初一數(shù)學(xué)絕對值知識點與經(jīng)典例題.

1、絕對值的性質(zhì)及化簡【絕對值的幾何意義】 一個數(shù) a 的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù) a 的點與原點的距離 . 數(shù) a 的絕對值記作 a . （距離具有非負(fù)性）【絕對值的代數(shù)意義】一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0 的絕對值是0.注意： 取絕對值也是一種運(yùn)算，運(yùn)算符號是“ | | ”，求一個數(shù)的絕對值，就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號 . 絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)； 0 的絕對值是 0 . 絕對值具有非負(fù)性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或0. 任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如：5 符號是負(fù)號，絕對值是5 .【求字母 a 的絕對

2、值】a( a0)a (a0)a( a0) a0( a0) a0) a0)a(a0)a (aa(a利用絕對值比較兩個負(fù)有理數(shù)的大?。簝蓚€負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.絕對值非負(fù)性：|a|0如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0 ，那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為0.例如：若abc0 ，則a0 ， b0 ， c0【絕對值的其它重要性質(zhì)】（ 1）任何一個數(shù)的絕對值都不小于這個數(shù)，也不小于這個數(shù)的相反數(shù)，即 aa ，且 aa ；（ 2） 若 ab ，則 ab 或 ab ；（ 3） abaa0) ；a b ；(bbb（ 4） | a |2| a 2 | a2 ；（ 5） |a|-|b| |a ±b| |a|+|b|a 的

3、幾何意義： 在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離開原點的距離ab 的幾何意義： 在數(shù)軸上，表示數(shù)a b 對應(yīng)數(shù)軸上兩點間的距離【去絕對值符號】基本步驟，找零點，分區(qū)間，定正負(fù)，去符號。【絕對值不等式】（ 1）解絕對值不等式必須設(shè)法化去式中的絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般代數(shù)式類型來解；（ 2）證明絕對值不等式主要有兩種方法：A）去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一般的不等式證明：換元法、 討論法、 平方法；B）利用不等式： |a|-|b| |a+b| |a|+|b|，用這個方法要對絕對值內(nèi)的式子進(jìn)行分拆組合、添項減項、 使要證的式子與已知的式子聯(lián)系起來?！窘^對值必考題型】例 1：已知 |x 2| |y 3| 0，求 x+y

4、的值。解：由絕對值的非負(fù)性可知x 2 0 ， y 3 0；所以 x+y=5判斷必知點：相反數(shù)等于它本身的是0倒數(shù)等于它本身的是±1 絕對值等于它本身的是非負(fù)數(shù)即： x=2，y =3；【例題精講】（一）絕對值的非負(fù)性問題1. 非負(fù)性：若有幾個非負(fù)數(shù)的和為0 ，那么這幾個非負(fù)數(shù)均為 0.2.絕對值的非負(fù)性；若abc0 ，則必有 a0 ， b0 ， c0【例題】 若 x3y1z50 ，則 xyz總結(jié)：若干非負(fù)數(shù)之和為0 ，?！眷柟獭?若 m 3 n72 2 p 1 0 ，則 p2n 3m _2【鞏固】 先化簡，再求值： 3a 2 b2ab22(ab3 a2 b) 2ab 2其中 a 、 b

5、 滿足a ba2.31(24)0（二）絕對值的性質(zhì)【例 1】若 a 0 ，則 4a+7|a| 等于（）A 11aB-11aC-3aD 3a【例 2】一個數(shù)與這個數(shù)的絕對值相等，那么這個數(shù)是（）A 1 ， 0B正數(shù)C非正數(shù)D非負(fù)數(shù)【例 3】已知 |x|=5 ，|y|=2 ，且 xy 0 ，則 x-y 的值等于（）A 7 或-7B7 或 3C3 或-3D-7 或-3x【例 4】若1，則 x 是（）xA 正數(shù)B 負(fù)數(shù)C非負(fù)數(shù)D 非正數(shù)【例 5】已知： a 0， b 0，|a| |b| 1，那么以下判斷正確的是（）A 1-b -b 1+a aB 1+a a 1-b -bC1+a 1-b a -bD 1

