新北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下第四章《變量之間的關(guān)系》單元知識(shí)總結(jié)(精)

1、變量之間的關(guān)系單元知識(shí)總結(jié)及典型例題1,在一次實(shí)驗(yàn)中，小強(qiáng)把一根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，下面是測(cè)得的彈簧的長(zhǎng)度 與所掛物體的質(zhì)量x的一組對(duì)應(yīng)值：所掛重量x(kg)012345彈簧長(zhǎng)度y(cm)202224262830(1)上述表格反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？(2)當(dāng)所掛重物為4kg時(shí)，彈簧多長(zhǎng)？不掛重物呢？若所掛重物為6kg時(shí)(在彈簧的允許范圍內(nèi))，你能說(shuō)出此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度嗎 分析 抓住表格中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，找出變量之間的規(guī)律.解(1)彈簧長(zhǎng)度y,物體重量x是變量，物體重量是自變量，彈簧長(zhǎng)度是因變量; (2)當(dāng)所掛重物為4kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為28cm,不掛重物時(shí)弓

2、t簧長(zhǎng)度為 20cm； 當(dāng)所掛重物為6kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為32cm.2.如圖61所示，梯形上底的長(zhǎng)是 x,下底的長(zhǎng)是15,高是8.圖6(1)梯形面積y與上底長(zhǎng)x之間的關(guān)系式是什么？(2)用表格表示當(dāng)x從10變到20時(shí)(每次增加1), y的相應(yīng)值;當(dāng)x每增加1時(shí)，y如何變化？說(shuō)說(shuō)你的理由；(4)當(dāng)x=0時(shí)，y等于什么？此時(shí)它表示的是什么？分析(1)根據(jù)梯形面積公式可推出y與x的關(guān)系式；(2)通過(guò)計(jì)算列表說(shuō)明；(3)由表格中的數(shù)據(jù)可以觀察出；(4)當(dāng)上底為零時(shí)(即成為一個(gè)點(diǎn))，成為三角形.-1斛(1) y= (x+15)<8,2即 y=4x+60 ;(2)xio1112131415161718

3、1920y100104108112116120124128132136140(3)當(dāng)x每增加1時(shí)，y的值隨之增加4;(4)當(dāng)x=0時(shí)，y=60,此時(shí)梯形成為了三角形.3.地殼的厚度約為 8到40km.在地表以下不太深的地方，溫度可按y=35x+t計(jì)算，其中x是深度(km) , t是地球表面溫度(C), y是所達(dá)深度的溫度(C ).(1)在這個(gè)變化過(guò)程中，自變量、因變量各是什么？(2)分別計(jì)算當(dāng)x為lkm, 5km, 10km,20km時(shí)地殼的溫度(地表溫度為2C).解(1)自變量是深度，因變量是溫度；(2)當(dāng) x=1km時(shí)，y=35x+t=35x X 1+2=37( C)；當(dāng) x=5km 時(shí)，

4、y=35x+t=35 X 5+2=177( C )；當(dāng) x=10km 時(shí)，y=35x+t=35 X 10+2=352( C)；當(dāng) x=20km 時(shí)，y=35x+t=35 X 20+2=702( C).說(shuō)明 初步體會(huì)自變量和因變量的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，能由自變量的值求得因變量的值.題型發(fā)散發(fā)散1選擇題 把正確答案的代號(hào)填入題中的括號(hào)內(nèi).(1)下面的圖表列出了一項(xiàng)試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，表示將皮球從高處d落下時(shí)，彈跳高度 b與下落高度d的關(guān)系.試問(wèn)，下面的哪個(gè)式子能表示這種關(guān)系(單位：cm)()d5080100150b254050752_. d _(A) b = d (B)b=2d (C) b = (D)b=d

