第三章概率與統(tǒng)計

1、第三章 概率與統(tǒng)計一 隨機變量（6課時）重點知識：1. 離散型隨機變量的分布列：（1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示。離散型隨機變量：隨機變量的取值能按一定次序一一列出。連續(xù)型隨機變量：隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值。 （2）離散型隨機變量的概率分布列： a. . 具有如下性質(zhì)：(i)， b. 二項分布（獨立重復試驗）一次實驗中，則在次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次的概率為： 二項分布列 0 1 2····· ······ ···

2、3;······2. 離散型隨機變量的期望與方差：（1） 數(shù)學期望：（2） 方差（均方差）： 標準差：注： 若，則， 若，則 ，基本題例：1. 設隨機變量的概率分布為，為常數(shù)，則4.2. 設離散型隨機變量可能的取值為1，2，3，4，又的數(shù)學期望為，則等于3. 設，若有，則之值分別為18，4. 若為非負數(shù)，隨機變量的概率分布為 0 1 2 則的最大值為，的最大值為1 .5.設為平面上過點的直線，的斜率等可能地取，用表示坐標原點到直線的距離，則隨機變量的數(shù)學期望=。6.一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數(shù)字0，兩個面上標以數(shù)1，一個

3、面上標以數(shù)2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學期望是。7.設等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=8.若的方差為3，則的方差為27.9.在一個盒子中，放有標號分別為，的三張卡片，現(xiàn)從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為、，記（1）求隨機變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（2）求隨機變量的分布列和數(shù)學期望解：（1）、可能的取值為、，且當或時， 因此，隨機變量的最大值為 有放回抽兩張卡片的所有情況有種， （2）的所有取值為 時，只有這一種情況， 時，有或或或四種情況，時，有或兩種情況 ， 則隨機變量的分布列為： 因此，數(shù)學期望 10.某一汽車前進途中要經(jīng)過個紅綠燈路

4、口。已知汽車在第一個路口，遇到紅燈和遇到綠燈的概率都是；從第二個路口起，若前次遇到紅燈，則下一次遇到紅燈的概率是，遇到綠燈的概率是；若前一次遇到綠燈，則下一次遇到紅燈的概率是，遇到綠燈的概率是。求：（1）汽車在第二個路口遇到紅燈的概率是多少？（2）汽車在經(jīng)過三個路口過程中，所遇到紅燈的次數(shù)的期望是多少？11.甲、乙兩人玩投籃游戲，規(guī)則如下：兩人輪流投籃，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投籃，結(jié)束游戲，已知甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為求： （1）乙投籃次數(shù)不超過1次的概率；1.3.5 （2）記甲、乙兩人投籃次數(shù)和為，求的分布列和數(shù)學期望.【方法與技巧】有些問題的模型顯得較為隱蔽

5、，這時我們可以多做一點嘗試，弄清其模型，再設計相應的答題策略。在解答過程中，需注意答題的規(guī)范性。12.袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上號的有個（=1,2,3,4）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標號.（）求的分布列，期望和方差；（）若, ,試求a,b的值.【方法與技巧】在計算離散型隨機變量的期望與方差時，首先要搞清其分布特征和分布列，然后要準確運用公式，特別是充分利用性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運算過程，提高運算速度和準確度.13. 甲盒有標號分別為1、2、3的3個紅球；乙盒有標號分別為1、2、n（n2）的n個黑球，從甲、乙兩盒中各抽取一個小球，抽取的標號恰好分別為1和n的概率

6、為 （1）求n的值； （2）現(xiàn)從甲、乙兩盒各隨機抽取1個小球，抽得紅球的得分為其標號數(shù)；抽得黑球，若標號數(shù)為奇數(shù)，則得分為1，若標號數(shù)為偶數(shù)，則得分為零，設被抽取的2個小球得分之和為，求的數(shù)學期望E.【方法與技巧】有些問題的模型顯得較為隱蔽，這時我們可以多做一點嘗試，弄清其模型，再設計相應的答題策略。在解答過程中，需注意答題的規(guī)范性。14. A、B兩隊進行籃球決賽，共五局比賽，先勝三局者奪冠，且比賽結(jié)束。根據(jù)以往成績，每場中A隊勝的概率為，設各場比賽的勝負相互獨立. （1）求A隊奪冠的概率；（2）設隨機變量表示比賽結(jié)束時的場數(shù)，求E.【方法與技巧】恰當?shù)鼗貧w到相應的概率模型中去，是解答概率與統(tǒng)

7、計應用問題的突破口，只有找到合適的概率模型，才能迅速抓住問題的本質(zhì)，進而設計相應的解題策略。在解答過程中，需注意答題的規(guī)范性。15.某家具城進行促銷活動，促銷方案是：顧客每消費滿1000元，便可以獲得獎券一張，每張獎券中獎的概率為，若中獎，則家具城返還顧客現(xiàn)金1000元，某顧客購買一張價格為3400元的餐桌，得到3張獎券，設該顧客購買餐桌的實際支出為元（I）求的所有可能取值II）求的分布列；（III）求的期望E. 【方法與技巧】有些問題的模型顯得較為隱蔽，這時我們可以多做一點嘗試，弄清其模型，再設計相應的答題策略。在解答過程中，需注意答題的規(guī)范性。16.2008年中國北京奧運會吉祥物由5個“中

8、國福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現(xiàn)有8個相同的盒子，每個盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：福娃名稱貝貝晶晶歡歡迎迎妮妮數(shù)量11123 從中隨機地選取5只.（I）求選取的5只恰好組成完整“奧運吉祥物”的概率；（II）若完整地選取奧運會吉祥物記10分；若選出的5只中僅差一種記8分；差兩種記6分；以此類推. 設表示所得的分數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.17.為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為p，設為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學期望，標準差為。（）求n,p的值并寫出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率 或 18.某大學開設甲、乙、丙三門選修課，學生是否選修哪門課互不影響. 已知某學生只選修甲的概率為0