6、-b 1+a -b a【例 6】已知 a b 互為相反數(shù)，且|a-b|=6 ，則 |b-1| 的值為（）A2B2 或 3C4D2 或 4【例7】 a 0，ab 0 ，計算 |b-a+1|-|a-b-5|，結(jié)果為（）A 6B -4C-2a+2b+6D 2a-2b-6【例8】若 |x+y|=y-x，則有（）A y 0 ， x 0B y 0 ， x 0Cy 0 ，x 0D x=0， y 0或 y=0， x 0【例9】已知： x 0 z，xy 0 ，且 |y| |z| |x| ，那么 |x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A 是正數(shù)B 是負(fù)數(shù)C是零D 不能確定符號【例 10 】給出下面說法：（ 1

7、）互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等；（ 2）一個數(shù)的絕對值等于本身，這個數(shù)不是負(fù)數(shù)；（ 3）若 |m| m ，則 m 0 ；（ 4）若 |a| |b| ，則 a b，其中正確的有（）A（ 1）（ 2）（ 3）B（ 1）（ 2）（ 4）C（ 1）（ 3）（ 4）D（ 2）（ 3）（ 4）【例 11 】已知 a ，b ，c 為三個有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則|c-b|-|b-a|-|a-c|= _-1 c0a 1 b【鞏固】知 a、b 、c 、d 都是整數(shù)，且 |a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求 |a+d| 的值?！纠?12 】若 x-2 ，則 |1-|1+x|=_若

8、|a|=-a ，則 |a-1|-|a-2|= _11111【例 13 】計算13.2007=222006【例 14 】若 |a|+a=0 ， |ab|=ab ， |c|-c=0 ，化簡： |b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _【例 15 】已知數(shù) a,b,c 的大小關(guān)系如圖所示，b0 ac則下列各式： b a ( c) 0 ； ( a)b c 0 ； abca 0 ；1； bcabc a b c b a c2b 其中正確的有（請?zhí)顚懛枺゛bc【鞏固】已知：abc 0M=，且，當(dāng) a， b ，c 取不同值時， M 有 _abc種不同可能當(dāng) a、b 、c 都是正數(shù)時， M= _ ；當(dāng)

9、a、 b 、 c 中有一個負(fù)數(shù)時，則M= _；當(dāng) a、b 、c 中有 2 個負(fù)數(shù)時，則M= _；當(dāng) a、b 、c 都是負(fù)數(shù)時， M=_ 【鞏固】已知 a，b，c 是非零整數(shù)，且 aabcabcb c 0 ，求bc的值aabc（三）絕對值相關(guān)化簡問題（零點分段法）零點分段法的一般步驟：找零點分區(qū)間定符號去絕對值符號【例題】閱讀下列材料并解決相關(guān)問題：x x0我們知道x0 x0，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，x x0如化簡代數(shù)式x1x2 時，可令 x10 和 x20 ，分別求得x1，x2 （稱1，2 分別為 x1 與 x2 的零點值），在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值 x1 和 x2 可將

10、全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不易遺漏的如下3 中情況：當(dāng) x1 時，原式x1x22x1當(dāng)1 x2 時，原式x1x23當(dāng) x 2 時，原式x1x22 x12x1 x1綜上討論，原式31 x22 x1 x 2（ 1）求出x2 和 x4 的零點值（ 2）化簡代數(shù)式x2x4解：（ 1）|x+2| 和|x-4|的零點值分別為x=-2 和 x=4（ 2）當(dāng) x-2 時， |x+2|+|x-4|=-2x+2；當(dāng) -2 x 4 時， |x+2|+|x-4|=6；當(dāng) x 4 時， |x+2|+|x-4|=2x-2【鞏固】 化簡1.x1x22.mm1m2 的值3.x52x34.(1) 2x1 ；變式5. 已知x3x2