5、+252(2)某地一天的氣溫隨時(shí)間的變化如圖6 2,根據(jù)圖象可知：在這一天中最高氣溫與達(dá)到最高氣溫的時(shí)刻分別是()0 2 4 6 8 10 12 34 16 & 20 22 24 f(h)圖62(A)14 C; 12h (B)4 C; 2h (C)12 C; 14h (D)2 C; 4h解(1)用驗(yàn)證法.當(dāng) d=50 時(shí)，b=d = 50=25；22當(dāng) d=80 時(shí)，b=d = 80=4022當(dāng) d=100 時(shí)，b = =100 =50 -22'當(dāng) d=150 時(shí)，b=d =150=75.22因上述數(shù)字完全與表格中的數(shù)字符合.故本題應(yīng)選(C).(2)用直接法.由圖6 2知一天達(dá)

6、到最高氣溫 12c的時(shí)間是14時(shí).故本題應(yīng)選(C).發(fā)散2填空題如圖63, ABC是等腰三角形，周長(zhǎng)是 60cm,腰為xcm,底為ycm.A圖6-3(1)寫(xiě)出用含x的關(guān)系式來(lái)表示y;(2)當(dāng)腰由20cm變化到25cm時(shí)，底邊長(zhǎng)由 cm變化到 cm；(3)腰為20cm時(shí)，是什么形狀的三角形 ？若腰為30cm時(shí)，行嗎？分析 三角形的周長(zhǎng)是三條邊長(zhǎng)的和.解：(1)y=60-2x ;(2)底邊由20cm變化到10cm；(3)當(dāng)腰為20cm時(shí)，是等邊三角形，若腰為30cm,則無(wú)法形成三角形.縱橫發(fā)散發(fā)散1南京市在某一天的地表氣溫是38C,據(jù)測(cè)量每升高1km,氣溫下降6C,那么在hkm的高空，溫度t是多少

7、？并計(jì)算當(dāng)h的值是6km. 10km 12km時(shí)的氣溫.討論一下民用飛機(jī)在一萬(wàn)米高空飛 行時(shí)，機(jī)艙為什么要與機(jī)外空氣隔絕？分析用含h的代數(shù)式來(lái)表示氣溫.解：t=38-6h .當(dāng) h=6 時(shí)，t=2 C；當(dāng) h=10 時(shí)，t=-22 C；當(dāng) h=12 時(shí)，t=-34 C.原因有很多，其中一點(diǎn)是機(jī)艙外溫度非常低.發(fā)散2嬰兒在6個(gè)月、一周歲、2周歲時(shí)體重分別大約是出生時(shí)的2倍、3倍、4倍，6周歲、10周歲時(shí)體重分別約是 1周歲時(shí)的2倍、3倍.(1)上述哪些量在發(fā)生變化 ？自變量和因變量各是什么 ？(2)某嬰兒在出生時(shí)的體重是3.5kg，請(qǐng)把他在發(fā)育過(guò)程中的體重情況填入卜表:年齡剛出生6個(gè)月1周歲2周

8、歲6周歲10周歲體重(kg)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，說(shuō)一說(shuō)兒童從出生到10周歲之間體重是怎樣隨年齡增長(zhǎng)而變化的解：(1)年齡和體重都在變化；年齡是自變量，體重是因變量；(2)年齡剛出生6個(gè)月1周歲2周歲6周歲10周歲體重(kg)3.57.010.014.521.531.5(3)兒童從出生到10周歲之間，隨著年齡的增長(zhǎng)體重在增加.轉(zhuǎn)化發(fā)散發(fā)散1圖6 4是某地一天的氣溫隨時(shí)間變化的圖象.根據(jù)圖象回答，在這一天中:(1)什么時(shí)間氣溫最高？什么時(shí)間氣溫最低？最高氣溫和最低氣溫各是多少？(2)20時(shí)的氣溫是多少？(3)什么時(shí)間的氣溫為6C?(4)哪段時(shí)間內(nèi)氣溫不斷下降？(5)哪段時(shí)間內(nèi)氣溫持續(xù)不變？8圖6-4

