岡薩雷斯-數(shù)字圖像處理第3版第4章習題-4.16-4.43

1、4.16證明連續(xù)和離散二維傅里葉變換都是平移和旋轉(zhuǎn)不變的 首先列出平移和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：f(x, y)ej2 (u0x/M v0y/N) F(u U0,v /) (4.6-3) f(x X0, y y。)F(u,v)e j2 (X3r/M y0v/N) (4.6-4)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：x r cos , y r sin , u cos , v sinf(r, 0) F( ,0)(4.6-5)證明：由式(4.5-15)得:3伏工»把屋醴曲必+9叫二 Z Z f(xry)e+?一/2北("重/屈+"17.)由式(4.5-16)得:3T f/MG2dz依次類推證明其它項。J=fl J

2、=OM-1JV-1x=D=0F(W - E加.-哂I AY-1N 1加2區(qū)出“,0eT"(MuM=0 v=0x ej2n(ux/M-uy/N)M-ylh-Nj府與空uMX ej 2n1(it (x -x)/M+ r(y-)/V)f(x-xy-y4.17由習題4.3可以推出1(u,v)和(t, z) 1。使用前一個性質(zhì)和表4.3中的平移性質(zhì)證明連續(xù)函數(shù)f(t,z) Acos(2 u0t 2v0z)的傅里葉變換是一 、A.，、F(u,v) - (u 4，v v°)證明：(u U0,v v0)精選F(u,v)f (t, z)e j2 (ut vz)dtdzj 2 (ut vz)A

3、cos(2 u0t 2 v0z)edtdzj2 (u0t v0z)- j2 (u0t v0z)j2 (ut vz)eee dtdzj2 (u°t v)z)j 2 (ut vz)ee dtdzAj2 (U0t wz) j2 (ut vz)A一 e e dtdz 一 22(uU0,v v。)(u U0,v v°)2一(u u°,v v°)(u u°,v v0)24.18證明離散函數(shù)f(x, y) 1的DFT是1(u,v)1,u v 00,其它證明：離散傅里葉變換M 1N 1F(u,v)f (x, y)ex 0 y 0j2 (ux/Mvy/N)1j2

4、 (ux/M vy/N)M 1N 1j2 (ux/M vy/N)如果u v 0,1 1 ,否貝U:M 1N 11 cos2 (ux/ M vy/N) jsin2 (ux/M vy / N) x 0 y 0 M 1N 1考慮實部，1 cos2 (ux/M vy/N), cos2 (ux/M vy/N)的值介x 0 y 0 M 1N 1于-1,1,可以想象，1 cos2 (ux/M vy/N) 0,虛部相同，所以 x 0 y 01,u v 01(u,v)”0,其它4.19 證明離散函數(shù)cos(2 u0x 2 v0y)的DFT是1 rF(u, v) - (u Mu0, v Nv°)(u M

5、u0, v Nv0)證明:F(u,v)j2 (ux/M vy/N)f (x, y)ecos(20UoX 2、 j 2 (ux/M vy/N) v°y)e(u()x Voy)j2 (u0x v0y)j2 (ux/M vy/N)e 0 0 eM 1N 12 ej22 x 0 y 0(u°x v0y)eMj2 (ux/M vy/N)j 2 (u°x v°y)j 2 (ux/M vy/N),eM 1 N 1ej21N(Mu°x/M Nv°y/N)j2 (ux/M vy/N)ej2 (Mu°x/M Nv°y/N)j2 (ux

6、/M vy/N),e1 r2 (U MU0, v Nv°)(u MU0, v Nv。)04.20 下列問題與表4.1中的性質(zhì)有關。 (a)證明性質(zhì)1的正確性。 (b)證明性質(zhì)3的正確性。(c)證明性質(zhì)6的正確性。 (d)證明性質(zhì)7的正確性。(e)證明性質(zhì)9的正確性。(f)證明Tt質(zhì)10的正確性。 (g)證明性質(zhì)11的正確性。(h)證明性質(zhì)12的正確性。(i)證明性質(zhì)13的正確性。表4.1二維DFT及其反變換的某些對稱性質(zhì)“印u, V)和uM分別是Fiu.v)的實吝聯(lián)口虛部7術語復函數(shù)指出一個函數(shù)有非零實部和虛部空間城3)4)5)6)7)田4)10)11)/(A V)麻函數(shù) G/(At