11、的最小值是a ， x3x2 的最大值為b ，求a b 的值。（四） ab 表示數(shù)軸上表示數(shù)a 、數(shù) b 的兩點間的距離【例題】（距離問題）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離4 與2，3 與 5，2與6 ，4與 3.并回答下列各題：(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？答：.(2)若數(shù)軸上的點 A 表示的數(shù)為 x，點 B 表示的數(shù)為1 ，A則與 B 兩點間的距離可以表示為.(3)結(jié)合數(shù)軸求得|x-2|+|x+3|的最小值為，取得最小值時x 的取值范圍為.(4)滿足 x1x43 的 x 的取值范圍為.(5)若 x1x2x3x2008 的值為常數(shù)，試求x 的取值范圍（五）、絕

12、對值的最值問題例題 1: 1 ）當(dāng) x 取何值時， |x-1| 有最小值，這個最小值是多少？2) 當(dāng) x 取何值時， |x-1|+3 有最小值，這個最小值是多少？3) 當(dāng) x 取何值時， |x-1|-3 有最小值，這個最小值是多少？4）當(dāng) x 取何值時， -3+|x-1|有最小值，這個最小值是多少？例題 2： 1 ）當(dāng) x 取何值時， -|x-1| 有最大值，這個最大值是多少？2) 當(dāng) x 取何值時， -|x-1|+3 有最大值，這個最大值是多少？3) 當(dāng) x 取何值時， -|x-1|-3 有最大值，這個最大值是多少？4）當(dāng) x 取何值時， 3-|x-1| 有最大值，這個最大值是多少？若想很好

13、的解決以上2 個例題，我們需要知道如下知識點：、1 ）非負(fù)數(shù)： 0 和正數(shù)，有最小值是02）非正數(shù)： 0 和負(fù)數(shù)，有最大值是 03）任意有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，即-|a|a| 0，則4）x 是任意有理數(shù)， m 是常數(shù)，則|x+m| 0 ，有最小值0是，- |x+m| 0有最大值是 0（可以理解為x 是任意有理數(shù)，則x+a依然是任意有理數(shù)，如|x+3| - |x+3|0 ，0或者 |x- 1| 0 ，-|x- 1| 0 ）5 ）x 是任意有理數(shù)，m 和 n 是常數(shù)，則|x+m|+n n ，有最小值n是- |x+m|+n n ，有最大值是n( 可以理解為 |x+m|+n是由 |x+m| 的值向右

14、 (n>0) 或者向左（ n<0) 平移了 |n| 個單位，為如 |x- 1| 0 ，則|x- 1|+3 3 ，相當(dāng)于|x-1| 的值整體向右平移了3 個單位， |x- 1| 0 ，有最小值是0，則 |x-1|+3的最小值是3）總結(jié)：根據(jù)3 ）、4) 、5 ）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)絕對值前面是“+ ”號時，代數(shù)式有最小值，有“ - ”號時，代數(shù)式有最大值.例題解：1 ：1 ) 當(dāng) x 取何值時， |x-1| 有最小值，這個最小值是多少？2 ) 當(dāng) x 取何值時， |x-1|+3有最小值，這個最小值是多少？3 ) 當(dāng) x 取何值時， |x-1|-3有最小值，這個最小值是多少？4） 當(dāng) x 取何

15、值時， -3+|x-1|有最小值，這個最小值是多少？1）當(dāng) x-1=0時，即 x=1 時， |x-1| 有最小值是02 ）當(dāng) x-1=0時，即 x=1 時， |x-1|+3有最小值是33 ）當(dāng) x-1=0時，即 x=1 時， |x-1|-3有最小值是 -34 ）此題可以將 -3+|x-1|變形為 |x-1|-3 ，即當(dāng) x-1=0時，即有最小值是 -3x=1時，|x-1|-3例題 2 ：1 ）當(dāng) x 取何值時， -|x-1| 有最大值，這個最大值是多少？2 )當(dāng) x 取何值時， -|x-1|+3有最大值，這個最大值是多少？3 ) 當(dāng) x 取何值時， -|x-1|-3有最大值，這個最大值是多少？