9、解：(1)凌晨4時(shí)，氣溫最低，氣溫是 -4C; 16時(shí)氣溫最高，氣溫是 10C;(2)20時(shí)的氣溫是8C;(3)10時(shí)和22時(shí)的氣溫都是6C；(4)0時(shí)到4時(shí)和16時(shí)到24時(shí)這兩段時(shí)間內(nèi)氣溫不斷下降；(5)12時(shí)到14時(shí)這兩個(gè)小時(shí)內(nèi)氣溫保持8c的溫度不變.解法指導(dǎo) (1)氣溫最低、最高反映在圖象上就是找最低點(diǎn)和最高點(diǎn)；(2)20時(shí)的氣溫是多少，實(shí)質(zhì)上是求當(dāng) t=20時(shí)，T=?(3)什么時(shí)間的氣溫為 6C,實(shí)質(zhì)上是求當(dāng) T=6C時(shí)，t=?直線T=6與圖象交于兩點(diǎn)，因此 t=10或 t=22 ;(4)圖中共有兩段時(shí)間氣溫不斷下降，不可遺漏；(5)氣溫保持不變，指的是T值保持不變，圖中只有 t在12

10、h到14h這兩個(gè)小時(shí)滿足條件.發(fā)散2為了加強(qiáng)公民的節(jié)水和用水意識(shí)，合理利用水資源，各地采用價(jià)格調(diào)控等手段達(dá)到節(jié)約用水的目的.某市規(guī)定如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月的用水不超過(guò)6m3時(shí)，水費(fèi)按每立方米 a元收費(fèi)；超過(guò)6m3時(shí)，不超過(guò)的部分每立方米仍按a元收費(fèi)，超過(guò)的部分每立方米按c元收費(fèi).該市某戶今年3、4月份的用水量和水費(fèi)如下表所示：月份用水量(m3)水費(fèi)(元)357.54927設(shè)某戶該月用水量為x m3 ,應(yīng)交水費(fèi)為y(元).(1)求a、c的值，并寫(xiě)出用水不超過(guò)6m3和超過(guò)6m3時(shí)，y與x之間的關(guān)系式;(2)若該戶5月份的用水量為8m3,求該戶5月份的水費(fèi)是多少元 ？解：(1)依題意，有：當(dāng) x

11、 w 6 時(shí)，y=ax;當(dāng) x>6 時(shí)，y=6a+c(x-6).由已知，得7.5 =5a27 = 6a +3ca =1.5c =6y=1.5x(x < 6),y=9+6(x-6)=6x-27(x>6) (2)將 x=8 代人 y=6x-27(x>6), y=6X 8-27=21(元).答：t戶5月份的水費(fèi)是21元.發(fā)散3如圖65所示的曲線表示某人騎一輛自行車(chē)時(shí)離家的距離與時(shí)間的關(guān)系.騎車(chē)者九點(diǎn)離 開(kāi)家，十五點(diǎn)回家.根據(jù)這個(gè)曲線圖，回答下列問(wèn)題：前I h)距離km圖6，(1)到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時(shí)間？離家多遠(yuǎn)？(2)何時(shí)開(kāi)始第一次休息？休息多長(zhǎng)時(shí)間？(3)第一次休息時(shí)

12、離家多遠(yuǎn) ？(4)11:00到12:00他騎了多少千米？(5)他在9:00至IJ 10:00和10:00至IJ 10:30的平均速度是多少 ？(6)他在何時(shí)至何時(shí)停止前進(jìn)并休息用午餐？(7)他在停止前進(jìn)后返回，騎了多少千米？返回時(shí)的平均速度是多少？解(1)到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方的時(shí)間是12時(shí)，離家30km；(2)10.5 時(shí)開(kāi)始第一次休息，休息了 0.5h ;第一次休息時(shí)離家17.5km；(4)11:00 到 12:00 ,他騎了 12.5km；(5)9:00 到10:00的平均速度是lOkm/h, 10:00到10:30的平均速度是 15km/h;(6)從12:00到13:00間停止前進(jìn)，并休息