7、y)實函數(shù) = 外小尸)虛的數(shù) =/(一二-芋)實函數(shù) 0/口£-)復函數(shù) 0/*(司功篁函數(shù) = 八匕.刃實函數(shù)和偶函數(shù) = ff¥._V)突函數(shù)和奇函數(shù) = f*.F)冷函數(shù)和偶函數(shù) = fiy)慮函敕和奇函較 o fq._v)復函數(shù)和儡函數(shù) 0 /(匕用且函數(shù)和奇函數(shù) 0股率域，F(xiàn) ，回憶可知.印，是離散(整數(shù))變鼠，工和口在區(qū)間似MT1內(nèi).V和但在區(qū)間以川71 內(nèi)一布一個發(fā)函數(shù)是偶函數(shù)意味若其實部和虛郡都是陽函數(shù),稱-個復函數(shù)為奇函教同群克味 苕苴實部和虛即都是價函數(shù)(a)當f (x,y)為實函數(shù)，則* *M 1N 1F(u,v)f(x,y)exp( j2 ux/

8、M vy/ N )x 0 y 0M 1N 1*f(x,y)exp(j2 ux/M vy/ N )x 0 y 0 M 1N 1f (x, y)exp( 2 u x/M v y / N )x 0 y 0F( u, v) (b)當 f(x,y)為實函數(shù)，則 F(u,v) R(u,v) jl (u,v )和 F ( u,v) R(u,v) jI(u,v)*并且 F( u, v) R( u, v) jI( u, v)。而且 F(u,v) F( u, v),所以可以得到：R(u,v) jl (u,v) R( u, v) jl ( u, v),便是 R(u,v) R( u,v)為偶函數(shù)和I ( u,v) I

9、 ( u, v)為奇函數(shù)。(”,/) F(n)F *= -Fu. v)陽Hja)假函數(shù);/(W,V)奇函數(shù) R(U.V)力函數(shù):7(UhV)偶函數(shù) 產(chǎn)氣如甘)復函數(shù)F(T,f)熨函數(shù) 復函數(shù)F(w.vi實函數(shù)和偶函數(shù) Rmj虛函數(shù)和奇函數(shù) F(出門虛函數(shù)和科函數(shù) Fg)寰函數(shù)和奇函數(shù)F(u,v)復函數(shù)和偶函數(shù) 四明門復函數(shù)和奇函數(shù)當f(x, y ) 為復函數(shù)，由下式得：f ( x,M 1N 1y)f (m,n)exp(j2m0n 0um / M vn / N )M 1Nm 0n*1*0f (m,n)exp( j2um/ M vn/ N )F (u, v)所以得證；*(d)當f(x,y)為復函數(shù)

10、，由下式得:*f (x,y)M 1N 1*f (x,y)exp( j2m0n 0ux/ M vy/ N )M 1N 1m 0n 0*F ( u, v)所以得證；f ( x, y)exp( j 2 ux/M vy/N )(e)當f (x,y)為實函數(shù)、奇函數(shù)，則F(u,v)的實部為0,即為虛數(shù)，且也是奇數(shù)。F(u,v)M 1N 1f( x, y)exp( j2 ux/ M vy/ N ) x0y0M 1N 1f ( x, y) exp( j 2 (ux/ M ) exp(j2vy / N )x0y0M 1N 1odd evenjodd even joddx0y0M 1N 1odd evenx0y

11、0M 1N 12 j even evenx0y01N 1odd evenx0y0由式可知，為虛數(shù)。當f(x,y)為虛函數(shù)、偶函數(shù)，由下式得:F(u,v)M 1N 1f( x, y)exp( 2 ux / M vy/ N ) x0y0M 1Njg(x,y) exp( j2ux/ M ) exp(j2 vy/ N )x0yM 1Njeven evenjoddeven joddx0yM 1Njeven eveneven2j even oddodd oddx0yM 1Neven even x0y01N 1even oddx0y0M 1N 1j even evenx0y0所以 F(u， v) 為一虛數(shù)。