16、4）當(dāng) x 取何值時， 3-|x-1| 有最大值，這個最大值是多少？解： 1 ）當(dāng) x-1=0時，即 x=1時， -|x-1|有最大值是 02）當(dāng) x-1=0時，即 x=1時， -|x-1|+3有最大值是 33）當(dāng) x-1=0時，即 x=1時， -|x-1|-3有最大值是 -34 ) 3-|x-1| -|x-1|+3可變形為 -|x-1|+3有最大值是3可知如 2）問一樣，即：當(dāng)（同學(xué)們要學(xué)會變通哦x-1=0 ）時，即x=1時，思考：若x 是任意有理數(shù)，a 和 b是常數(shù)，則1 ）|x+a| 有最大（小）值？最大（小）值是多少？此時2 ）|x+a|+b有最大（?。┲?？最大（?。┲凳嵌嗌?？此時3)

17、 -|x+a|+b有最大（小）值？最大（?。┲凳嵌嗌?？此時x 值是多少？x 值是多少？x 值是多少？例題 3 ：求 |x+1|+|x-2| 的最小值，并求出此時x 的取值范圍分析： 我們先回顧下化簡代數(shù)式|x+1|+|x-2|的過程：可令 x+1=0 和 x-2=0 ，得 x=-1 和 x=2 （-1 和 2都是零點值）在數(shù)軸上找到 -1 和 2 的位置，發(fā)現(xiàn) -1 和 2 將數(shù)軸分為 5個部分1 ） 當(dāng) x<-1時，x+1<0，x-2<0，則 |x+1|+|x-2|=- （x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12 ） 當(dāng) x=-1時， x+1=0， x-2=-3

18、，則 |x+1|+|x-2|=0+3=33 ） 當(dāng) -1<x<2 時， x+1>0 ，x-2<0，則 |x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=34 ） 當(dāng) x=2時， x+1=3， x-2=0，則 |x+1|+|x-2|=3+0=35 ） 當(dāng) x>2時， x+1>0， x-2>0，則 |x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng) x<-1 時， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3 當(dāng) -1 x 2 時， |x+1|+|x-2|=3當(dāng) x>2 時， |x+1|+|x-2|=2x-1>3所以：

19、可知 |x+1|+|x-2|的最小值是3，此時：解：可令x+1=0和 x-2=0 ，得 x=-1和 x=2-1（ -1x2和 2 都是零點值）則當(dāng) -1 x 2 時， |x+1|+|x-2|的最小值是3評：若問代數(shù)式 |x+1|+|x-2| 的最小值是多少？并求 x 的取值范圍？一般都出現(xiàn)填空題居多；若是化簡代數(shù)式 |x+1|+|x-2| 的常出現(xiàn)解答題中。所以，針對例題中的問題，同學(xué)們只需要最終記住先求零點值， x 的取值范圍在這 2 個零點值之間，且包含 2 個零點值。例題4 ：求 |x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此時x 的值？分析：先回顧化簡代數(shù)式的過程可令x+1

20、1=0，x-12=0，x+13=0得 x=-11，x=12，x=-13（-13 ，-11,12是本題零點值）1 ） 當(dāng) x<-13時， x+11<0，x-12<0，x+13<0，則 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122 ） 當(dāng) x=-13時， x+11=-2，x-12=-25， x+13=0，則 |x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403 ） 當(dāng) -13<x<-11時， x+11<0， x-12<0 ， x+13>0，則 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x

21、-11-x+12+x+13=-x+144 ） 當(dāng) x=-11時， x+11=0，x-12=-23， x+13=2，則|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255 ） 當(dāng) -11<x<12時， x+11>0， x-12<0 ， x+13>0，則 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366 ） 當(dāng) x=12 時，x+11=23，x-12=0，x+13=25，則 |x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487 ）當(dāng) x>12時， x+11>0， x-12>0 ，x+13>

