初中數(shù)學——找規(guī)律.

1、第一講找規(guī)律【知識梳理】所謂規(guī)律探索題指的是給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、 式、圖形或是給出與圖形有關(guān)的操作、變化過程，要求通過觀察、分析、推理，探求其中所蘊含的規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。常見類型有：（1）數(shù)字猜想型（ 2）數(shù)式規(guī)律型（ 3）圖像變化猜想型（4）數(shù)形結(jié)合猜想型（ 5）坐標變化型解題策略：綜合運用比較、猜想、概括、推理等方法；關(guān)鍵是仔細審題，歸納規(guī)律，合理推測，認真驗證，從而得出問題的結(jié)論。知識點 1：循環(huán)規(guī)律 ：一列數(shù)每隔T 項就開始循環(huán)，或一列圖形（符號）每隔T 個就開始循環(huán)， T 叫做循環(huán)周期。如果一列數(shù)或圖形的循環(huán)周期為T ，則其第kT+1(k=1,2,3.)

2、項與第 1項相同；則其第 kT+2(k=1,2,3.) 項與第 2 項相同；則其第kT+3(k=1,2,3.) 項與第 3 項相同；以此類推 .正整數(shù)的 n 次冪的循環(huán)規(guī)律：對于任意一個正整數(shù) a，an(n=1,2,3.) 的個位數(shù)字必循環(huán)。例如：2n（n=1,2,3. ）的個位數(shù)字循環(huán)規(guī)律為： 2,4,8,6,2,4,8,6， .，循環(huán)周期為 4.知識點 2：不循環(huán)的規(guī)律：等差數(shù)列 ：對于一列數(shù)a1,a2,a3,.,如果始終有后面一項減去前面一項是一個固定常數(shù)，那么這列數(shù)就叫等差數(shù)列。此時后一項與前一項的差值稱為公差 ，通常記為 d。對于等差數(shù)列，其第 n 項為 an=a1+(n-1)d,

3、前 n 項的和為 Snn(a1an ) .特別地，2奇數(shù)列 ： 1,3,5,7,9， .是等差數(shù)列，公差為2，第 n 項為 2n-1，前 n 項和為 n2 。偶數(shù)列 ： 2,4,6,8,10， .是等差數(shù)列，公差為2，第 n 項為 2n，前 n 項和為 n2+n 。等比數(shù)列 ： 對于一列數(shù) a1,a2,a3,.,如果始終有后面一項與前面一項的比值是一個固定常數(shù)，那么這列數(shù)就叫等比數(shù)列。此時后一項與前一項的比值稱為公比 ，通常記為 q。對于等比數(shù)列，其第 n 項為 an=a1qn-1.特別地，數(shù)列 -1,1， -1,1， -1， .是等比數(shù)列，公比為 -1，第 n 項為 (-1) n；數(shù)列1，

4、-1,1， -1， .是等比數(shù)列，公比為-1，第 n 項為 (-1) n+1；數(shù)列1-1 n 1；1， 0， 1，0， 1， . 第 n 項為2平方數(shù)列 ： 1,4,9,16,25， .的第 n 項為 n2?！纠}講解】1、（ 2015 朝陽一模）一組按規(guī)律排列的式子：2 ，510 ，1726 ， ，其中aa 2 ，a3a 4，a 5第 7 個式子是，第 n 個式子是（用含的 n式子表示， n 為正整數(shù)）【鞏固】一組按規(guī)律排列的式子：3，9，25， 65， ，其中第n 個式子是248162、（ 2015 燕山一模）定義：對于任意一個不為1 的有理數(shù) a，把11稱為 a 的差倒數(shù)，如a2 的差倒

5、數(shù)為11， 1的差倒數(shù)為11 1 記 a11， a2 是 a1 的差倒數(shù)， a312(1)22是 a2 的差倒數(shù)， a4 是 a3 的差倒數(shù)， ，依此類推，則a2 ； a2015 3、（ 2013 西城一模）在平面直角坐標系xOy 中，有一只電子青蛙在點A(1,0)處第一次，它從點A 先向右跳躍1 個單位，再向上跳躍1 個單位到達點A1；第二次，它從點A1 先向左跳躍2 個單位，再向下跳躍2 個單位到達點A2； 第三次，它從點A2 先向右跳躍3 個單位，再向上跳躍3 個單位到達點A3；第四次，它從點A3 先向左跳躍4 個單位，再向下跳躍4 個單位到達點A4；依此規(guī)律進行， 點 A6 的坐標為；