13、用午餐較為符合實(shí)際情況；(7)他在停止前進(jìn)后返回，騎了30km,共用了 2h,故返回時(shí)的平均速度是15km/h.知識(shí)整合網(wǎng)絡(luò)菱直之間更索的探索演及天涼一+ 劉甬變量之麗暮 解決問(wèn)題、進(jìn)行預(yù)測(cè).變量之間關(guān)系的表示 一|分析用表格、關(guān)系 二式、圖象所表示的變最之間的關(guān)系f慢格法關(guān)系式法【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】量與量之間存在著相互影響的關(guān)系，本章通過(guò)豐富的現(xiàn)實(shí)情境引入變量對(duì)變量之間關(guān)系的討論， 使學(xué)生體驗(yàn)探索和表示變量之間關(guān)系的過(guò)程，獲得對(duì)表格、關(guān)系式、圖象等多種方法的認(rèn)識(shí)，能讀懂 表格、關(guān)系式、圖象所表示的信息，能用自己的語(yǔ)的描述表格、關(guān)系式和圖象所表示的關(guān)系，并能預(yù) 測(cè).關(guān)系式是表示變量之間關(guān)系的另一種

14、方法.利用關(guān)系式，可以依據(jù)任何一個(gè)自變量的值求出相應(yīng) 的因變量的值.也可以依據(jù)因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值由學(xué)習(xí)常量問(wèn)題轉(zhuǎn)入學(xué)習(xí)變量問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)思維的一種躍升，引導(dǎo)我們前進(jìn)的是一種嶄新的思 維方式.【中考信息傳遞】近年來(lái)全國(guó)各省、市中考題中涉及本章內(nèi)容的題型多為選擇題、填空題，也有部分的應(yīng)用題及因 變量關(guān)于自變量的關(guān)系式的中檔題，應(yīng)該充分重視.【中考名題賞析】題型發(fā)散發(fā)散1填空題(1)觀察下列圖形(圖624),若第個(gè)圖形中陰影部分的面積為1,第個(gè)圖形中陰影部分的面積為3 ,第個(gè)圖形中陰影部分的面積為,第個(gè)圖形中陰影部分的面積為27 ,則第n個(gè)圖形41664圖 6-24解因?yàn)榈?塊圖形的面積

15、為1,第2塊圖形的面積為3、3=一;<4,J4第3塊圖形的面積為色十_?口 J 一 16'第4塊圖形的面積為/34 1但二27；<4 J64'尸第n塊圖形的面積為° i .(2)如圖625,觀察下列三角形圖案，每行圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)有什么規(guī)律？設(shè)每個(gè)三角形有n行，用n的代數(shù)式表示這兩個(gè)三角形圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)，為 (2002年廣西壯族自治區(qū)中考試題)圖 6-25解第1行圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為1+n,第2行圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為2+(n-1)=1+n ,第3行圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+(n-2)=1+n ,第n行圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n+1.以上共有n行，故這兩個(gè)三角形圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)為n(n+1)個(gè).發(fā)散2解答

16、題(分別如圖626表示一騎自行車(chē)者和一騎摩托車(chē)者沿相同路線由甲地到乙地行駛過(guò)程的函數(shù)圖象為正比例函數(shù)和一次函數(shù)).兩地間的距離是 80km.請(qǐng)你根據(jù)圖象回答或解決下面的問(wèn)題：圖 6-26(1)誰(shuí)出發(fā)的較早？早多長(zhǎng)時(shí)間徘到達(dá)乙地較早？早到多長(zhǎng)時(shí)間？(2)兩人在途中行駛的速度分別是多少？(3)請(qǐng)你分別求出表示自行車(chē)和摩托車(chē)行駛過(guò)程的函數(shù)解析式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍)；(4)指出在什么時(shí)間段內(nèi)兩車(chē)均行駛在途中(不包括端點(diǎn))；在這一時(shí)間段內(nèi)，請(qǐng)你分別按下列條件列出關(guān)于時(shí)間x的方程或不等式(不要化簡(jiǎn)，也不要求解)：自行車(chē)行駛在摩托車(chē)前面；自行車(chē)與摩托車(chē)相遇；自行車(chē)行駛在摩托車(chē)后面.解(1)由圖可以看出：自行車(chē)出發(fā)較早，早 3h;摩托車(chē)到達(dá)乙地較早，早 3h.(2)對(duì)自行車(chē)而言：彳T駛的距離是80km,耗時(shí)8h,所以其速度是：80+8=10(km/h);對(duì)摩托車(chē)而言：行駛的距離是 80km,耗時(shí)2h,所以其速度是：80+2=40(km/h).(3)設(shè)表示自行車(chē)行駛過(guò)程的函數(shù)解析式為:.