12、(g)當f(x,y)為虛函數(shù)、奇函數(shù)，由下式得:M 1N 1F( u,v)joddx0y0M 1N 1 jodd even x0y0M 1N 1j odd even x0y0可知，結(jié)果為一實數(shù)。even even 2 j evenjodd even joddM 1N 12 even even x0y0odd1Nodd odd1odd even0y0(h)當f(x,y)為復函數(shù)、偶函數(shù)，由下式得:f(x,y) f re(x,y) jM 1N 1f ie(x,y)F(u,x)f re(x,y) j f ie(x,y) exp(j2ux/ M vy/ N )x0y0M 1N 1f re( x, y

13、)exp( j2 ux / M vy/ N )x 0y 01N 1f ie( x, y ) exp( j2 ux / M vy/ N )x0y0由式子可知，前項為實數(shù)，而后項為一純虛偶數(shù)。(i)當f(x,y)為復函數(shù)、奇函數(shù)，由下式得：M 1N 1F(u,v)f ( x,y) j f (x,y ) exp( j2 ux/ M ,vy/ N )roiox0y0M 1N 1M 1N 1f ro( x, y )exp( j2 ux / M vy/ N ) j f io( x,y ) exp( j2 ux/ M vy/ N ) x 0y 0x 0y0由式子可知，前項為一偶實函數(shù)，后項為一純虛奇數(shù)。 4

14、.21 4.6.6節(jié)中在討論頻率域濾波時需要對圖像進行填充。 在該節(jié)中給出的圖 像填充方法是，在圖像中行和列的末尾填充 0 值 (見上面的左圖 ) 。如果我們把圖 像放在中心，四周填充0值（見上面的右圖），而不改變所用0值的總數(shù)，會有區(qū) 別嗎？試解釋原因。答：如下圖所示fg)0200 400(i)E4.36左邊：兩個離散函數(shù)的卷板口右邊:相同函數(shù)的卷積，考慮DET周 期性的應用。注意在（j）中鑄近周期的數(shù)據(jù)如何混漕卷積結(jié)果觀察上圖，左圖是正確的結(jié)果，右圖是 纏繞錯誤”引起的卷積錯誤。這個纏 繞錯誤出現(xiàn)的原因在于沒有對圖像進行填充， 只有通過填充之后獲得適當?shù)拈g距 才能得到正確的卷積結(jié)果。關鍵在

15、于得到 適當?shù)拈g距”，左右兩種填充可以得到相同的結(jié)果。 4.22同一幅圖像的兩個傅里葉頻譜如右圖所示。左邊的頻譜對應于原圖像，右邊的頻譜圖像使用0值填充后得到的。解釋右圖所示的譜沿垂直軸和水平軸方向的信號強度顯著增加的原因答：除非原圖像中所有的邊界都是黑色的，用0值填充圖像的邊界將不可避免地 在圖像的一條或多條邊界上引入灰度值變化的不連續(xù)性，即新增了水平邊界和垂直 邊界"，邊界”意味著高頻分量，所以，對應到頻域中，我們看到了沿垂 直軸和水平軸方向的信號強度顯著增加的現(xiàn)象。4.23由表4.2可知DFT的直流項F(0, 0)與其對應的空間圖像的平均值成正比。假定圖像尺寸是M N o假如對

16、圖像進行0填充后，圖彳a的尺寸為P Q,其中P和Q分別由式(4.6-31)和式(4.6-32)給出。令Fp(0, 0)代表填充后的函數(shù)的 DFT 的直流項。 (a)原圖像平均值和填充后圖像平均值的比值是多少？(b) Fp(0, 0) F(0, 0)嗎?假設從數(shù)學角度回答。解：(a)圖像灰度平均值的計算：M-1 jV -1f(xfy) =訴/=o y=Q所以p_Q_1fP(xty)而 £Z%(x，y)Y xOy=07 x0 y=0MN -原圖像平均值和填充后圖像平均值的比值是_ PQr MN(b)是的，它們相等。解釋:我們知道F(O,O) = MN/(x,y)%(O,O) = PQfp