6、若點 An 的坐標為（2013，2012），則 n=4、（ 2010 北京） 下圖為手的示意圖，在各個手指間標記字母A ，B，C， D.請你按圖中箭頭所指方向（即ABCDCBABC的方式）從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2， 3， 4， ，當數(shù)到12 時，對應的字母是_;當字母 C 第 201 次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是_；當字母 C 第 2n+1 次出現(xiàn)時（ n 為正整數(shù)），恰好數(shù)到的數(shù)是 _（用含 n 的代數(shù)式表示） 。ADBC2010 北京5、（ 2012 豐臺）在數(shù)學校本活動課上，張老師設計了一個游戲，讓電動娃娃在邊長為1 的正方形的四個頂點上依次跳動規(guī)定：從頂點A 出發(fā)，每跳動一步的長均為1

7、第一次順時針方向跳1 步到達頂點D ，第二次逆時針方向跳2 步到達頂點B，第三次順時針方向跳 3 步到達頂點C，第四次逆時針方向跳4 步到達頂點C， ，以此類推，跳動第10 次到達的頂點是，跳動第2012 次到達的頂點是6、（ 12 石景山二模）如圖所示，圓圈內(nèi)分別標有1，2， ，12，這 12 個數(shù)字，電子跳蚤每跳一步， 可以從一個圓圈逆時針跳到相鄰的圓圈，若電子跳蚤所在圓圈的數(shù)字12為 n ，則電子跳蚤連續(xù)跳（3n - 2 ）步作為一次跳躍，例如：電子跳蚤從標111有數(shù)字 1 的圓圈需跳31-2 1步到標有數(shù)字2 的圓圈內(nèi)，完成一次跳躍，21039第二次則要連續(xù)跳 3 2 - 24 步到達

8、標有數(shù)字486 的圓圈， 依此規(guī)律， 若電57子跳蚤從開始，那么第3次能跳到的圓圈內(nèi)所標的數(shù)字為；第 20126次電子跳蚤能跳到的圓圈內(nèi)所標的數(shù)字為7、（ 11 北京）在上表中，我們把第i 行第 j 列的數(shù)記為 ai , j （其中 i ， j 都是不大于5 的正整數(shù)），對于表中的每個數(shù)ai, j，規(guī)定如下：當ij時，ai, j1；當ij時，ai , j0。例如：當 i 2 ， j 1 時， ai, ja2,11 。按此規(guī)定， a1,3_；表中的 25 個數(shù)中，共有 _個 1；計算 a1,1 ai,1a1,2ai ,2a1,3 ai,3a1,4ai ,4a1,5ai ,5 的值為 _。a1,

9、1a1,2a1, 3a1,4a1, 5a2, 1a2,2a2,3a2,4a2,5a3, 1a3,2a3,3a3,4a3,5a4, 1a4,2a4,3a4,4a4,5a5, 1a5,2a5,3a5,4a5,58、（ 2013 朝陽一模）在平面直角坐標系xOy 中，動點 P 從原點 O 出發(fā)，每次向上平移1 個單位長度或向右平移2 個單位長度， 在上一次平移的基礎(chǔ)上進行下一次平移例如第 1次平移后可能到達的點是（0，1）、（ 2，0），第 2 次平移后可能到達的點是（ 0，2）、（ 2，1）、（ 4，0），第 3次平移后可能到達的點是（0， 3）、（2， 2）、（ 4， 1）、（ 6， 0），依此

