全微分方程及積分因子

1、全微分方程及積分因子 全微分方程及積分因子 內(nèi)容：湊微分法，全微分方程的判別式，全微分方程的公式解，積分因子的微分方程，只含一個(gè)變量的積分因子和其他特殊形式的積分因子。由 于有數(shù)學(xué)分析多元微積分的基礎(chǔ)，本節(jié)的定理1可以簡(jiǎn)化處理。對(duì)課本中第三塊知識(shí)即全微分方程的物理背景可以留到后面處理，對(duì)第四塊知識(shí) 增解和失解的情況要分散在本章各小節(jié)，每次都要重視這個(gè)問題。關(guān)于初等積分法的局限性可歸到學(xué)習(xí)近似解法時(shí)一起講解。 重點(diǎn)：全微分方程的公式解和積分因子的計(jì)算，難點(diǎn)為湊微分法和積分因子的計(jì)算。 習(xí)題1(1,3,5),2,3 思考題：討論其他特殊形式的積分因子。 方程：M(x,y)dxN(x,y)dy0 判

2、定：全微分型上yx 解法：、M(x,y)dxyN(xo,y)dyC%y。 初值問題C0 積分因子：1NM地叁 (x): (y): 1) 解: 1dyx dxN MN 1dyx dyM 解下列方程: 2xydx 2xydx (x2y2)dy0 (0 /3 N=2xx )dyC既 2) 解: ydx (2y xe y)dy0 ydx 3) 解: 2x(1 x 02x(1 2(2 3(x 4) 2y)dy C既xeyy2 ，x2y)dxx2ydy y)dx 3 y)2 222 x2-(x2 3 3 y)2 1 *9- 2、xy 0y.ydy 3 y)2 dx(y3Inx)dyx 3 y)2 解: M

3、N_1 yxx xy-dx 0 x 0yy3dyC既yln|x|y4/4C 5) 22 3xy 2 y dx 2x35y 3 y dy0 解: 6x2y -2 X3x2 5/y 2 dx 2,5ydy 6) 2 ysin2x)dx ycos2xdy 解: N_2ysin2x (1 2 ysin2x)dx y 0ydyC y2cos2x1y 212c -yC2 120c xycos2xC 2 求下列方程的積分因子和積分: 1) (x2y x)dxxydy0 解: 1z 2yyyNx d dx Cx letC1既 (x) /3 (x 2 xy )dx y 00dyC 12 -xy2 2)(2xy4

4、ey 2xy3y)dx /24y (xye x2y23x)dy0 N2xy4eyx 8xy3ey 6xy21 2xy4 ey2xy2 8xy 3ey 24 8xy24-M y 1Jdy (y) x 0(2xey2x/y )dx y 0dyC x2/ yxy 3) (x4 4. y)dx 3 xy dy 解: 4y -Nx 1J dx (x) x 0(x 5 yx )dx C既Inx 六C 4x 4) (2x3y2 2 4xy 2xJ xy42y)dx2(y3x2yx)dy0 解: 4x 4x24xy4xy324xy2 4x3y4x24xy3 2xN 1ddx 2x (x) x2e 2 x232

5、2 e(2xy4xy 24 2xyxy y3 2y)dx02y3dyC _2_2_2 22x2x2x xyeyey2xye 2x2214x214 yey-ye-y 22 y4/2C 14x2小 2xyyeC 2 ,、1 (x,y) P(x)N(y) MNp(x)Nyx 1(n1)p(x)dx (x,u)e y 4.設(shè)fi(z),f2(z)連續(xù)可微, 證明: fi(xy)xyfi(xy)f?(xy)xyf?(xy) 11 NM xy 1 1NM xy 3. 求下列方程的積分因子: 1) M(x)N(y)dxP(x)Q(y)dy (x,y)fi(xy)f2(xy)xy0求證： 1 (x,y) 是方程 f1(xy)ydx f2(xy)xdy0的一個(gè)積分因子。 x2 02yexdx 2x,2yedx 解: 2) dyp(x)yf(x)dx 解: 所以工d dx p(x)(x) p(x)dx 3)dy P(x)yq(x)yndx (n 0,1) 解: M 1一 f2(xy)xfi(xy)f2(xy)y 2_ fi(xy)f2(xy)xy fi(xy)yfi(xy)fz(xy)x 2 fi(xy)f2(xy)xy 5.設(shè)f(x,y),q連續(xù)，試證方程 dyf(x,y)dx0