巧用初等數(shù)學(xué)的方法求證正弦交流電有效值

1、巧用初等數(shù)學(xué)的方法求證正弦交流電有效值 在現(xiàn)行中學(xué)物理教材中，由于某些知識(shí)的起點(diǎn)較高，學(xué)生的認(rèn)知水平的限制及學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)等條件的限制，有不少內(nèi)容都是直接給出結(jié)論性的知識(shí) ，而不作深入研究這樣 的安 排對(duì)大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)是合理的、科學(xué)的如：正弦交電的峰值與有效值之間的關(guān)系這個(gè)問(wèn)題在高中教材中都是直接給出的，不作證明但教師在教學(xué)過(guò)程中，可以不一定拘泥于教材的限制 ，特別是針對(duì)那些學(xué) 有所長(zhǎng)的學(xué)生來(lái)說(shuō) ，教師要努力突破教科書(shū)的禁錮 ，在科學(xué) 、合理 ，不給學(xué)生增加負(fù)擔(dān)的原則下，另辟捷徑 ，對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行延伸，從而擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)生的科學(xué)思維能力下面對(duì)正弦交流電的峰值與有效值之間的關(guān)系證明這個(gè)問(wèn)

2、題，從初等數(shù)學(xué)的角度，借助思維的靈活性與巧妙性 ，來(lái)進(jìn)行闡述 ，達(dá)到挖掘教材深度，豐富教學(xué)內(nèi)容的目的u2OUm-UmTttO-UmTt 等效法：假設(shè)有兩個(gè)交變電壓其最大值與周期均相同，瞬時(shí)值表達(dá)式分別為u1=Umsint、u2=Umcost,其中，=2/T。把它們分別加在兩個(gè)阻值相同的電阻上，設(shè)電阻的阻值為R，由于電流的熱效應(yīng)與電流的方向及先后作用的時(shí)間順序無(wú)關(guān)，故在一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)交流電產(chǎn)生的熱量相等，設(shè)都為Q，產(chǎn)生的總熱量Q總=2Q。在任一時(shí)刻t，這兩個(gè)電阻上的熱功率分別為 ，兩個(gè)電阻上總的發(fā)熱功率為?？梢?jiàn)兩個(gè)電阻上總的發(fā)熱功率是一個(gè)定值，與時(shí)刻t無(wú)關(guān)，所以在一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)電阻上總的發(fā)熱量為

3、.用一個(gè)恒定電壓為U的電源，分別給兩個(gè)相同的電阻R供電，在相同時(shí)間T內(nèi)，每個(gè)電阻產(chǎn)生的熱量是Q=，兩個(gè)電阻產(chǎn)生的總熱量為Q=.由熱效應(yīng)的等效可知?？傻?。而這個(gè)恒定電流的電壓U就是正弦交變電流的電壓的有效值。電流、電動(dòng)勢(shì)有效值可同法證得。平均值法：設(shè)流過(guò)定值電阻R的電流按正弦規(guī)律變化，即i=Imsint,交流電的瞬時(shí)功率為p=i2R=Im2Rsin2t. 因?yàn)?代入得 。上式中，后一項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)平均值為零，因此在一個(gè)周期內(nèi)交流電平均功率為：(為最大瞬時(shí)功率的一半)如果考慮一個(gè)恒定電流I與其等效，即P=I2R，就有P=，即，所以 圖像法： 設(shè)通過(guò)電阻R的正弦交流電電流表達(dá)式為，則 交流 電的瞬時(shí)功率為，作出交流電的 Pt圖象如圖所示 .由微元方法可知曲線與時(shí)間軸所包圍的面積表示交流電在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量利 用割補(bǔ)法或“移峰填谷”的方法，將斜線所畫(huà)部分截下，倒過(guò)來(lái)恰好可以填充在 “谷 ”里從圖象可以很直觀地發(fā)現(xiàn) ：曲線與橫軸所包圍的面積，正好等于高為、寬為 T的矩形面積，此矩形面積在數(shù) 值上又恰等于該交流電在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量 根據(jù)有效值的定義，有 ，即 ， 所以 。 數(shù)學(xué)是工具 ，掌握用數(shù)學(xué)方法分析、解決物理問(wèn)題的能力， 是我們培養(yǎng)學(xué)生能力的其中一方面同時(shí)，在學(xué)好物理概念、規(guī)律等的基礎(chǔ)上，借助數(shù)學(xué)的巧妙運(yùn)算 ，能進(jìn)一步鞏固和擴(kuò)展學(xué)生