例談不完全歸納法在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

1、例談不完全歸納法在初中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用 鄖西縣城關(guān)鎮(zhèn)城北中學(xué) 徐華進(jìn)不完全歸納法是指從一個(gè)或幾個(gè)(但不是全部)特殊情況作一般性的結(jié)論的歸納推理。這種歸納法是用一定數(shù)量數(shù)值為基礎(chǔ),進(jìn)行分析探究,從中找出規(guī)律,并將此規(guī)律推廣應(yīng)用到一般情況下的計(jì)算和證明在初中數(shù)學(xué)教材中，經(jīng)常會(huì)用這種方法進(jìn)行定義、公式、法則、定理的推導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中,若能正確運(yùn)用不完全歸納法,可提高分析、解決問(wèn)題能力，發(fā)現(xiàn)、探索問(wèn)題的能力。下面略舉幾例說(shuō)明它的運(yùn)用；一. 在推導(dǎo)法則、定理中的運(yùn)用1利用不完全歸納法推導(dǎo)分式乘方的運(yùn)算法則 根據(jù)乘方的意義和分式乘法法則，可得： = 由此可推出，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，=(b0)即分式乘方要把分子、分母

2、分別乘方利用不完全歸納法推導(dǎo)凸多邊形內(nèi)角和定律將教材的推導(dǎo)過(guò)程整理成下表：多邊形邊數(shù)圖 形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線把多邊形分割成的三角形個(gè)數(shù)多邊形邊的內(nèi)角和44-2=2（4-2）×18055-2=3（5-2）×18066-2=4(6-2)×180nn-2（n-2）×180通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生填寫上表內(nèi)容,分析概括,總結(jié)歸納出多邊形內(nèi)角和定理:n邊形內(nèi)角和等于180×(n-2).說(shuō)明：本定理的推導(dǎo)，還可以在多邊形內(nèi)（或一邊上）取任一點(diǎn)，分別連接多邊形的頂點(diǎn)，也可仿照上述方法，得到同樣的結(jié)論，可讓學(xué)有余力的學(xué)生在課外去探討。二.在解題中的應(yīng)用1 . 從計(jì)算結(jié)

3、果中探究規(guī)律例 計(jì)算: = 3 =33 =333=3333請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律寫出下式的結(jié)果:=_.分析：從至式的左邊可以看出：被開(kāi)方數(shù)中被減數(shù)1的個(gè)數(shù)是減數(shù)2的二倍，其結(jié)果中3的個(gè)數(shù)是減數(shù)2的個(gè)數(shù)。解：=說(shuō)明：解此類題目關(guān)鍵是正確分析歸納出題中的結(jié)果數(shù)字與算式中數(shù)字之間的特殊關(guān)系，再?gòu)奶厥馔茝V到一般.2.從圖形的特征中探究規(guī)律例1 下列各三角形圖案是由若干個(gè)五角星組成的，每條邊（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>1）五角星,每個(gè)圖案中五角星的總數(shù)為s.按此規(guī)律推斷:s與n的關(guān)系. n=2，s=3 n=3 s=6 n=4，s=9 圖(1) 圖(2) 圖(3分析方法一:由于每條邊上的五角星數(shù)包括了兩個(gè)頂點(diǎn)

4、,若每邊按n個(gè)計(jì)算,則重算了三角形三個(gè)頂點(diǎn)上的三個(gè)。故有s=3n-3.分析方法二：由圖可知，每個(gè)圖案上的五角星總數(shù)，隨著各邊上五角星的增多而增多，且前面一個(gè)圖案中五角星總數(shù)總比其后面一個(gè)圖案中五角星總數(shù)少3，因此可猜想：s=，根據(jù)圖（1）、圖（2）中的條件就能求出k，b的值，再驗(yàn)證是否滿足圖（3）的條件。解：設(shè)s=，把n=2，s=3；n=3，s=6分別代入上式，得 解得 s=3n-3經(jīng)檢驗(yàn)：n=4，s=9也滿足s=3n-3所求s與n的關(guān)系為s=3n-3例2 如圖，中，A、A、A、A是邊AC上不同的n個(gè)點(diǎn)，首先連接BA，圖中有3個(gè)不同的三角形，再連接BA圖中共有6個(gè)不同的三角形（1）連接到A時(shí)，

5、請(qǐng)用n的代數(shù)式表示圖中共有三角形的個(gè)數(shù)。（ 2）若出現(xiàn)45個(gè)三角形，則共需連接多少個(gè)點(diǎn)？ B 分析：通過(guò)觀察圖知，當(dāng)AC上有1個(gè)點(diǎn)A時(shí)，連接點(diǎn)B，所得三角形的個(gè)數(shù)為（2+1）個(gè)；當(dāng)AC上有2個(gè)點(diǎn)A、A時(shí)，分別連接點(diǎn)B，所得三角形的個(gè)數(shù)為（3+2+1）個(gè)，當(dāng)AC上有3個(gè)點(diǎn)A、A、A時(shí)，分別連接點(diǎn)B，所得三角形的個(gè)數(shù)為（ 4+3+2+1）個(gè)； 由此可以推測(cè)出：當(dāng)AC上有n個(gè)點(diǎn)A，A、AA時(shí)，分別連接點(diǎn)B，所得三角形的個(gè)數(shù)為（n+1）+n+（n-1）+ +3+2+1 個(gè) 解：（1）當(dāng)連接到A 時(shí)，所得三角形總個(gè)數(shù)為： （n+1） +n+（n-1）+（n-2）+4+3+2+1 =（n+1）+1+（n+

6、2）+（n-1+3）+=A A A2 A3 An = （2）由題意，得=45 原方程化為：n+3n-88=0 即（n+11）（n-8）=0 n=8或n=-11 （負(fù)值不合題意，舍去）答：當(dāng)出現(xiàn)45個(gè)三角形時(shí)，共連接8個(gè)點(diǎn)。說(shuō)明：從例1、例2可以看出,解此類題目常常是先考慮特殊情況,由特殊情況下的結(jié)果,推導(dǎo)出一般情況下的結(jié)果,它是從特殊到一般的歸納推理,因此必須要求學(xué)生對(duì)所得出的結(jié)論要做出合理性的驗(yàn)證.學(xué)生往往會(huì)因所選取的數(shù)值不具有全面的代表性,使得結(jié)論產(chǎn)生錯(cuò)誤.如下面的例子就說(shuō)明了這一點(diǎn).如：這里學(xué)生忽略了a<0的情況,導(dǎo)致最后的結(jié)論不正確.在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能夠合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)不完全歸納法，能使所解決的問(wèn)題變