22、0，則 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：當(dāng) x<-13 時， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27 當(dāng) x=-13 時， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40當(dāng) -13<x<-11 時， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27 當(dāng) x=-11 時， |x+11|+|x-12|+|x+13|=25當(dāng) -11<x<12 時， |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36 , 25<x+36<48當(dāng) x=

23、12 時|x+11|+|x-12|+|x+13|= 48當(dāng) x>12 時， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48觀察發(fā)現(xiàn)代數(shù)式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25 ，此時 x=-11解：可令x+11=0， x-12=0， x+13=0得 x=-11 ，x=12 ，x=-13 （-13 ，-11,12是本題零點值）將 -11,12 ， -13 從小到大排列為 -13<-11<12可知 -11處于 -13和 12 之間，所以當(dāng)x=-11 時， |x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是 25。評：先求零點值， 把零點值大小排列

24、， 處于最中間的零點值即時代數(shù)式的值取最小值。例題 4 ：求代數(shù)式 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析 : 回顧化簡過程如下令 x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0 則零點值為 x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4（ 1）當(dāng) x 1 時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（ 2）當(dāng) 1 x 2 時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8（ 3）當(dāng) 2 x 3 時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（ 4）當(dāng) 3 x 4 時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（ 5）當(dāng)

25、 x 4時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根據(jù) x 的范圍判斷出相應(yīng)代數(shù)式的范圍，在取所有范圍中最小的值，即可求出對應(yīng)的x 的范圍或者取值解：根據(jù)絕對值的化簡過程可以得出當(dāng) x1 時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 6當(dāng) 1 x 2時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4 2x+8 6當(dāng) 2 x 3時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4當(dāng) 3 x 4時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-24 2x-2 6當(dāng) x 4時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

26、=4x-10 6則可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式的最小值是4 ，相應(yīng)的 x 取值范圍是 2 x 3歸檔總結(jié)：若含有奇數(shù)個絕對值，處于中間的零點值可以使代數(shù)式取最小值若含有偶數(shù)個絕對值， 處于中間 2 個零點值之間的任意一個數(shù) （包含零點值） 都可以使代數(shù)式取最小值例題 5 ：求 |x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此時分析：在數(shù)軸上表示出A 點-13 ，B 點-11 ，C 點 12 設(shè)點x 的值？D 表示數(shù)x則 DA=|x+13| DC=|x+11| DB=|x-12|當(dāng)點 C 在點 A 左側(cè)如圖DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC當(dāng)點當(dāng)點A 與點D 在點重合時，

27、DA+DB+DC=AB+ACACAB 之間時，如圖DA+DB+DC=DA+DB+DB+BCAC當(dāng)點D 與點 B 重合時，DA+DB+DC=AB+AC=AC當(dāng)點D 在 BC 之間如圖DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD AC當(dāng)點 D 與點 C 重合時， DA+DB+DC=AC+BCAC當(dāng)點 D 在點 C 右側(cè)時 DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD AC綜上可知當(dāng)點 D 與點 B 重合時，最小值是AC=12- （-13 ）=25解：令 x+11=0x-12=0|x+13=0則 x=-11 x=12 x=-13將 -11 ，12 ，-13 從小到大排練為 -13 -11

28、12當(dāng) x=-11 時， |x+11|+|x-12|+|x+13| 的最小值是點 A（ -13 ）與點 C（12) 之間的距離即 AC=12-(-13)=25【例題 6】|x-1| 的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|

29、x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【解】：當(dāng) x=1 時， |x-1| 的最小值是 0當(dāng) 1x2 時， |x-1|+|x-2|的最小值當(dāng)x=2時， |x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0當(dāng) 2x3時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值 4=3+1當(dāng) x=3時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-

30、4|+|x-5|的最小值 6=4+2當(dāng) 3x4時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值 9=5+3+1當(dāng) x=4時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值 12=6+4+2當(dāng) 4x5時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值 16=7+5+3+1當(dāng) x=5時， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值 20=8+6+4+2當(dāng) 5x6時，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-8|+|x-9|+|x-10|

