章節(jié)名稱矩陣的運(yùn)算

1、章節(jié)名稱：矩陣的運(yùn)算教學(xué)目的與要求：了解矩陣的定義并掌握矩陣的運(yùn)算重點(diǎn)：矩陣的運(yùn)算難點(diǎn)：矩陣的乘法運(yùn)算授課內(nèi)容：第五章 矩陣§5.1 矩陣的運(yùn)算一、 矩陣的定義設(shè)是一個(gè)數(shù)域，是中的個(gè)數(shù)，由這些數(shù)排成一個(gè)表格稱為數(shù)域上的一個(gè)行列矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，其中是行數(shù)，稱為它的列數(shù)，是它的元素.常用表示矩陣，或矩陣相等：行、列相等且對(duì)應(yīng)元素完全相同.二、 矩陣的運(yùn)算1.矩陣的加法定義：設(shè)，矩陣稱為矩陣的和，記作.注意：只有當(dāng)?shù)男?、列相同時(shí)，才有意義.例：，則.加法運(yùn)算滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：1） 交換律：；2） 結(jié)合律：；3） 元素為0的矩陣稱為零矩陣，記作，；4） 設(shè)，矩陣稱為的負(fù)矩陣，記作，.定義矩陣

2、的減法：，故2.矩陣的數(shù)乘定義：設(shè)，矩陣稱為的數(shù)量乘積，簡(jiǎn)稱數(shù)乘，記作.注：用數(shù)，是指去乘的每一個(gè)元素，這與用數(shù)乘以一個(gè)行列式是有區(qū)別的.5）6）7）8）以下兩種運(yùn)算的一個(gè)重要特例是數(shù)列的運(yùn)算數(shù)列稱為上的一個(gè)元數(shù)列，和號(hào)的性質(zhì)：（）. ；. .（交換次序）證明： 二元運(yùn)算（加、乘、數(shù)乘）一元運(yùn)算（轉(zhuǎn)置、伴隨、逆）. ；. 3.矩陣的乘法：設(shè)，矩陣，其中的第行的元素與列的對(duì)應(yīng)元素乘積的和，即注：只有當(dāng)才有意義，且的行數(shù)相同，的列數(shù)相同.例：.關(guān)于乘法運(yùn)算，以下幾點(diǎn)要注意：1） 矩陣的乘法不滿足交換律：即.當(dāng)沒有意義；時(shí)，雖然有意義，但階矩陣，而階矩陣；當(dāng)時(shí)，階矩陣，但也不一定相等.如：2） 矩陣

3、的乘法不滿足消去律，即當(dāng)，未必有.例如：，但是.3） 兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是個(gè)零矩陣，即當(dāng)時(shí)，可能.例：4） 滿足結(jié)合律：設(shè)，都是矩陣，其中，則的第列元素為，的第列元素為5） 矩陣的乘法對(duì)加法滿足分配律，以及與數(shù)乘：4.單位矩陣：（，類似“1”的作用）主對(duì)角線上的元素全是1，而其它全為0的階方陣，記作.顯然，當(dāng)階方陣時(shí)，.，只要前一個(gè)的列=后一個(gè)的行，則可依次相乘.特別的，階方陣，.設(shè)，則若，則5.矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設(shè)，把的行變?yōu)榱兴玫木仃嚪Q為的轉(zhuǎn)置，記作.滿足以下規(guī)律：1）；2）；3）；4） （穿脫原理）證明：都是矩陣又，列即位于列，.列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和2）、4）可推廣到多個(gè)：章節(jié)名稱：

4、可逆矩陣及矩陣乘積的行列式教學(xué)目的與要求：了解并掌握矩陣可逆的判別方法，并會(huì)求可逆矩陣的逆矩陣，掌握矩陣乘積的行列式重點(diǎn)：矩陣可逆的判別方法，矩陣乘積的行列式難點(diǎn)：矩陣乘積的行列式的有關(guān)證明授課內(nèi)容：§ 5.2 可逆矩陣、矩陣乘積的行列式一、 可逆矩陣已定義矩陣的加、減、乘法，是否可以定義矩陣的除法？若為數(shù)域，.（逆）1. 定義：設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)階矩陣，若存在上階矩陣，使，則叫做一個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣），而叫作的逆矩陣.2. 若可逆，則的逆矩陣是唯一的。，則，故記.例：是可逆矩陣，3. 性質(zhì)：（1）若可逆，則可逆，且.證明：的逆矩陣.（2）若階可逆矩陣，則也可逆，且.證明：推廣到

5、有限多個(gè)：階可逆矩陣，則也可逆，且（3）可逆，則也可逆，且.證明：注意：并非每個(gè)階矩陣都可逆，例如：.二、 矩陣可逆的條件及其求法1.伴隨矩陣的定義：，（矩陣的行列式）設(shè)在行列式的代數(shù)余子式（）.矩陣稱為的伴隨矩陣，記作.2.矩陣可逆的條件：定理：階方陣可逆非退化，即，此時(shí).證明：若可逆，則存在，使.三、 可逆矩陣的逆矩陣的求法1.初等變換法：可逆，（對(duì)施行行變換）右乘得，先作矩陣，或，右乘得，（列），.四、 初等矩陣1.定義：由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換而得到的矩陣稱為初等矩陣. 列 列 . 列. 列 列.2.性質(zhì)：（1）初等矩陣都可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣.（2）初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣.