10、類推我們記第 1次平移后可能到達的所有點的橫、縱坐標之和為l 1， l1 =3；第 2 次平移后可能到達的所有點的橫、縱坐標之和為l2， l 2=9；第 3 次平移后可能到達的所有點的橫、縱坐標之和為 l 3，l 3=18 ；按照這樣的規(guī)律， l4=； l n=(用含 n 的式子表示， n 是正整數(shù) )y987654321O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x9、（ 2012 石景山一模）一個正整數(shù)數(shù)表如下（表中下一行中數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的 2 倍）： 則第 4 行中的最后一個數(shù)是，第 n 行中共有個數(shù)，第 n 行的第 n個數(shù)是第 1 行1第 2 行35第 3 行7 9111310

11、、（ 2013 石景山一模）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：12345678910按照以上排列的規(guī)律，第5 行從左到右的第3 個數(shù)為_；第n 行（n 3）從左到右的第3個數(shù)為（用含n 的代數(shù)式表示）11、（ 2013 通州一模）定義一種對正整數(shù)n 的 “F 運算 ”：當 n 為奇數(shù)時，結(jié)果為3n 1；當 n 為偶數(shù)時， 結(jié)果為n （其中 k 是使得n 為奇數(shù)的正整數(shù)） ，并且運算重復進行.例如，2 k2 k取n6，則：FF F第1次3第2次10第3次5n 12F6，若，則第次“ 運算 ”的結(jié)果是；若 n13 ，則第 2013次 “F 運算 ”的結(jié)果是.12、（ 2014 年海淀一模） 在一次數(shù)

12、學游戲中，老師在 A、 B、 C 三個盤子里分別放了一些糖果，糖果數(shù)依次為a0 ， b0 ， c0 ，記為 G0（ a0 ， b0 ， c0 ）. 游戲規(guī)則如下：若三個盤子中的糖果數(shù)不完全相同，則從糖果數(shù)最多的一個盤子中拿出兩個，給另外兩個盤子各放一個（若有兩個盤子中的糖果數(shù)相同，且都多于第三個盤子中的糖果數(shù)，則從這兩個盤子字母序在前的盤子中取糖果） ，記為一次操作.若三個盤子中的糖果數(shù)都相同，游戲結(jié)束.n 次操作后的糖果數(shù)記為Gn（ an ， bn ， cn）（ 1）若 G0 （ 4， 7， 10），則第 _ 次操作后游戲結(jié)束；（ 2）小明發(fā)現(xiàn)：若 G0 （ 4， 8， 18），則游戲永遠無

13、法結(jié)束，那么G2014 _13、（ 2012 海淀二模）小東玩一種“挪珠子 ”游戲，根據(jù)挪動珠子的難度不同而得分不同，規(guī)定每次挪動珠子的顆數(shù)與所得分數(shù)的對應關(guān)系如下表所示：挪動珠子數(shù)（顆）23456所得分數(shù)（分）511192941按表中規(guī)律，當所得分數(shù)為71 分時，則挪動的珠子數(shù)為顆 ; 當挪動 n 顆珠子時（n 為大于 1 的整數(shù)） , 所得分數(shù)為（用含 n 的代數(shù)式表示）【課堂練習】1、（ 2015 東城期末）如圖，在平面直角坐標系中，將ABO 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)到AB1C1的位置，點 B,O分別落在點 B1,C1 處，點 B1 在 x 軸上，再將 AB1C1 繞點 B1 順時針旋轉(zhuǎn)到

14、A1B1C2 的位置， 點 C2 在 x 軸上，將 A1B1C2 繞點 C2 順時針旋轉(zhuǎn)到 A2B2C2 的位置， 點 A2 在 x 軸上，依次進行下去若點 A（，0），B（ 0，4），則點 B4 的坐標為,點 B2014 的坐標為2、（ 2015 房山期末）拋物線yx2 -2n1x1（其中 n 是 正整數(shù)）與 x 軸交于n n1n n1An、 Bn 兩點，若以 AnBn 表示這兩點間的距離，則A B_;11A1 B1A2B2_；A1B1A2B2A3 B3An Bn_.(用含 n 的代數(shù)式 表示 )3、（ 2015 豐臺期末）在平面直角坐標系xOy 中，對于點 Px, y ，其中y 0，我們把