31、的最小值 25=9+7+5+3+1【解法2】：捆綁法|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|= （ |x-1|+|x-10|）+ （|x-2+|x-9|）+ （|x-3|+|x-8|）+ （ |x-4|+|x-7|）+ （|x-5|+|x-6|）若|x-1|+|x-10| 的和最小，可知 x 在數(shù) 1 和數(shù) 10 之間|x-2+|x-9| 的和最小，可知數(shù) x 在數(shù) 2 和數(shù) 9 之間|x-3|+|x-8| 的和最小，可知數(shù) x 在數(shù) 3 和數(shù) 8 之間|x-4|+|x-7| 的和最小，可知數(shù) x 在數(shù) 4 和數(shù)

32、7 之間 |x-5|+|x-6| 的和最小，可知數(shù) x 在數(shù) 5 和數(shù) 6 之間若想滿足以上和都最小，數(shù) x 應(yīng)該在數(shù) 5 和數(shù) 6 之間的任意一個數(shù) （含數(shù) 5 和數(shù) 6 ）都可以?？偨Y(jié)：若含有奇數(shù)個絕對值時，處于中間的零點值可以使代數(shù)式取最小值若含有偶數(shù)個絕對值時，處于中間 2 個零點值之間的任意一個數(shù)（包含零點值）都可以使代數(shù)式取最小值或者說將含有多個絕對值的代數(shù)式用捆綁法求最值也可以若想求出最小值可以求關(guān)鍵點即可求出【例題 7】（1）已知 |x|=3 ，求 x 的值（ 2）已知 |x| 3 ，x求的取值范圍（ 3）已知 |x| 3 ，求 x 的取值范圍（ 4）已知 |x| 3 ，x求的

33、取值范圍（ 5）已知 |x| 3 ，求 x 的取值范圍【分析】：絕對值的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x 到原點的距離，（ 1）若 |x|=3 ，則 x=-3或 x=3（ 2）數(shù)軸上 -3 和 3 之間的任意一個數(shù)到原點的距離都小于3 ，若|x| 3 ，-3則 x 3（ 3）若 |x| 3，則 -3 x 3（ 4）數(shù)軸上 -3 左側(cè)和 3 右側(cè)的任意一個數(shù)到原點的距離都大于3 ，若 |x|則3 ，x-3或 x 3（ 5）若 |x| 3，則 x -3 或 x3【解】：（ 1 ）x=-3或x=3(2) - 3 x 3(3 ) -3 x 3(5 ) x -3 或 x 3(4 ) x -3或 x 3【例題8】（

34、 1）已知 |x| 3 ，則滿足條件的所有x的整數(shù)值是多少？且所有整數(shù)的和是多少？（ 2）已知 |x| 3，則滿足條件的 x 的所有整數(shù)值是多少？且所有整數(shù)的和是多少？【分析】： 從 -3 到 3 之間的所有數(shù)的絕對值都所以 3（ 1）整數(shù)值有 -3 ，-2 ，-1,0,1,2,3 ； 和為 0（ 2）整數(shù)值有 -2 ，-1,0,1,2 ；和為 0【解】：(1) |x|3 - 3 x 3 x 為整數(shù) 滿足條件的 x 值為： -3 ， -2 ， -1,0,1,2,3 -3+-2+-1+0+1+2+3=0(2) |x| 3 -3 x 3 x 為整數(shù) 滿足條件的 x 值為： -3 ， -2 ，-1,

35、0,1,2,3 -3+-2+-1+0+1+2+3=0【乘方最值問題】（ 1）當(dāng) a 取何值時，代數(shù)式（ a-3) 2 有最小值，最小值是多少？（ 2）當(dāng) a 取何值時，代數(shù)式 (a- 3)2+4 有最小值，最小值是多少？（ 3）當(dāng) a 取何值時，代數(shù)式 (a-3) 2-4 有最小值，最小值是多少？（ 4）當(dāng) a 取何值時，代數(shù)式 -（ a- 3)2 有最大值，最大值是多少？（ 5）當(dāng) a 取何值時，代數(shù)式 - (a- 3)2+4 有最大值，最大值是多少？（ 6）當(dāng) a 取何值時，代數(shù)式 -(a- 3)2-4 有最大值，最大值是多少？（ 7）當(dāng) a 取何值時，代數(shù)式 4- (a-3) 2 有最大