6、定理：設(shè)是矩陣，用階初等矩陣左乘相當(dāng)于對(duì)作相應(yīng)的初等行變換；用階初等矩陣右乘相當(dāng)于對(duì)作相應(yīng)的初等列變換，即證明：引理5.2.1：設(shè)對(duì)矩陣施行一個(gè)初等變換后，得到矩陣，那么可逆可逆.證明：由題意可知，為初等矩陣.可逆，而可逆，可逆，可逆.定理5.2.2：一個(gè)矩陣總可以通過初等變換化為以下形式的一個(gè)矩陣，其中是階單位陣，表示零矩陣，為的秩.當(dāng)為方陣時(shí)，是對(duì)角矩陣.推論：經(jīng)過初等變換化為單位陣.證明：則至少有一排元素全為零不可逆不可逆.定理5.2.3：可寫成初等矩陣的乘積.證明：，即，使. .定理5.2.4：.例1：.解： 課堂練習(xí)：.例2：解下列矩陣方程，.解：注：.2.利用行列式的性質(zhì)求逆矩陣（

7、計(jì)算伴隨矩陣）階矩陣，.其中是行列式中元素的代數(shù)余子式.令，稱為的伴隨矩陣.注：無論是否可逆，它都是唯一的；.若可逆，則，故，即例：設(shè)適合什么條件時(shí)，可逆，當(dāng)可逆時(shí)，求.解：，當(dāng)時(shí)，可逆，例：考慮線性方程組. 當(dāng)時(shí)，可逆. 故對(duì)，有小結(jié)：可逆為非退化矩陣可表示成多個(gè)初等矩陣的乘積可經(jīng)初等變換化為單位矩陣.五、矩陣乘積的行列式.1.定理：一個(gè)階矩陣總可以通過第三種行和列的初等變換化為一個(gè)對(duì)角矩陣：，并且.定理：設(shè)為任意兩個(gè)階矩陣，則.證明：當(dāng)為對(duì)角矩陣時(shí)，顯然.當(dāng)為一般矩陣時(shí)，.2.定理：設(shè)是上的矩陣， 是上的矩陣，則.特別地，當(dāng)（或）可逆時(shí)，.證明：設(shè)，則，即于是，顯然.同理可證：.若可逆，又

8、，.推廣到有限多個(gè)章節(jié)名稱：矩陣的分塊教學(xué)目的與要求：了解矩陣分塊的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算重點(diǎn)：分塊矩陣的運(yùn)算難點(diǎn)：分塊矩陣的逆矩陣的求法授課內(nèi)容：§5.3 矩陣的分塊一、 舉例說明什么是矩陣的分塊及其用處設(shè)，其中，.把矩陣的行、列個(gè)分成若干組，從而可分成若干塊，每一塊看作一個(gè)小矩陣，由這些小矩陣組成，這就叫矩陣的分塊，此時(shí)稱為一個(gè)分塊矩陣.作用：矩陣分塊是使矩陣的結(jié)構(gòu)顯得更清楚；矩陣的運(yùn)算可以通過這些小矩陣的運(yùn)算進(jìn)行，從而把高階矩陣運(yùn)算轉(zhuǎn)化為低階矩陣的運(yùn)算.例：，.一方面，；另一方面，注意：的列的分法與的行的分法是一致的，即的列組數(shù)等于的行組數(shù)；的每個(gè)列組所含的列數(shù)等于的相應(yīng)行組

9、所含的行數(shù).對(duì)于一個(gè)給定的矩陣，分法可有多種，嚴(yán)格來說，一個(gè)矩陣的每一個(gè)元素可以看成一個(gè)小塊；本身也可以看成一個(gè)大塊，但這兩種分法無多大意義.二、 分塊矩陣的運(yùn)算.1.加法：當(dāng)與同型，且分塊方法相同時(shí)，它們可以相加，其法則是對(duì)應(yīng)子塊相加.如：，.有意義，但不能有.是階，則.2.數(shù)乘：數(shù)乘一個(gè)分塊矩陣，用去乘個(gè)子塊即可. 3.乘法：兩個(gè)可乘矩陣，當(dāng)?shù)牧械姆址ㄅc的行的分法相同，且的列數(shù)與的行數(shù)相等. 一般而言，.其中.則 ，其中以下分三步來證明：，其中，.因?yàn)榈忍?hào)兩邊的矩陣都是矩陣，且它的元素為推廣為當(dāng)時(shí)，顯然；，并且對(duì)處立，記，則（1）同理可證：；.記，則，令，再由（1）知：4.轉(zhuǎn)置:例:設(shè),記則,.分塊矩陣取轉(zhuǎn)置的規(guī)則:把的每一塊都看成元素對(duì)取轉(zhuǎn)置;對(duì)的每一塊(看成小矩陣)取轉(zhuǎn)置.例: