初中數(shù)學(xué)-巧添輔助線--解證幾何題.

1、巧添輔助線解證幾何題引出問(wèn)題 在幾何證明或計(jì)算問(wèn)題中，經(jīng)常需要添加必要的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點(diǎn)：一是通過(guò)添加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用有關(guān)性質(zhì)去解題；二是通過(guò)添加輔助線，使分散的條件得以集中，從而利用它們的相互關(guān)系解題；三是把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過(guò)的舊問(wèn)題加以解決。值得注意的是輔助線的添加目的與已知條件和所求結(jié)論有關(guān)。下面我們分別舉例加以說(shuō)明。例題解析 一、 倍角問(wèn)題例 1：如圖 1，在 ABC中， AB=AC,BD AC于 D。求證： DBC=1 BAC.A2分析： DBC、 BAC所在的兩個(gè)三角形有公共角C，可利用D三角形內(nèi)角和來(lái)溝通 DBC、 BAC和 C的

2、關(guān)系。證法一：在 ABC中， AB=AC，BC ABC=C=1°°1 BAC。（ 180- BAC） =90 -2°2BD AC于 D BDC=90°°°-11BAC DBC=90 - C=90 -(902 BAC)=即 DBC= 1 BAC22分析二： DBC、 BAC分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“DBC= ? BAC”中含有角的倍、半關(guān)系，因此，可以做A 的平分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把? A 放在直角三角形中求解；也可以把DBC沿 BD翻折構(gòu)造 2 DBC求解。證法二：如圖 2，作 AE BC于 E，則

3、 EAC+ C=90°A1 AB=AC EAG= BAC2 BD AC于 DD DBC+ C=90°BC EAC= DBC（同角的余角相等）1E BAC。即 DBC=2證法三：如圖 3，在 AD上取一點(diǎn) E，使 DE=CD連接 BEA BD AC BD是線段 CE的垂直平分線E BC=BE BEC= CD° EBC=2DBC=180 -2 C AB=ACBC ABC= C° BAC=180 -2 C EBC= BAC1 DBC=BAC說(shuō)明：例 1 也可以取 BC中點(diǎn)為 E，連接 DE，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等腰三角形的性質(zhì)求解。同學(xué)們不

4、妨試一試。例 2、如圖 4，在 ABC中， A=2 B22求證： BC=AC+AC?AB22分析：由BC=AC+AC?AB= AC（ AC+AB），啟發(fā)我們構(gòu)建兩個(gè)相似的三角形，且含有邊 BC、 AC、 AC+AB.又由已知 A=2 B 知，構(gòu)建以 AB 為腰的等腰三角形。證明：延長(zhǎng) CA到 D,使 AD=AB,則 D= DBA BAC是 ABD的一個(gè)外角 BAC= DBA+ D=2D BAC=2ABCB D= ABC又 C= C ABC BDC ACBCAC2BC CDAD=AB BC=AC?CD22 BC= AC（ AC+AB） =AC+AC?AB二、 中點(diǎn)問(wèn)題例 3已知：如圖，ABC中，

5、 AB=AC,在 AB 上取一點(diǎn) D，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E, 連接 DE交 BC于點(diǎn) F, 若 F 是 DE的中點(diǎn)。求證： BD=CEA分析：由于 BD、 CE的形成與 D、 E 兩點(diǎn)有關(guān)，但它們所在的三角形之間因?yàn)椴皇峭惾切?，所以關(guān)系不明顯，由于條件F 是 DE的中點(diǎn)，如何利用這個(gè)中點(diǎn)條件，把不同類三角形轉(zhuǎn)化為同類三角形式問(wèn)題的關(guān)鍵。D由已知 AB=AC,聯(lián)系到當(dāng)過(guò) D 點(diǎn)或 E點(diǎn)作平行線，就可以形成新B的圖形關(guān)系構(gòu)成等腰三角形，也就是相當(dāng)于先把BD或 CEC移動(dòng)一下位置，從而使問(wèn)題得解。GF證明：證法一：過(guò)點(diǎn) D 作 DG AC,交 BC于點(diǎn) G（如上圖）E DGB= ACB, D

6、GF= FCE AB=AC B= ACB B= DGB BD=DGF 是 DE的中點(diǎn) DF=EF在 DFG 和 DEFC 中，DFG=EFCDGF=FCEDF=EF DFG EFC DG=CEBD=CEA證法二：如圖，在 AC上取一點(diǎn) H, 使 CH=CE,連接 DHF 是 DE的中點(diǎn) CF是 EDH 的中位線DH BCH ADH= B, AHD=BCAD AB=AC B= BCABC ADH= AHD AD=AHF AB-AD=AC-AH BD=HCE BD=CE說(shuō)明：本題信息特征是“線段中點(diǎn)”。也可以過(guò) E 作 EM BC,交 AB延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，仿照證法二求解。例 4如圖，已知 AB C

7、D， AE平分 BAD，且 E 是 BC的中點(diǎn)求證： AD=AB+CD證法一：延長(zhǎng)AE交 DC延長(zhǎng)線于 FAB AB CD BAE= F, B=ECF E 是 BC的中點(diǎn) BE=CE在 ABE和 CEF中BAE=FB=ECFBE=CE ABE CEF AB=CF AE平分 ABD BAE= DAE DAE= F AD=DF DF=DC+CFCF=AB AD=AB+DC證法二：取AD中點(diǎn) F，連接 EF ABCD， E 是 BC的中點(diǎn) EF是梯形 ABCD的中位線 EFAB , EF= 1 （ AB+CD）2 BAE= AEF AE平分 BAD BAE= FAE AEF= FAE AF=EF A

8、F=DF1 EF=AF=FD= AD2 1 (AB+CD)= 1 AD22EFCABFEDC AD=AB+CD三角平分線問(wèn)題例 5如圖（ 1）， OP是 MON的平分線，請(qǐng)你利用圖形畫(huà)一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題。（ 1）（ 2）OA如圖（ 2），在 ABC中， ACB是直角， B=60° ,AD、 CE分別是 BAC、 BCA的平分線，AD、 CE相交于點(diǎn) F, 請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出 EF 與 FD之間的數(shù)量關(guān)系。如圖（ 3），在 ABC中，如果 ACB不是直角，而（ 1）中的其他條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若

9、成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。MEBAPEFDFACN(1)(2)BEDFC( 3 )分析：本題屬于學(xué)習(xí)性題型。這類題型的特點(diǎn)是描述一種方法，要求學(xué)生按照指定的方法解題。指定方法是角平分問(wèn)題的“翻折法”得全等形。解：（ 1） EF=FD（ 2）答：（ 1）結(jié)論 EF=FD仍然成立理由：如圖（ 3），在 AC上截取 AG=AE,連接 FG在 AEF和 AGF中，AE=AGEAF=FAGAF=AF AEF AGF EF=GF, EFA= GFA由 B=60°， AD、CE分別是 BAC BCA的平分線可得 FAG+ FCA=60° EFA= GFA= DFC=60

10、6; GFC=60°在 CFG和 CFD中GFC=DFCCF=CFDCE=ACE CFG CFD FG=FD又因?yàn)?EF=GF EF=FD說(shuō)明：學(xué)習(xí)性問(wèn)題是新課程下的新型題，意在考查學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)能力和自學(xué)能力。拋開(kāi)本題要求從角平分線的角度想，本題也可以利用角平分線的性質(zhì)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”達(dá)到求解的目的。解法二：（ 2）答（ 1）中的結(jié)論 EF=FD仍然成立。B理由：作 FG AB于 G,FH AC于 H,FM BC于 M EAD= DAC FG=FH ACE= BCE FH=FG B=60° DAC+ ACE=60°E GM D EFD= AF

11、C=180°- 60 ° =120°F在四邊形 BEFD中 BEF+ BDF=180° BDF+ FDC=180° FDC =BEFAHC在 EFG和 DFM中FDC =BEF( 3 )DMF=90 0EGF=FG=FM EFG DFM EF=DF四、線段的和差問(wèn)題例 6 如圖，在 ABC中， AB=AC,點(diǎn) P 是邊 BC上一點(diǎn)， PD AB 于 D,PE AC于 E,CM AB于 M,試探究線段 PD、PE、 CM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。分析：判斷三條線斷的關(guān)系，一般是指兩較短線段的和與較長(zhǎng)線段的大小關(guān)系，通過(guò)測(cè)量猜想PD+PE=CM.分析

12、：在 CM上截取 MQ=PD，得 PQMD,再證明 CQ=PEA答： PD+PE=CM證法一：在CM上截取 MQ=PD，連接 PQ. CM AB于 M, PD AB于 D CMB= PDB=90° CM DP四邊形PQMD為平行四邊形 PQ ABMQEDBPC CQP= CMB=90° QPC= B AB=AC B= ECP QPC= ECP PE AC于 E PEC=90°在 PQC和 PEC中PQC=PECQPC=ECPPC=PC PQC PEC QC=PE MQ=PD MQ+QC=PD+PE PD+PE=CM分析 2：延長(zhǎng) DF到 N 使 DN=CM,連接

13、CN,得平行四邊形 DNCM, 再證明 PN=PE證法 2：延長(zhǎng) DF到 N，使 DN=CM，連接 CN同證法一得平行四邊形DNCM，及 PNC PEC PN=PE PD+PE=CMAMEDBPCN分析 3：本題中含有AB=AC及三條垂線段 PD、DE、 CM，且S PABS PAC S ABC ，所以可以用面積法求解。A證法三：連接 AP, PDAB 于 D,PE AC于 E,CM AB于 M PQC= PEC QPC= ECP PC=PCS ABP1PDMABE2S ACP1 ACPED2BPCS ABC1AB CM2 AB=AC 且 S PAB S PACS ABC1 ABPD1 ABP

14、E1AB CM 222AB0PDPECM說(shuō)明：當(dāng)題目中含有兩條以上垂線段時(shí)，可以考慮面積法求解。五、垂線段問(wèn)題例 7 在平行四邊形ABCD中， P 是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且 PEAB,PFBC,垂足分別是 E、 F求證： ABPFDCBCPEPFAEB分析：將比例式 ABPF 轉(zhuǎn)化為等積式 AB PEBC PF ，聯(lián)想到1AB PE，BCPE1BC PF22即 PAB與 PBC的面積相等，從而用面積法達(dá)到證明的目的。證明：連接AC與 BD交于點(diǎn) O,連接 PA、 PC在平行四邊形ABCD中， AO=COS AOBS BOCS AOPS COP同理，S AOBS AOPS BOCS COPS PA

15、BS PBC PEAB,PFBC ,S PAB1PE, S PBC1ABBC PF2211PFAB PEBC22ABPEBCPFABPFBCPEAED例 8 求證：三角形三條邊上的中線相交于一點(diǎn)。分析：這是一個(gè)文字?jǐn)⑹龅拿}。 要證明文字命題，需要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)題意、結(jié)合圖形寫(xiě)出已知、求證。已知： ABC中， AF、 BD、 CE是其中線。求證： AF、 BD、CG相交于一點(diǎn)。分析：要證三線交于一點(diǎn)， 只要證明第三條線經(jīng)過(guò)另兩條線的交點(diǎn)即可。BFC證明：設(shè)BD、 CE相交于點(diǎn) G，連接 AG，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn) F, .ADDCSABDSCBD,SAGDSCGDSAGBSCGB同理，S

16、 CGBSAGCSAGBSAGC作 BM AF, 于 M,CNAF, 于 N則S AGB1 AGBM ,S AGC1AG CN221 AGBM1AG CN22BMCN,在 BMF和 CNF中BF MCF NBMFCNFBMCN BMF CNF BF' CF', AF 是 BC邊上的中線 AF 與 AF, 重合即 AF經(jīng)過(guò)點(diǎn) D AF、 BD、 CE三線相交于點(diǎn) G因此三角形三邊上的中線相交于一點(diǎn)。六、梯形問(wèn)題例 9以線段 a=16,b=13為梯形的兩底，以c=10 為一腰，則另一腰長(zhǎng)d 的取值范圍是分析：如圖，梯形ABCD中，上底 b=13，下底 a=16，腰 AD= c=10

