等差數(shù)列的前n項(xiàng)和性質(zhì)及應(yīng)用72355

1、若若a8=5，你能求出，你能求出S15嗎？嗎？1212121 ()(21)2nnnnaaSna（）結(jié)論：結(jié)論：等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前2n-1項(xiàng)和公式：項(xiàng)和公式：性質(zhì)性質(zhì)6:若數(shù)列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項(xiàng)的和分別為項(xiàng)的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 2121nnST 學(xué)案學(xué)案76 達(dá)標(biāo)達(dá)標(biāo)7)(52)(10,2)(5)(2)(12)(1101101baxxSbaxxbabababaSSn：解法：解法3： 在在a、b之間插入之間插入10個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等 差數(shù)列，求這差數(shù)列，求這10個(gè)數(shù)的和。個(gè)數(shù)的和。4： 已知等差數(shù)列已

2、知等差數(shù)列an中中a2+a5+a12+a15=36. 求前求前16項(xiàng)的和項(xiàng)的和?解解: 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得由等差數(shù)列的性質(zhì)可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 Sn=（16/2 ） 18=144 答答:前前16項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為144。分析：可以由等差數(shù)列性質(zhì)，直接代入前分析：可以由等差數(shù)列性質(zhì)，直接代入前n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日例例1 已知數(shù)列已知數(shù)列an中中Sn=2n2+3n， 求證：求證：an是等差數(shù)列是等差數(shù)列.20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2若數(shù)列若數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和

3、項(xiàng)和Sn32n，求，求an.題型(二)已知Sn，求通項(xiàng)公式an：課本課本P45 ex2等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式: :2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 1. 1.將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于看作是一個(gè)關(guān)于n n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù) 有什么特點(diǎn)？有什么特點(diǎn)？2) 1(1dnnnaSn當(dāng)當(dāng)d00時(shí)時(shí), ,S Sn n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)21()22nddSnan則則 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值項(xiàng)和的最

4、值(1)若若a10，d0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為_項(xiàng)項(xiàng)(或或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最的最_值；值；(2)若若a10，d0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為_項(xiàng)項(xiàng)(或或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最的最_值值特別地，若特別地，若a10，d0，則，則_是是Sn的最的最_值；值；若若a10，d0，則，則_是是Sn的最的最_值值負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)小小正數(shù)正數(shù)大大S1小小S1大大題型(三)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值問題：(方法方法 2)通項(xiàng)法：當(dāng)通項(xiàng)法：當(dāng) a10，d0， an0an10時(shí)，時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)取得最大值；當(dāng)

5、 a10，d0， an0an10時(shí)，時(shí)，Sn取得最小值取得最小值 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題項(xiàng)的最值問題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1) ( 2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題項(xiàng)的最值問題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法2

6、由由S3=S11得得d=20當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49.則則Sn的圖象如圖所示的圖象如圖所示又又S3=S11所以圖象的對(duì)稱軸為所以圖象的對(duì)稱軸為31172n 7n113Sn等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題項(xiàng)的最值問題例例1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn a7+a8=0等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)的最值問題項(xiàng)的最值問題例例1.已知等差數(shù)

7、列已知等差數(shù)列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值時(shí)取何值時(shí),Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得當(dāng)當(dāng)n=7時(shí)時(shí),Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a80,d0時(shí)時(shí),數(shù)列數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正前面有若干項(xiàng)為正,此時(shí)所有正項(xiàng)的和為此時(shí)所有正項(xiàng)的和為Sn的最大值的最大值,其其n的值由的值由an0且且an+10求求得得.當(dāng)當(dāng)a10時(shí)時(shí),數(shù)列前面有若干項(xiàng)為數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù)負(fù),此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的和為Sn的最小值的最小值,其其n的值由的值由an 0且且an+1 0求

8、得求得.練習(xí)練習(xí):已知數(shù)列已知數(shù)列an的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為an=26-2n,要使此數(shù)列的前要使此數(shù)列的前n項(xiàng)和最大項(xiàng)和最大,則則n的值為的值為( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C例例6：已知數(shù)列：已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且是等差數(shù)列，且a1= 21，公差，公差d=2，求這個(gè)數(shù)列的前，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的最大值。的最大值。的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為 , ,當(dāng)當(dāng)n n為何值時(shí)，為何值時(shí)， 最大，最大，數(shù)列數(shù)列 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 ns nans na已知已知 求：求：例例7設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列0,24113sa【點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)】綜合上面的解法我們可以得到求數(shù)列綜合上面的解法我們可以

9、得到求數(shù)列前前n項(xiàng)和的最值問題的解法：項(xiàng)和的最值問題的解法： (1)二次函數(shù)法二次函數(shù)法：運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借：運(yùn)用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合，從而使問題得解；助函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合，從而使問題得解； (2)通項(xiàng)公式法通項(xiàng)公式法： 當(dāng)當(dāng)a a1 10,0,d d00時(shí)時(shí), ,數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正數(shù)列前面有若干項(xiàng)為正, ,此時(shí)所有正項(xiàng)的此時(shí)所有正項(xiàng)的和為和為SnSn的最大值的最大值, ,其其n n的值由的值由a an n00且且a an+1n+100求得求得. .當(dāng)當(dāng)a a1 10,00時(shí)時(shí), ,數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)列前面有若干項(xiàng)為負(fù), ,此時(shí)所有負(fù)項(xiàng)的此時(shí)所有

