實(shí)變函數(shù)論課后答案

1、實(shí)變函數(shù)論課后答案第五章2第五章第二節(jié)習(xí)題1 設(shè)，在上可測(cè)且?guī)缀跆幪幱邢?，證明：在上可積的充要條件是證明 在上可積在上可積，顯然可測(cè)（由可測(cè)）若，則則從知。反過(guò)來(lái)，若，則所以此時(shí)，可積，從而可積。證畢2 證明，分別在和上不可積。證明 顯然在上連續(xù)，從而非負(fù)可測(cè)。（P142 Th2）（積分不分開(kāi)區(qū)間還是閉區(qū)間）所以在上不可積。（P142 Th1 可積于也可積于）則在上不可積。令知?jiǎng)t在上不可積。3.設(shè)在意義下的廣義積分是絕對(duì)收斂的，證明在上可積，且證明 1）在上可測(cè)。事實(shí)上，在上廣義可積充分大，在上可積,故在上有界，且可積。由P156Th8 在上幾乎處處連續(xù)，且可測(cè)（P157： 于，為簡(jiǎn)單函數(shù)，可

2、測(cè)）由的任意性，知在上可測(cè) 于2）在上可積。我們只用證。 充分大，由作為廣義絕對(duì)收斂，知在 上（有界）可積，且由1）已知在上可測(cè)，從而也可測(cè)于，再由P142定理已知在上可積知在上可積且且令則于。，由Levi定理則則在上可積。3）從（前已證）只用證，于。由控制收斂定理，知4.設(shè)，證明如果，都是上的可積函數(shù)，且在上一致收斂于，則也在上可積且證明 從于，知，則可測(cè)于另一方面(1)事實(shí)上，若（a）,則顯然（1）成立。若（b），則故（1）成立若（c），則若（d），則（1）成立。由（1）和于知（2）同理（3）故于由準(zhǔn)則知， ， ，（由）則所以存在且有限。由引理和（2）（3）知故在上非負(fù)可積，從而有在上可積

3、。從于知 ， ，當(dāng)時(shí)有則時(shí)則5.設(shè)F是一族在上可積的函數(shù)證明F是積分等度絕對(duì)連續(xù)的充分條件是對(duì)任意，都有使證明 設(shè)，則若F是等度絕對(duì)連續(xù)，則 ， ，使得當(dāng)可測(cè)集且時(shí)，有對(duì)上述和存在，使，故，可積，故故，故得證。反過(guò)來(lái)，若 ，使，則 ，使令則當(dāng)可測(cè)集，且時(shí)，可積，故于是積分等度絕對(duì)連續(xù)。6.證明證明 顯然在上非負(fù)連續(xù)，從而非負(fù)可測(cè)。故存在（有限或正無(wú)窮）。又時(shí)，在上非負(fù)可測(cè)，由基本定理，令，則非負(fù)可測(cè)，單調(diào)上升（關(guān)于?。┣夜视啥ɡ恚ㄒ?yàn)樵谏线B續(xù)，P142Th2）則綜上有結(jié)論（1）得證注意上面的論證，固然也可用本節(jié)練習(xí)3的結(jié)論先驗(yàn)證廣義積分絕對(duì)收斂，從而有但交換順序?qū)е虏环奖悖€是要用基本定理，反

4、而多了一道手續(xù)（2）則顯然時(shí)，收斂，故 絕對(duì)收斂于注意時(shí)， 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)。而時(shí)，是上的可積函數(shù)。由基本定理由控制收斂定理則（用分部積分法或用）則為求，考慮在上的付里葉展式設(shè)則則由于充分光滑，故（由，）即則證畢。7.證明證明 令，則非負(fù)連續(xù)于，當(dāng)時(shí)（當(dāng)）當(dāng)時(shí)（若）令則對(duì)一切有在和上分別非負(fù)可測(cè)。從P104定理4知在上廣義絕對(duì)可積知在上可積，由控制收斂定理知（定理）第二問(wèn)題的解：令則當(dāng)時(shí)則在時(shí)是的增函數(shù)。又顯然則于上，從而于上。所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，則于若在上可積，由控制收斂定理可得若在上可積，從非負(fù)可測(cè)，非負(fù)可測(cè)，由引理知8.設(shè)都是上的可測(cè)函數(shù)證明 在上幾乎處處絕對(duì)收斂，其和函數(shù)在上可積，并

5、且證明 可測(cè)，則簡(jiǎn)單非負(fù)可測(cè)（P107Th7）故由基本定理和本題條件故在上可積，由P144定理3 于即在上幾乎處處絕對(duì)收斂。又也為上可測(cè)函數(shù)，故由P145 定理4故在可積，由P142定理2知在上可積令則，而，而可積由控制收斂定理證畢15.利用引理給出情況下的控制收斂定理的一個(gè)更直接初等的證明。證明 設(shè)存在非負(fù)可積函數(shù)使于 則從于知 于故于則于，令則在上非負(fù)可測(cè)，且于由引理由在上非負(fù)可積知?jiǎng)t則則所以得證注實(shí)際上證了于且在書(shū)上要求實(shí)際上只用對(duì)幾乎處處有上式即可。14.設(shè)在上可積，是的一串收斂的可測(cè)子集，證明證明 令則從可測(cè)，可積知，是上可測(cè)函數(shù)，由P11習(xí)題6的結(jié)論另一方面則于上另一方面由條件可積

6、于故由控制收斂定理證畢11.設(shè)當(dāng)時(shí)是在上可積的函數(shù)（這里是有界閉區(qū)間）且有常數(shù)使證明證明 使，則充分大時(shí)故由條件，在上可積在上可積且又由中值定理則 由控制收斂定理即由的任意性知序列極限與函數(shù)極限的關(guān)系知證畢9.將中全體有理數(shù)排成序列，證明是在上幾乎處處收斂的。證明 顯然，是上的可測(cè)函數(shù)且是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，也是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)。由基本定理故故幾乎處處收斂。10.設(shè)，證明在上的充要條件是證明 先設(shè)則子列則從于和有P154有界收斂定理知反過(guò)來(lái)，若，由于在上單調(diào)增加故時(shí)，令則則故于上12.證明：若在上可積，則對(duì)任意都有上的連續(xù)函數(shù)使如果還是有界的，則上述還可以要求是的多項(xiàng)式。證明 ，在上可積都在上可積。若本題結(jié)論對(duì)非負(fù)的成立，則對(duì)一般也成立。事實(shí)上，若結(jié)論對(duì)成立，則，使，令， 則故結(jié)論成立。下面假設(shè)，在上可積，則由非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的定義（P131）則，使，這個(gè)有界可測(cè)函數(shù)滿足從知?jiǎng)t，幾乎處處有限于，由P116Th2（Lusin定理的另一形式，可不要求）閉集和，使（1）時(shí)，（2