17、(x,y)結(jié)合(a)的結(jié)論，可以證明。4.24 證明表4.2中的周期性質(zhì)(性質(zhì)8)表4 2 DFT定義及相應表達式小結(jié)石 穆賽達式口小工鐘的胤敵那甲叫變押DHro E母廣加的離假佛里明反也換IDFT1 MTNT門二 W = 77Z7 2.2- Rw J*MN i i|3堤小近表示FfUdUFlfirj% 灑"'4)潸fl -Re*J(f J：卻相儲<MtLT = an? jn_ ffui.l I酊助率請熱 HEI . Ffut. ri-n均被 W1/(j. y)V V f LtB v>*£H10lMM ±七:M l8）周神鬼和身為整世F(uM

18、m FUi + A.jV/.t> - Fbi. Vis f (m1Mfix. y) - /i| ,i +1: M, v1 /(x ¥ + 1Ml = /1/ + 氏/。、+ Jt?")*贛相M-l iV-lfix.y) = £ 工y-ifr)apdf»4l10）相美y)= ££ jf=mn加 flrlwnH）二rt DFT時以即曳件圖像的仃刖：廿首吃DFT 口換.優(yōu)后沿清果的砥£-轉(zhuǎn)變撞M4JL1節(jié)使用正變捶獨居于州用葉反奧Hpa l4-ritt折冊,梅門心人卅筲止叁操的將法n：就右觸中.播用，網(wǎng)n” 取貳其樹郝憾晚可

19、增出希般的反常彈 V. 4,! 12 W證明：離散傅里葉變換M 1N 1F(u,v)f(x, y)e j2 (ux/M vy/N)x 0 y 0MINIf (x, y)vy/ N)1j2 (ux/M F(u,v)eMN u 0v0MINIF(u k1M,v)f (x, y)ex 0 y 0j2 (u kiM )x/Mvy/NMINIf(x, y)ex 0 y 0j2ux/Mkix vy/N MINIf(x, y)ex 0 y 0j2(ux/Mvy/N) j2 kixef(x, y)e0j2(ux/Mvy/N)F(u,v)MINIF(u,v k?N)f (x, y)ex 0 y 0j 2 ux/

20、M(v kzN)y/NMINIf (x, y)ex 0 y 0MINIf (x, y)ex 0 y 0MINIf (x, y)ex 0 y 0j2 ux/M vy/N k2yj2 (ux/M vy/N) j2 k2yej2 (ux/M vy/N)F(u,v)其它證明類似。4.25 下列問題與表4.3中的性質(zhì)有關。 (a)證明一維情況下離散卷積定理的正確性。(b)對于二維情況，重復(a) (c)證明性質(zhì)9的正確性。(d)證明性質(zhì)13的正確性。(注意：習題4.18、習題4.19和習題4.31也與表4.3有關)表43 DFT對的小結(jié) 第12項和第13項中的閉合表達式僅對連螳變量樗 效一通過對鬧合影式

21、的連續(xù)表達式取樣后、它們也可用于西散變量名稱OFT fl1)見表4一2)錢件用甚11f九J" C 口'面,*1| *力與舊力3)科維停)八3¥訕鼠仃前v0E時4)平昨回粒利不的中工小心小門1點/UrX-lL' 0 r(U-lf Z2,M-V/2人上心< F2,T-用/好0f &以-1廣5)旋轉(zhuǎn)1/恒的日u血ie5/1畢- 一松解昵電八4 > )*AU, v) O/f 1用F幽工 jrj07)相關定Lt門+用 i. V * F ifl »«)離荒單位沖激19)蚯形端trreel 口/| e* u瘧加%汨厘(Mml tmb