36、值，最大值是多少？分析：根據(jù) a 是任意有理數(shù)時， a-3 也是任意有理數(shù)，則（ a-3) 2 為非負(fù)數(shù)，即（ a-3) 2 0，則 - （ a-3) 2 0可以進(jìn)一步判斷出最值解：（ 1）當(dāng)a-3=0，即a=3時，（a-3) 2 有最小值是0（ 2）當(dāng) a-3=0 ，即 a=3 時，（ a-3) 2+4 有最小值是 4（ 3）當(dāng) a-3=0 ，即 a=3 時，（ a-3) 2-4 有最小值是 -4（ 4）當(dāng) a-3=0 ，即 a=3 時， - （a-3) 2 有最大值是 4（ 5）當(dāng) a-3=0 ，即 a=3 時， - （a-3) 2+4 有最大值是 4（6 ）當(dāng) a-3=0 ，即 a=3

37、時， - （a-3) 2-4 有最大值是4(7 ) 4- （ a-3) 2 可以變形為 - (a-3) 2+4 ，可知如（ 5）相同，即當(dāng) a-3=0 ，即 a=3 時， 4- （a-3) 2 有最大值是 4（這里要學(xué)會轉(zhuǎn)化和變通哦）評：很好理解掌握 a 2 即-a 2 的最值是解決本題的關(guān)鍵歸納總結(jié)：若 x 為未知數(shù)， a,b 為常數(shù)，則當(dāng) x 取何值時，代數(shù)式 (x+a) 2+b 有最小值，最小值是多少當(dāng) x 取何值時，代數(shù)式 - (x+a)2+b 有最大值，最大值是多少-【探究 1】某公共汽車運(yùn)營線路AB 段上有 A 、D、C、B 四個汽車站，如圖現(xiàn)在要在AB 段上修建一個加油站 M ，

38、為了使加油站選址合理，要求 A 、 B 、C 、D 四個汽車站到加油站 M 的路程總和最小，試分析加油站 M 在何處選址最好？探究：設(shè)點A、 B、 C、D 、M 均在數(shù)軸上，與之對應(yīng)的數(shù)為a、 b 、 c、d 、x，使M到 A、B、C、 D 距離和最小。MA+MB+MC+MD=|x-a|+|x-b|+ lx-cl+|x-d|其中MA+MB=|x-a|+|x-b|，由絕對值的幾何意義知當(dāng) a x b時， MA+MB 值最小，（汽車站 A、 B 到 M 得距離和 =AB ）當(dāng) d x c時， MC+MD 值最小，（汽車站 C、 D 到 M 得距離和 =CD ）綜上所述，當(dāng)d x c時， MA+ M

39、B+ MC+MD的值最小，( 要使A、B、 C、D四個汽車站到加油站M 的路程總和最小)即加油站M 應(yīng)建在線段上?！咎骄?2】如果某公共汽車運(yùn)營線路上有A1 ， A2 ， A3 A4 ，A5 五個汽車站（從左到右依次排列），上述問題中加油站M 建在何處最好？探究：加油站M 應(yīng)建在 A3 汽車站【探究 3】如果某公共汽車運(yùn)營線路上有A1 ，A2 ，A3 ， ， An 共 n 個汽車站（從左到右依次排列） ，上述問題中加油站M 建在何處最好？探究：當(dāng)n 為奇數(shù)時，加油站M 應(yīng)建在汽車站處；當(dāng) n 為偶數(shù)時，加油站M 應(yīng)建在線段上。 (即此兩站之間 )【探究 4】根據(jù)以上結(jié)論，求|x-1|+|x-2