17、，過(guò) B 作 BE AD,得到平行四邊形 ABED，從而得 AD=BE=10,AB=DE=13AB所以 EC=DC-DE=16-13=3.所以另一腰d 的取值范圍是10-3 d10+3答案： 7d 13DEC例 10如圖，已知梯形 ABCD中， ABDC,高 AE=12,BD=15,AC=20,求梯形 ABCD的面積。分析：已知條件中給出兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，但對(duì)角線位置交錯(cuò)，條件一時(shí)用不上。另外，求梯形面積只要求出上、下底的和即可，不一定求出上、下底的長(zhǎng)，所以考慮平移腰。解：解法一：如圖，過(guò)A 作 AF BD,交 CD延長(zhǎng)線于FAB/ FC四形ABDF是平行四形ABFDAB, AF BD15FCA

18、BDC。FDECAEFCAEFAEC 90在直角三角形 AEF中， AE=12,AF=15EFAF 2AE21521229在直角三角形AEC中， AE=12,AF=15ECAC 2AE220212216ABDC FCEF EC9 1625S梯形 ABCD1 (ABDC )AE12512 15022解法二：如圖，過(guò)B作 BFDC于 FAB BFC=90° AEDC于 E。AED=AEC=90AEC=BFC=90 。AE / BFAB / DCABFE是平行四形DEFCBFAC12, ABEF在直角三角形ABC中， AE12, AC20ECAC2AE216在直角三角形BDF中，BF12,

19、 BD15DFBD 2BF 29ABDCDFCE91625S梯形 ABCD1(ABDC )AE125 12 15022例 11. 如圖，在梯形 ABCD中， AD BC, B+ C=90° ,M、N 分別是 AD、 BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明：1 (BCMNAD)G2分析 1： B+ C=90°，考慮延長(zhǎng)兩腰，使它們相交于一點(diǎn)，AD構(gòu)成直角三角形。M解法 1：延長(zhǎng) BA、 CD交于點(diǎn) G,連接 GM、 GNBC。BGC。B9090CAMMDGMAMNGAMAGM又 BNCNGNBNBBGNADBCGAMBAGMBGN B、 A、 G共線 G、 M、N 共線GM1 AD,GN1 BC

20、22MNGN GM1 (BC AD)2分析 2：考慮 M、N 分別為 AD、BC中點(diǎn)，可以過(guò)M分別作角三角形，把梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形。解法 2：作 ME AB交 BC于 E, 作 MF DC交 BC于 F AD BC 四邊形 ABEM、 DCFM都是平行四邊形 BE=AM,FC=DMAB、DC的平行線，梯形ABCD內(nèi)部構(gòu)成直ADMAMMDBE FCBNCNENFN由 MEAB, MFDCMEFB,MFEC BCBC。MEFMFE。ENF9090 EMF=90° , 又 EN=FNMN1EF1(BC AD )22 模式歸納 通過(guò)上面各例的分析、解證，發(fā)現(xiàn)添加適當(dāng)?shù)妮o助線能使解題

21、思路暢通，解答過(guò)程簡(jiǎn)捷。但輔助線的添加靈活多變，好像比較難以把握。其實(shí)添什么樣的輔助線？怎么添輔助線？與已知條件的特征和所求問(wèn)題的形成關(guān)系密切。下面分類歸納幾種常用的輔助線的添加方法。一、倍角問(wèn)題研究 2 或 = 1 問(wèn)題通稱為倍角問(wèn)題。倍角問(wèn)題分兩種情形：21. 與 在兩個(gè)三角形中，常作 的平分線，得1= 1 ，然后證明 1= ；或把 2翻折，得 2=2 ，然后證明 2= （如圖一）2. 與 在同一個(gè)三角形中，這樣的三角形常稱為倍角三角形。倍角三角形問(wèn)題常用構(gòu)造等腰三角形的方法添加輔助線（如圖二）12圖二圖一二 中點(diǎn)問(wèn)題已知條件中含有線段的中點(diǎn)信息稱為中點(diǎn)問(wèn)題。這類問(wèn)題常用三種方法添加輔助線