22、hkd iEttm"加茄m+ *”2 + *端一加"一N%)名 稱 ._ _曠V；余晟落數(shù)L 2Ml + 2x1-1y) »!|捅面+ M叫卜 r * N'J + 占(聞 *仙5* = N* “i-一!K琳蟆曄壹及時推導.力比除鵬帆期j和；K卡網(wǎng)變時 f" 和新瀏霹變M 一概蝎何收悍G二W也聚回用產(chǎn)DFT處理、就才建地的表山隈定/HJ = u ：停圖加4-M"山):珀方沙色-1-es t iljtjtf1；1j2xvF(p.v)Jr去”:MJA0"(4 是#出it電速超由就亡部過。埴先向冊列/獷履珞祖和煙工一星站臺曲一出用汁&

23、quot;i：川“證明：(a) 一維情況下離散卷積定理的證明 由(4.4-10)以及一維離散傅里葉變換的定義可知M 1 f(x)*h(x) f(m)h(x m) (4.4-10) m 0一維傅里葉變換： M 1F(u) f (x)e j2 ux/M ,u 0,1,2,., M 1(4.4-6)x 0M 11j 2 ux/ Mf (x)F(u)e , x 0,1,2,., M 1(4.4-7)M u 0Vf-lx=o=zzfmhx m)g-蘆 j“ 八忖x =Q m=OM-M-l=h(x 2Mg/m?n=Ox=O而：MIZ m)ej2r:ux/M = 3h(x - m) = H(_u)ej27i

24、mu/M x=0所以：M-l3 fWhW = Z f(m)e-j2nmu/MH(u)=F(u)Hku(b)由(a)可知MT NT£ £ f(x,y ' 十叩/N)x=0 y=0M- N-1zzf(mrn h(x mty - n=(J «=0Af-1 N- sz jr=O y=0Xg-/27r(h/M+叩/N)mry n)£工/(加川£矛(父一m=0 "=0x=0 y=0X©J24 HK/M+uy/N)AJ-1 N-izz/( m, 02-W m wW/N)H(心功m=0 “=0F(utv)H(ufv(c)矩形波rec

25、ta, b的傅里葉變換:sin( ua) sin( ub) j (ua vb)9 recta, b abeua ub(d)證明性質(zhì)13的正確性。2 222222性質(zhì) 13 A22e2 (t z) Ae(uv)/24.26 (a)證明連續(xù)變量t和z的連續(xù)函數(shù)f(t, z)的拉普拉斯變換滿足下列傅里葉變換對拉普拉斯變換的定義見式(3.6.3):2 -222 _f(t,z) 4 (u v )F(u,v)(提示：研究表4.3中的性質(zhì)12并參閱習題4.25(d) (b)前面閉合顯示的表達式僅適用于連續(xù)變量。然而，使用 M N濾波器 222H(u,v) 4 (u v )它可能是離散頻率域?qū)崿F(xiàn)拉普拉斯的基礎

26、，H(u,v) 4 2(u2 v2),u 0,1,2,，M 1 , v 0,1,2,，N 1 o解釋您怎樣實現(xiàn)這個濾波器。(c)正如您在例4.20中看到的那樣，頻率域的拉普拉斯結(jié)果類似于使用中心系數(shù)為-8的空間模板的結(jié)果。請說明頻率域拉普拉斯結(jié)果與中心系數(shù)為-4的空間模板的結(jié)果不同的原因。(a)證明：由第3章可知，兩個連續(xù)變量的拉普拉斯函數(shù)f(t,z)定義為根據(jù)表4.3中的性質(zhì)12,可得拉普拉斯函數(shù)的傅里葉變換為3 鏟小匐=§ 簾+3 駕呵1at1dzL'J=F(p,v) + (J2nv )2 F(p,v)=-4荷/ +吟F(my).得證。(b)答：由前面的推導可以看出，拉普

27、拉斯濾波器適用于連續(xù)變量。對離散傅里 葉變換，我們可以通過對拉普拉斯函數(shù)進行采樣來構(gòu)造相應的濾波器：月(4 ”)二一4n2(小十#)其中，u 0,1,2,., M 1 , v 0,1,2,., N 1。當傅里葉變換是圓形形式時，頻域的拉普拉斯濾波器可以表示為H(u,i/)=-4tt2(w - M/22 + v- N/2)總之，對空域和頻域之間的變換，我們使用以下拉普拉斯傅里葉變換對：八犬-4tt2(u M/22 + v N/2 iF(u,v)核心思想是：離散的拉普拉斯傅里葉變換是通過對連續(xù)的拉普拉斯傅里葉變換進 行采樣得到的。(c)由于拉普拉斯變換是各向同性的，如果空域中的模板包含了對角分量，