15、點P (x1 , 11 )叫做點 P 的衍生點 .已知點 A1 的衍生點為 A2 ，點 A2 的衍生點為 A3 ，y點 A3的衍生點為 A4 ， ，這樣依次得到點A1 ， A2 ， A3 ， ， An ， ，如果點 A1 的坐標為 (2,1) ，那么點 A3的坐標為 _；如果點 A1 的坐標為a, b ，且點 A2015 在雙曲線 y111_上，那么abx、（海淀期末）對于正整數(shù)n，定義n2， n10 ，其中 f (n) 表示 n 的首位4 2015F (n)=， f ( n)n10數(shù)字、末位數(shù)字的平方和例如：F (6)6236 ， F (123)f12312 32 10規(guī) 定F1 (n)F

16、(n，)Fk 1 (n)F (Fk (n)（ k為正整 數(shù)）例 如 ：F1 123F 12310 ， F2 (123)F (F1(123)F (10)1 （ 1）求： F2 (4)_ ， F2015 (4) _；（ 2）若 F3m (4)89 ，則正整數(shù) m 的最小值是 _5、（ 2015 懷柔期末）在平面直角坐標系xOy 中，正方形 ABCD的位置如右圖所示，點 A 的坐標為（ 1，0），點 D 的坐標為（0， 2），延長 CB y交 x 軸于點 A1，作正方形 A1B1C1C，延長C1B1 交 x 軸于C2C點 A2，作正方形 A2B2C2C1， 按這樣的規(guī)律進行下去，1C第 1 個正方形

17、的面積為；DB1B第 n 個正方形的面積為OAA1A2B 2Ax36、（ 2015 門頭溝）如圖，在平面直角坐標系xOy 中，正方形ABCD 頂點 A（ 1， 1）、 B（ 3， 1） 我們規(guī)定“把正方形 ABCD先沿 x 軸翻折，再向右平移 2 個單位”為一次變換（ 1）如果正方形ABCD經(jīng)過 1 次這樣的變換得到正方形A1B1C1D1，那么 B1 的坐標是（ 2）如果正方形 ABCD經(jīng)過 2014 次這樣的變換得到正方形 A2014B2014C2014D2014，那么 B2014 的坐標是7、（ 2015 密云期末） 如圖，邊長為 1 的正方形 ABCD 放置在平面直角坐標系中，頂點 A與

18、坐標原點 O 重合，點 B 在 x 軸上 .將正方形 ABCD 沿 x 軸正方向作無滑動滾動， 當點 D第一次落在 x 軸上時， D 點的坐標是 _, D 點經(jīng)過的路徑的總長度是_；當點 D 第 2014 次落在 x 軸上時， D 點經(jīng)過的路徑的總長度是 _.yDCAOBx8、（ 2015 平谷期末）在直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都為整數(shù)的點叫做整點設坐標軸的單位長度為1cm，整點 P 從原點 O 出發(fā)，作向上或向右運動，速度為1cm/s當整點P從原點出發(fā)1 秒時，可到達整點（1,0）或（ 0,1）；當整點P 從原點出發(fā)2 秒時，可到達整點（ 2,0）、（ 0,2）或；當整點P 從原點出發(fā)4

19、 秒時，可以得到的整點的個數(shù)為個當整點P 從原點出發(fā)n 秒時，可到達整點（x,y），則 x、 y 和 n 的關(guān)系為9、（ 2015 石景山期末）二次函數(shù) y3x2 的圖象如圖，點 A0 位于坐標原點，點 A1， A2， A3 An 在 y 軸的正半軸上，點B1， B2， B3， ，Bn 在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上，點C1， C2， C3， ，Cn 在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上，四邊形A0B1A1C1，四邊形A1B2A2C2，四邊形A2B3A3 C3， ，四邊形An-1BnAn Cn 都是菱形， A0 B1 A1= A1B2A2= A2B3A3= An-1BnAn=120 °.則