40、|+.+|x-616|+|x-617|的最小值。探究：根據(jù)絕對值的幾何意義，就是在數(shù)軸上找出表示x 的點，使它到表示1 、2 、 、617 各點的距離之和最小。根據(jù)【探究3】的結(jié)論，當(dāng)x=309時，原式的值最小。最小值是|309-1|+|309-2|+|309-308|+0+|309-31 0|+|309-617|=308+307+1+1+2+308=95172.-【課后練習(xí)】1. （ 1 ）當(dāng) x 取何值時，x3 有最小值？這個最小值是多少？（2）當(dāng) x 取何值時，5x 2 有最大值？這個最大值是多少？（3）求 x4x5 的最小值。（4）求 x7x8x 9 的最小值。2 已知x1, y1 ，

41、設(shè) Mxyy12 yx4 ，求 M 的最大值與最小值3 、若 | ab1| 與 ( ab1)2互為相反數(shù)，求 3a 2b1的值。4 若 ab1與 ( ab1) 2互為相反數(shù)，則a 與 b 的大小關(guān)系是 ()A a>bBa=bCa<bD a b5 . 利用數(shù)軸分析 |x-2|+|x+3|，可以看出，這個式子表示的是x 到 2 的距離與 x 到-3的距離之和，它表示兩條線段相加：當(dāng) x>時，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨x 的增大而越來越大；當(dāng) x<時，發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的和隨x 的減小而越來越大；當(dāng)x時，發(fā)現(xiàn)，無論x 在這個范圍取何值，這兩條線段的和是一個定值，且比、情況下的值都小

42、。因此，總結(jié)，|x-2|+|x+3|有最小值，即等于到的距離。6. 利用數(shù)軸分析 |x+7|-|x-1|，這個式子表示的是x 到-7 的距離與 x 到 1的距離之差它表示兩條線段相減：當(dāng) x時，發(fā)現(xiàn)，無論x 取何值，這個差值是一個定值；當(dāng) x時，發(fā)現(xiàn)，無論x 取何值，這個差值是一個定值；當(dāng)x時，隨著 x增大，這個差值漸漸由負(fù)變正，在中點處是零。因此，總結(jié)，式子 |x+7|-|x-1|當(dāng) x時，有最大值；當(dāng) x時，有最小值；7 設(shè) a bc 0 ， abc0 ， bcc aa bA -3B 1C3abc或 1則的值是（）或-1D-38 設(shè) a、 b、 c 分別是一個三位數(shù)的百位、十位和個位數(shù)字，

43、并且abc，abbcca則可能取得的最大值是絕對值（零點分段法、化簡、最值）一、去絕對值符號的幾種常用方法解含絕對值不等式的基本思路是去掉絕對值符號， 使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式，而后，其解法與一般不等式的解法相同。因此掌握去掉絕對值符號的方法和途徑是解題關(guān)鍵。1 利用定義法去掉絕對值符號x( x0)根據(jù)實數(shù)含絕對值的意義，即| x |=，有x(x0)cx c(c0)xc或 x c(c 0)x 0( c 0)| x |< c0)； | x |> c(cxR(c 0)2 利用不等式的性質(zhì)去掉絕對值符號利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化| x |< c 或|x |> c (

44、c >0)來解，如 | ax b |> c ( c >0) 可為 ax b > c 或 axb < c ；| axb |<c 可化為 c < ax + b < c ，再由此求出原不等式的解集。a對于含絕對值的雙向不等式應(yīng)化為不等式組求解，也可利用結(jié)論“xbaxb或bxa”來求解，這是種典型的轉(zhuǎn)化與化歸| 的數(shù)學(xué)思想方法。3 利用平方法去掉絕對值符號對于兩邊都含有“單項”絕對值的不等式，利用| x |2= x2可在兩邊脫去絕對值符號來解， 這樣解題要比按絕對值定義去討論脫去絕對值符號解題更為簡捷，解題時還要注意不等式兩邊變量與參變量的取值范圍，如果沒有明確不等式兩邊均為非負(fù)數(shù)，需要進(jìn)行分類討論，只有不等式兩邊均