28、則拉 普拉斯變換的對稱性的近似程度更大。所以，相比于中心系數(shù)為-4的空間模板,中心系數(shù)為-8的空間模板更加類似于頻率域的拉普拉斯結(jié)果。 4.27考慮大小為5 5的空間模板，它平均與點(x, y)最靠近的12個鄰點，但 平均值排除該點本身。(a)在頻率域找出與其等價的濾波器H (u, v)(b)證明您的結(jié)果是一個低通濾波器。解：為了節(jié)省時間，以下不用5 5,而根據(jù)英文版習題答案進行回答 空域的均值(中心點除外)為以/)= 1 f(x.y + l) + f(x+lty) + f(x - l,y) + /(xfy - 1) 4由表4.3中的性質(zhì)3可得:£ 小”/¥+ 炭如&quo

29、t;時 + e-j2u/M f e-j2zv/N utr)其中/( UjU)二-cos(27TZZ/M) + COS(2jT17/Ar)(b)為了解釋這是一個低通濾波器，我們先將這個濾波器表示為中心形式(以 廿)=; cos(2ttu + cos(2jtp N/2/N為了便于解釋，我們先考慮一個變量。當u從0增加到M-1時，cos(2 u M /2/ M)的值從-1增加到1,又從1減小到-1,當u M / 2時，達到最大值1。因此，越遠離中心點，該濾波器的值越小，這就是低通濾波。4.28 基于式(3.6.4),近似二維離散微分的一種方法是計算形如f(x 1, y) f(x 1, y) 2f(x

30、, y)和 f (x, y 1) f(x, y 1)的差。(a)在頻率域找出與其等價的濾波器 H (u, v)。(b)證明您的結(jié)果是一個高通濾波器。(a)解：根據(jù)離散傅里葉變換 DFT的定義和表4.3性質(zhì)3可得f (x 1,y) f (x 1,y) 2f (x, y) ej2u/MF(u,v) ej2u/MF(u, v) 2F(u,v)所以f (x 1,y) f (x 1,y) 2f (x, y)H(u,v)F(u,v)其中j2 u/M j2 u/M cH (u, v) e e 2 2cos(2 u/M) 1(b)為了解釋這是一個高通濾波器，我們先將這個濾波器表示為中心形式H(u,v) 2co

31、s2 (u M/2)/M 1當u從0增加到 M-1時，cos2 (u M /2)的值最初為-1,在u M /2時為1,在u M 1時為-1, H(u, v)的值從-4變到0,再從0變到-4。所以，越靠近中心點，H(u,v)的幅度越小，因此，這是一個高通濾波。4.29 找出一個等價的濾波器 H (u,v),它在頻率域?qū)崿F(xiàn)使用圖3.37(a)中的拉普拉斯模板執(zhí)行的空間操作。解：濾波函數(shù)如下：) = f(x + l»y)+/(x - Ly)+f(xty +1)+f(xt y -1) - 4/(x,y)正如4.28,= H(ut y)F(ut v)其中，+ e-j2nu/M + e-j2JN

32、 _ 4= 2cos(2nu/M) + cos(2nv/N)-2.將頻率轉(zhuǎn)移到中心點，H(utv) = 2 cos(2 u - M/2 /M) + cos(27r N/2/N) 2 當 5M = (M/2,N/2)時H5M = 0。 越遠離中心點，廿)的 幅度越大。最重要的一點在于：直流分量被濾除，保留了高頻分量，所以這是一 個高通濾波器。4.30 您能想出一種使用傅里葉變換計算 (或分部計算)用于圖像差分的梯度幅度 見式(3.6-11)的方法嗎？如果您的回答是可以，那么請給出一種方法去實現(xiàn)它。 如果您的回答是不可以，請解釋原因。答：M(x, y) mag( f). g2 g；(3.6-11)

