行變形，尋求其中的內(nèi)在關(guān)系，然后利用基本不等式得出結(jié)果.【突破訓(xùn)練1】 已知a0, b0,且a+2b=1.則+1的最小值為a b解析1 1 a+2b a+2b 2b a a+b=k+，=3+ v+b即a+b的最小值為3+ 2 ：2.答案 3+2也線性規(guī)劃問題的解法線性規(guī)劃問題?？疾橛腥N題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積； 三是知最優(yōu)解情況或可行域情況確定參數(shù)的值或取值范圍.同時(shí)，這也是高考的熱點(diǎn)， 主要以選擇題、填空題的形式考查.3x-y-60,若目標(biāo)函數(shù)zx0, y0.= ax+by(a0, b0)的最大值為12,

8、則3+：的最小值為().a bA 25 B. 8 C. 11 D . 4633審題視點(diǎn)聽課記錄審題視點(diǎn)先由已知結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)可以求得a, b的關(guān)系式，再由基本不等式求解.A 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分.當(dāng)直線ax+ by= z( a 0, b 0)過直線x y+2=0與直線3xy 6= 0的交點(diǎn)(4,6)時(shí), 目標(biāo)函數(shù) z=ax+by(a0, b0)取得最大值 12,即 4a+6b= 12,即 2a+3b=6.-2 3所以a+ b=2 3 2a+3b 13 b a1325a+ b 6 - 6 + a+ b6 + 2- 6 .方一錦我線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想

9、.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時(shí)，要注意 與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)，比如上題中目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)直線的斜率a0；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.【突破訓(xùn)練2】（2020 江西）某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55力兀韭菜6噸0.9萬元0.3力兀為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入一總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）.A. 50,0 B .

10、30,20 C , 20,30 D , 0,50答案：B 設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x畝，y畝，總利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為 z=（0.55 X4 x-1.2x） +（0. 3X6y0.9y） = x+0.9y.線性約束條件為x+ y50, 1.2x+0.9y0,x+ yw 50, 4x+3y0, y0.y0,畫出可行域，如圖所示.x+ y = 50,作出直線10： x+0.9y=0,向上平移至過點(diǎn) B時(shí)，z取得最大值，由4x+3y=180,求得 B(30 , 20).不等式解法的考查?？疾椋汉瑓⒉坏仁降那蠼猓灰阎瑓⒉坏仁胶愠闪?，求參數(shù)的取值范圍，尤其是一元二次不等式的求解是高考重點(diǎn)考查的

11、知識(shí)點(diǎn)之一，幾乎涉及高中數(shù)學(xué)的所有章節(jié)，且?？汲Ｐ?，要注意解題的靈活性.【例3】？若不等式x2-ax+10對于一切xC (0,2成立，求a的取值范圍.(1)若題中區(qū)間改為xC -2,2,求a的取值范圍；(2)若題中區(qū)間改為ae -2,2,求x的取值范圍.審題視點(diǎn)聽課記錄審題視點(diǎn)原題可利用分離法求解；(1)分離參數(shù)后，需分 x=0, xC(0,2 , xC 2,0)討論；(2)利用變換主元法求解.“一小八，x2 + 1 .x2+1 2x解 原不等式可化為 aw, 而 =2,x x x所以a的取值范圍是(8, 2.(1)因?yàn)閤C -2,2，而當(dāng)x=0時(shí)，原式為02-a - 0+1封0恒成立，此時(shí)a

12、C R當(dāng)xwox + 11時(shí)，令 f (x) = -x=x+x,則當(dāng) xC(0,2時(shí)，知 aC(8, 2,所以當(dāng) xC2,0)時(shí),x +1x +11因?yàn)?a x ,令 f(x)=x= x + x,由函數(shù)的單調(diào)性可知,所以 f ( x) max= f ( 1) = 2 ,所以 a 2 , +),綜上可知，a的取值范圍是2,2.a的函數(shù),R,(2)因?yàn)閍e -2,2,則可把原式看作關(guān)于 即g(a) =xa+x2+10,由題意可知，-2g - 2 =x+2x+10,g 2=x2-2x+10,解之得 xC所以x的取值范圍是(一00,+00).方法靠宣本題考查了不等式恒成立問題,在給定自變量的取值范圍時(shí)