22、（ 1）延長(zhǎng)中線至倍（或者倍長(zhǎng)中線） ，如圖一。若圖形中沒(méi)有明顯的三角形的中線，也可以構(gòu)造中線后，再倍長(zhǎng)中線，如圖二。（ 2）構(gòu)造中位線，如圖三（ 3）構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線，如圖四。圖一圖二圖三圖四三、角平分線問(wèn)題已知條件中含有角平分線信息稱為角平分線問(wèn)題。常用的輔助線有兩種：1. 以角平分線所在直線為對(duì)稱軸，構(gòu)造全等三角形，如圖一、二所示。2. 由角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊做垂線，構(gòu)造全等三角形，如圖二所示。圖一圖二圖三四、線段的和差問(wèn)題已知條件或所求問(wèn)題中含有a+b=c 或 a=c-b ，稱為線段的和差問(wèn)題，常用的輔助線有兩種：1. 短延長(zhǎng)：若 AB=a, 則延長(zhǎng) AB到 M,使 BM

23、=b,然后證明 AM=c；2. 長(zhǎng)截短：若 AB=c, 則在線段 AB上截取 AM=a,然后證明 MB=b。五、垂線段問(wèn)題已知條件或所求問(wèn)題中含有兩條或者兩條以上的垂線段時(shí)，而所研究的問(wèn)題關(guān)系又不明顯時(shí)，可以借助于可求圖形的面積轉(zhuǎn)化。常用的面積關(guān)系有：1. 同（等）底的兩個(gè)三角形的面積與其高的關(guān)系；2. 同（等）高的兩個(gè)三角形的面積與其底的關(guān)系。六、梯形問(wèn)題梯形可以看作是一個(gè)組合圖形，組成它的基本圖形是三角形、平行四邊形、矩形等。因此，可以通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形、矩形等問(wèn)題求解，其基本思想為：轉(zhuǎn)化梯形問(wèn)題三角形或者平行四邊形問(wèn)題分割、拼接在轉(zhuǎn)化、分割、拼接時(shí)常

24、用的輔助線：1. 平移一腰。即從梯形一個(gè)頂點(diǎn)作另一個(gè)腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（如圖一） 。研究有關(guān)腰的問(wèn)題時(shí)常用平移一腰。2. 過(guò)頂點(diǎn)作高。即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形（如圖二） 。研究有關(guān)底或高的問(wèn)題時(shí)常過(guò)頂點(diǎn)作高。3. 平移一條對(duì)角線。即從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形（如圖三） 。研究有關(guān)對(duì)角線問(wèn)題時(shí)常用平移對(duì)角線。這種添加輔助線的方法，可以將梯形兩條對(duì)角線及兩底的和集中在一個(gè)三角形內(nèi)， 使梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題。此三角形的面積等于梯形的面積。4.延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)。把梯形問(wèn)題

25、轉(zhuǎn)化為兩個(gè)相似的三角形問(wèn)題（圖四）；5. 過(guò)底的中點(diǎn)作兩腰的平行線。當(dāng)已知中有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形（圖五） ；6. 過(guò)一腰中點(diǎn)作直線與兩底相交。當(dāng)已知中有一腰的中點(diǎn)時(shí)，常連接梯形一頂點(diǎn)和此中點(diǎn)，并延長(zhǎng)交另一底于一點(diǎn)， 將梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一對(duì)全等三角形和一個(gè)含有梯形兩底之和的三角形。此三角形的面積等于梯形的面積（圖六）；7. 作梯形中位線。 當(dāng)已知中有一腰的中點(diǎn)時(shí)， 常取另一腰的中點(diǎn)， 作梯形的中位線， （圖七），利用梯形中位線性質(zhì)解題。圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七 拓展延伸 1. 已知：如圖， ABC中， D 是 BC的中點(diǎn)， F 是 CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 FD交 AB于 E