20、 A1的坐標為；菱形 An-1Bn AnCn 的邊長為.10、（ 2015 通州期末） 如圖：在平面直角坐標系中，A（-2，0），B（0，1），有一組拋物線 Ln,它們的頂點Cn（ Xn， Yn）在直線AB 上，并且經(jīng)過點（Xn+1， 0） ,當 n=1， 2， 3，4，5 時， Xn=2,3,5,8,13 ，根據(jù)上述規(guī)律，寫出拋物線L1 的表達式為，拋物線 L6 的頂點坐標為，拋物線 L6 與 X 軸的交點坐標為11、（ 2015 延慶期末）如圖，AD 是 O 的直徑(1)如圖 1，垂直于 AD 的兩條弦 B1C1， B2C2 把圓周 4 等分，則 B1 的度數(shù)是， B2的度數(shù)是；(2)如圖

21、 2，垂直于 AD 的三條弦 B1C1 ，B2C2，B3 C3 把圓周 6 等分，則 B3 的度數(shù)是；(3)如圖 3，垂直于AD 的 n 條弦 B1 C1， B2C2， B3 C3， ， BnCn 把圓周 2n 等分，則 Bn 的度數(shù)是（用含 n 的代數(shù)式表示 Bn 的度數(shù)）AAB1AC1B1B1C1C1B2C2B3C3OB2OC2OB2C2B3C3Bn- 2Cn-2Cn- 1Bn-1Bn D CnDD圖1圖2圖312、（2015燕山期末）在函數(shù)y8x0)的圖象上有點1， P2， P3 ， ， Pn， Pn+1，它們(Px的橫坐標依次為 1， 2，3， ， n， n+1過 點 P1，P2， P

22、3， ， Pn，Pn+1 分別作 x 軸、 y軸的垂線段，構(gòu)成如圖所示的若干個矩形，將圖中陰影部分的面積從左至右依次記為S1 ， S2 ， S3 ， ， Sn ，則點 P1的坐標為；S2； Sn（用含 n 的代數(shù)式表示）【課后作業(yè)】1、一組按規(guī)律排列的式子：a b2，a 2b3， a 3b 4，a4 b5， ，其中第6 個式子24816是，第 n 個式子是（ n 為正整數(shù)）2、（ 09 東城一模） 按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：1，1，1， 1， 1，1 ，按2310152635此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第9 個數(shù)是 _3、（ 12 西城一模） 在平面直角坐標系中，我們稱邊長為1、且頂點的橫、

23、縱坐標均為整數(shù)的正方形為單位格點正方形如圖，在菱形ABCD 中，四個頂點坐標分別是（8,0），（ 0,4），（8,0）（， 0， 4），則菱形 ABCD 能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)是個；若菱形 AnBnCnD n 的四個頂點坐標分別為（2n,0），（ 0, n），（ 2n， 0），（ 0， n）（n 為正整數(shù)），則菱形AnBnCn D n 能覆蓋的單位格點正方形的個數(shù)為（用含有 n 的式子表示）y4 BA8Cx-8O-4D4、（ 2014 東城一模）如圖，矩形BCDE的各邊分別平行于x 軸或y 軸，物體甲和物體乙由點 A（ 2， 0）同時出發(fā)，沿矩形秒勻速運動，物體乙按順時針方向以BCDE2

24、的邊作環(huán)繞運動，物體甲按逆 時針方向以個單位 /秒勻速運動，則兩個物體運動后的第1個單位/2 次相遇地點坐標是；第2014 次相遇地點的坐標是5、（ 2013 石景山一模） 小涵設計了一個走棋游戲：在平面直角坐標系xOy 中，棋子從點 0,0出發(fā)， 第 1 步向上走 1 個單位， 第 2 步向上走2 個單位， 第 3 步向右走 1 個單位， 第 4 步向上走 1 個單位，第 5 步向上走 2 個單位，第 6 步向右走1 個單位，第 7 步向上走 1 個單位依此規(guī)律走棋（ 1）當走完第8 步時，棋子所處位置的坐標為_；（ 2）當走完第100 步時，棋子所處位置的坐標為_6、（ 2013 西城一模）如圖，數(shù)軸上，點A 的初始位置表示的數(shù)為1，現(xiàn)點 A 做如下移動：第 1 次點 A 向左移動 3 個單位長度至點A1，第2 次從點A1向右移動6 個單位長度至點2A ，第 3 次從點 A2 向左移動 9 個單位長度至點 A3， ，按照這種移動方式進行