13、，解有關(guān)不等式問題時(shí)，往往采用分離變量或適當(dāng)變形，或變換主元，或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式進(jìn)行求解， 在解答時(shí)，一定要注意觀察所給不等式的形式和結(jié)構(gòu)，選取合適的方 法去解答.【突破訓(xùn)練3】 已知f (x) =x2 2ax+2,當(dāng)xe - 1, +8)時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范圍.設(shè)F(x)=x22ax+2 a,則問題的條彳變?yōu)楫?dāng) xC 1,十)時(shí)，F(xiàn)(x)0恒成立. 2當(dāng) = ( 2a) 4(2 - a) =4(a+2) ( a-1)0 恒成立.又當(dāng)A0時(shí)，F(xiàn)(x)0在1, +8)上恒成立的充要條件是 0,a1 或a 2,-2a 一 3，? 3wav- 2.a4.審題視點(diǎn)

14、聽課記錄審題視點(diǎn)第(1)問基礎(chǔ)常規(guī)，第(2)問要證明不等式，常規(guī)方法很難見效，轉(zhuǎn)而構(gòu)造函數(shù)，反復(fù)利用導(dǎo)數(shù)作工具研究函數(shù)的單調(diào)性，其中需要一定的探究能力.2.,a2x + 2x+ a(1)解 f (x) = 2x+-=(x- 1).1+x 1+x令 g(x)=2x2+2x+a,其對稱軸為 x=-2由題意知x1、x2是方程g(x) =0的兩個(gè)均大于一1的不相等的實(shí)根，且x1 = 1 + 52ax2= 一 1 一41 一 2a故 f (x2) = h( x2) 12ln 241 2ln 24其充要條件為 A-4_8a0,得OvavJ.g -1 =a0,2當(dāng) xC ( 1, xi)時(shí)，f (x) 0,

15、2 f(x)在(一1, Xi)內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) xC (Xi, x2)時(shí)，f (x)V0,3 f (x)在(xi , x2)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng) xC (x2,+8)時(shí)，f (x)0,4 f (x)在(x2, +)內(nèi)為增函數(shù).(2)證明 當(dāng) xC(x2, +8)時(shí)，/(x)0,5 一 2V x2- 1 ,則 h (x) = 2x-2(2x+ 1)ln(1 +x) -2x=- 2(2x+ 1)ln(1 +x).1當(dāng) xC 2, 0 時(shí)，h (x) 0,1 .h(x)在2, 0上單調(diào)遞增;當(dāng) xC (0 , +8)時(shí)，h (x) h 2往往需要對所求出的導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行分類討論利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，從

16、而使問題的解決方法舞克用在確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí), 來解決，不等式的證明常常借助構(gòu)造函數(shù)， 變得簡單、明快.【突破訓(xùn)練 4】 已知函數(shù)f(x) =x33ax29a2x+a3.若a4,且當(dāng)x 1,4 a時(shí),|f (x)| W12a恒成立，試確定 a的取值范圍.解f (x) = 3x2 6ax9a2的圖象是一條開口向上的拋物線，關(guān)于 x=a對稱.1若4V aw1,則(x)在1,4 a上是增函數(shù)，從而f (x)在1,4 a上的最小值是f (1)=3-6a-9a2,最大值是 f (4 a) = 15a2.由|f (x)| 12a,由 f (1) - 12a,得一1a1,由3f (4 a) 1,則 |f

17、(a)l= 12a212a.故當(dāng)xC 1,4 a時(shí),|f (x)| 12a不恒成立.所以使|f (x)| 0)的圖象在點(diǎn)(1 , f(1)處 x的切線方程為y = x1.(1)用a表不出b, c;(2)若f(x)ln x在1 , +)上恒成立，求 a的取值范圍.b滿分解答(1) f (x) = afxf 1=a+b+c=0,1 = a-b=1,b= a- 1,解得(4分)c = 1 2a.(2)由(1)知，f(x)=ax+a1 +1 2a. x令 g(x)=f(x) ln x=ax+ a_-+ 1 2a lnx1 ， +),則 g(1) =0,a-1 1g(x) = 丁一xax2-x- a- 1 a2=xx- 11 a x -a.(8 分)當(dāng) 0vav1 時(shí)，1a1. 2 a若 1vxa，則 g (x)0ag(x)是減函數(shù),所以 g(x) ln x在1 , 十0)上不恒成立.(10分)1 1 a當(dāng)a1時(shí)，1一1,則 g ( x) 0, g(x)是增函數(shù)，所以 g(x) g(1) = 0,即 f (x) ln x,故當(dāng) xl 時(shí)，f (x) ln x.八，一，,1綜上所述，所求a的取值范圍為2, +8.(12分)老師叮嚀：對不確定的