10、負(fù)項(xiàng)的和為和為SnSn的最小值的最小值, ,其其n n的值由的值由a an n 0 0且且a an+1n+1 0 0求得求得. .求Sn的最值問題的方法：21()22nddSnan 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn33nn2.(1)求證：求證：an是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；(2)問問an的前多少項(xiàng)和最大的前多少項(xiàng)和最大解：解：(1)證明：當(dāng)證明：當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，anSnSn1342n，又當(dāng)又當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1S1323421滿足滿足an342n.故故an的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為an342n.所以所以an1an342(n1)(342n)2.故數(shù)列故數(shù)列an是以是以32為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，2為

11、公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3數(shù)列數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn33nn2.(1)求證：求證：an是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；(2)問問an的前多少項(xiàng)和最大的前多少項(xiàng)和最大(2)令令an0，得，得342n0，所以，所以n17，故數(shù)列故數(shù)列an的前的前17項(xiàng)大于或等于零項(xiàng)大于或等于零又又a170，故數(shù)列，故數(shù)列an的前的前16項(xiàng)或前項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最項(xiàng)的和最大大學(xué)案學(xué)案P74 ex10練習(xí)練習(xí): :已知數(shù)列已知數(shù)列 a an n 的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為a an n=26-2n,=26-2n,要使要使此數(shù)列的前此數(shù)列的前n n項(xiàng)和最大項(xiàng)和最大, ,則則n n的值為的值為( )( )A.12

12、 B.13 A.12 B.13 C.12C.12或或13 D.1413 D.14C1、數(shù)列前、數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和五、小結(jié)五、小結(jié).2)(1nnaanS.2)1(1dnnnaSn2、等差數(shù)列前、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式.321nnaaaaS 題型題型(一一)等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算3、三種題型、三種題型題型題型(二二)已知已知Sn，求通項(xiàng)公式，求通項(xiàng)公式an題型題型(三三)等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的最值問題的最值問題2nSAnBn (A,B為常數(shù)，為常數(shù)，nN*)為等差數(shù)列數(shù)列nanaa 1知三求二知三求二4求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值方法項(xiàng)和的最值

13、方法(1)二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其二次函數(shù)法：用求二次函數(shù)的最值方法來求其前前n項(xiàng)和的最值，但要注意項(xiàng)和的最值，但要注意nN*，結(jié)合二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性來確定圖象的對(duì)稱性來確定n的值，更加直觀的值，更加直觀裂項(xiàng)求和法裂項(xiàng)求和法121121) 12(1222111) 1(11nnnnnnnn、nnnnan1113、20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日3.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2nSn,S3nS2n, 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列,公差為公差為在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,其前其前n項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為Sn,則有則有性質(zhì)性質(zhì)2:若若Sm=

14、p,Sp=m(mp),則則Sm+p=性質(zhì)性質(zhì)3:若若Sm=Sp (mp),則則 Sp+m=性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n,則則 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1為中為中間兩項(xiàng)間兩項(xiàng)),此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶n2d0nd1nnaa (m+p)20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日性質(zhì)性質(zhì)4:(1)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1,則則 S2n-1=(2n 1)an (an為中間項(xiàng)為中間項(xiàng)), 此時(shí)有此時(shí)有:S偶偶S奇奇= ,SS 奇奇偶偶兩等差數(shù)列前兩等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系性質(zhì)性質(zhì)6:若數(shù)

15、列若數(shù)列an與與bn都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列,且且前前n項(xiàng)的和分別為項(xiàng)的和分別為Sn和和Tn,則則nnab 性質(zhì)性質(zhì)5: 為等差數(shù)列為等差數(shù)列.nSnan1nn 2121nnST 20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用：例例1.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn,若若S3=9,S6=36,則則a7+a8+a9=( )A.63 B.45 C.36 D.27例例2.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中中,已知公差已知公差d=1/2,且且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=( )A.85 B.145 C.110 D.90BA

16、20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日例例3.一個(gè)等差數(shù)列的前一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為100,前前100項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為10,則它的前則它的前110項(xiàng)的和項(xiàng)的和為為 .110例例4.兩等差數(shù)列兩等差數(shù)列an 、bn的前的前n項(xiàng)和分項(xiàng)和分別是別是Sn和和Tn,且且71427nnSnTn 求求 和和 . 55abnnab556463ab 146823nnanbn 4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用：20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日4.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用：例例5.一個(gè)等差數(shù)列的前一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為354,其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)其中項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的項(xiàng)的和之比為的項(xiàng)的和之比為32:27,則公差為則公差為 .例例6.(09寧夏寧夏)等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)的和項(xiàng)的和為為Sn,已知已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則則m= .例例7.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an=2n-7,則則|a1|+|a2|+|a3|+|a1