33、無法通過傅里葉變換進行上式的計算， 因為傅里葉變換是一個線性過程，而該式 中涉及到平方和平方根等非線性計算。我們能夠利用傅里葉變換計算差值，但是, 不能用其處理平方、平方根、絕對值等運算，只能在空域里面處理這些運算。 4.31在連續(xù)頻率域中，一個連續(xù)高斯低通濾波器有如下傳遞函數(shù)：H(u,v)2 22、Ju v ) e證明相應的空間域濾波器是h(t, z)e22(t2z2)證明:We warn to show that丁 收-四回JW=及皿2小小印“叫The explanation will be dearer if we start with one variable. We want to

34、show that, ifthenh(t) = 3-1 H=Ie-舟*=產(chǎn).We can express the integral in the preceding equations as/2(f)=廣才M寸也爐R1加-oaMaking use of the identity£?T)21f2f2(zn)2(r3r2e 2 e 2=1in The preceding integral yields/j(f) = e nr'OOc點/一J4mT，rHl 4 口J-0'2Next, we make the change of variables r = *一 j2;rcr

35、?r. Then, dr = di and the preceding integral becomesoch(rj = edr.J-CKFinally, we multiply and divide the right side of this equation by /STrcand obtain2)=而“-" 焉The expression inside the brackets is recognized as the Gaussian probability density function whose value ironi -oo io oo is 1. lTherei

36、brehh(t)=ae-22tWith the preceding results as background, we are now ready to show that=衣卡+M2=42m%I/ f ,+*.By substiditing directly into die definition of the inverse Fourier transform we have:£(一事一I-he integral inside the brackets is recognized from he previous discussion to be equal Lua-r Then

37、 jhe preceding integral becomeshttz) = Ay/27t(ye-ocWe now recognize ihe remaining integral to be equal to y/2n<je2zZij2z from wliicli we have the final result:=42m5紜尸儼/L4.32 如式(4.9-1)說明的那樣，從低通濾波器的傳遞函數(shù)得到高通濾波器的傳遞函 數(shù)Hhp是可能的:H HP 1 H LP使用習題4.31中給出的信息，回答空間域高斯高通濾波器是什么形式?解：對Hhp進行傅里葉反變換得_ 2,22、hHP(t,z)(t

38、, z) e ( z)4.33 考慮右側(cè)所示的圖像。右側(cè)的圖像是通過如下步驟得到的：（a）用（1）（xy）乘 以左側(cè)的圖像；（b）計算DFT; （c）取該變換的復共軻；（d）計算反DFT; （e）用（1）（x y）乘以結(jié)果的實部。（從數(shù)學上）解釋為什么右邊的圖像會出現(xiàn)該現(xiàn)象。D . I P d * I * (I證明：取共腕的傅里葉逆變換:f (x, y)MINIF(u,v)*ej2MN u 0vo '(ux/Mvy/N)M 1N 1MNu 0V 尸u,v)ej2 (ux/M vy/N)*M 1N 1 F(u,v)e j2 (ux/M vy/N)MN u 0v 0M 1 N 11j2 u

39、( x)/M v( y)/NF(u, v)eMN u 0v 0f( x, y)所以變換后的圖像與原圖像關于原點對稱。4.34圖4.41（b）的水平軸上近似周期性的亮點的來源是什么？答：這些亮點的來源是左圖中左下角等間距的垂直線條。 4.35圖4.53中的每一個濾波器在其中心處都有一個很強的尖刺，解釋這些尖 刺的來源。答：這是由于高通濾波器的頻域表示為Hhp 1 Hlp式中的1,逆變換會空間與是一個沖擊響應（x, y）,因此，空域上的中心處出現(xiàn)了一個尖刺。4.36 考慮下面所示的圖像。右邊的圖像是對左邊圖像用高斯低通濾波器進行低 通濾波，然后用高斯高通濾波器對其結(jié)果再進行高通濾波得到的。圖像大小

40、為 420 344,兩個濾波器均使用了 Do 25。（a）解釋右側(cè)圖像中戒指的中心部分明亮且實心的原因，考慮濾波后圖像的支配特性是物體(如手指、腕骨)的外邊界上的邊緣及這些邊緣之間的暗區(qū)域。換句話 說，您并不希望高通濾波器將戒指內(nèi)部的恒定區(qū)域渲染為暗色，因為高通濾波消除了直流項？(b)如果顛倒濾波處理的順序，您認為結(jié)果會有區(qū)別嗎？答：(a)如果只進行高通濾波，戒指的中心是黑色的。然而，通過低通濾波，我 們將黑色中心區(qū)域平均化。最終結(jié)果中戒指如此明亮的原因在于， 戒指邊緣的灰 度不連續(xù)性比圖像中其它任何部分都大，因而對顯示結(jié)果影響最大。(b)由于傅里葉變換是線性的，先后順序?qū)Y(jié)果沒有影響。4.3

41、7 給出一幅大小為M N的圖像，要求做一個實驗，實驗所用截止頻率為Do的 高斯低通濾波器重復對該圖像進行低通濾波。而且忽略計算上的舍入誤差。令Cmin是實驗所用機器可表示的最小正數(shù)。 (a)令K表示該濾波器使用的次數(shù)。在進行實驗前，您能預測K為足夠大的值時的結(jié)果(圖像)將是什么嗎？如果能，結(jié)果是什么？(b)推導出保證預測結(jié)果的最小 K值的表達式。(a)高斯低通濾波：G(urv) = H(ufv)F(utv)K次濾波得到的結(jié)果為：廿)=<?一尸(沙)試想K很大時，將只有F(0, 0)通過，即fHK(ut u) = jK5M邛=. -if 3, v) = (0,0) Otherwise.(b

42、)為了保證得到上述結(jié)果，要求 K足夠大，由于計算機的最小正數(shù)為 加所，則當某一個數(shù)小于的一半時，該整數(shù)將被置為0o所以，K應該滿足條件e-KD2(u,v)/2Dl v 0.5Cminlll(0.5Cmin)K >-D2u,v)/2D2-Dq ln(0.5cmin)D2(u, v) |不考慮原點，由于u和v都是離散數(shù)據(jù)，所以D(u,v) 1,所以K > -2Q：ln(0.5Cmin)4.38 考慮下面所示的圖像序列。最左側(cè)的圖像是商用印刷電路板的 X射線圖像的一部分。該圖像右側(cè)的圖像分別是使用一個 Do 30的高斯高通濾波器進行1次、10次和100次濾波后的結(jié)果。圖像的大小為330

43、334像素，每個像素由8 比特灰度表示。為了便于顯示，圖像已進行了縮放，但這對本習題沒有影響。(a)從這幾幅圖像可以看出，經(jīng)過有限次數(shù)的濾波后，圖像將不再發(fā)生變化。請說明實際是否如此。可以忽略計算舍入誤差。令 7所表示完成此實驗的機器可表示的最小正數(shù)。(b)如果在(a)中確定有限次迭代后變化將停止，求最小的迭代次數(shù)。解：(a)是的，經(jīng)過有限次濾波之后，圖像將不再發(fā)生變化。理解的關鍵在于將K次高通濾波函數(shù)視為Hk( II, 1/)=1 e-KD2(u>y2D0與4.37不同，這兒的濾波器是“凹口”濾波，將濾除 F(0, 0),因而，將產(chǎn)生一幅圖像，圖像中所有像素灰度值的平均值是0(有些像素的灰度值為負數(shù))。所以，有一個K值，當濾波次數(shù)大于K時，圖像保持不變。if(uru) = (OrO) otherwise.(b)濾波K次之后，圖像保持不變，滿足下式:/衣(漢，u) = 1 - 6一"°氣"叫/2耳=解出來的K值同4.374.39 如圖4.59中說明的那樣，將高頻強調(diào)和直方圖均衡相結(jié)合是實現(xiàn)邊緣銳化 和對比度增強的有效方法。(a)說明這種結(jié)合方法是否與先用那種有關。(b)如果與應用順序有關，請給出先采用某種方法的理由。答：(a)頻域濾波在空域中表