工程制圖基礎(chǔ)

1、第1章 點、直線、平面的投影在工程圖樣中，為了在平面上表達空間物體的形狀，廣泛采用投影的方法。本章介紹投影法的基本概念和如何在平面上表示空間幾何要素（點、直線和平面）的方法。1.1 投影法的基本知識在日常生活中，物體在光線的照射下，就會在地面或墻壁上產(chǎn)生一個物體的影子。人們根據(jù)這一自然物理現(xiàn)象，創(chuàng)造了用投影來表達物體形狀的方法，即：光線通過物體向選定的面投射，并在該面上得到圖形,這種現(xiàn)象就叫投影（projection）。這種確定空間幾何元素和物體投影的方法，稱為投影法（projection method）。投影法通常分為中心投影法（perspective projection method）和

2、平行投影法(parallel projection method)兩種。1.1.1 中心投影法如圖1-1所示，設(shè)一平面P（投影面）與光源S（投影中心）之間，有一個ABC（被投影物）。經(jīng)投影中心S分別向ABC頂點A、B、C各引一直線SA、SB、SC（稱為投射線），并與投影面P交于a、b、c三點。則a、b、c三點就是空間A、B、C三點在P平面上的投影，abc就是空間ABC 在P平面上的投影。圖1-1 中心投影法這種投射線匯交于一點的投影方法稱為中心投影法。中心投影法的投影中心位于有限遠處，該投影法得到的投影圖形稱為中心投影。由于中心投影法得到的物體投影的大小與物體的位置有關(guān)，如果改變物體（ABC）

3、與投影中心（S）的距離，投影（abc）的大小也隨之改變，即不能反映空間物體的實際大小。因此，中心投影法通常不用于繪制機械圖樣，而用于建筑物的外觀透視圖等。1.1.2 平行投影法如圖1-2所示，若將投影中心S沿一不平行于投影面的方向移到無窮遠處，則所有投射線將趨于相互平行。這種投射線相互平行的投影方法，稱為平行投影法。平行投影法的投影中心位于無窮遠處，該投影法得到的投影圖形稱為平行投影。投射線的方向稱為投影方向。由于平行投影法中，平行移動空間物體，即改變物體與投影面的距離時，它的投影的形狀和大小都不會改變。平行投影法按照投射線與投影面傾角的不同又分為正投影法（Orthogonal method）

4、和斜投影法（Oblique projection method）兩種：當投影方向（即投射線的方向）垂直于投影面時稱為正投影法，如圖1-2(a)所示；當投影方向傾斜于投影面時稱為斜投影法，如圖1-2(b)所示。正投影法得到的投影稱為正投影，斜投影法得到的投影稱為斜投影。(a) 正投影法 (b) 斜投影法圖1-2 平行投影法正投影法是機械圖樣繪制中最常用的一種方法。本教材后續(xù)章節(jié)中提及的投影，若無特殊說明，均指正投影。1.2 點 的 投 影點(point)是構(gòu)成形體最基本的幾何元素,一切幾何形體都可看作是點的集合。點的投影(point projection)是線(line)、面(surface)、

5、體（body）的投影基礎(chǔ)。1.2.1 點的單面投影如圖1-3所示，已知投影面P和空間點A，過點A作P平面的垂線（投射線），得唯一投影a。反之，若已知點的投影a，就不能唯一確定A點的空間位置。也就是說，點的一個投影不能確定點的空間位置，即：單面投影不具有“可逆性”。因此，常將幾何形體放置在相互垂直的兩個或三個投影面之間，然后向這些投影面作投影，形成多面正投影。圖1-3 點的單面投影及其空間位置關(guān)系1.2.2 點的兩面投影如圖1-4(a)所示，設(shè)置兩個互相垂直的平面為投影面（projection plane）,其中一個是正立投影面（vertical projection plane）用V表示，另一

6、個是水平投影面（horizontal projection plane）用H表示，V面和H面組成兩投影面體系。兩投影面的交線為投影軸（projection axis）用OX表示。(a) 立體圖 (b) 投影面展開后 (c) 投影圖圖1-4 點在V、H兩面體系中的投影在兩面投影體系中，設(shè)一空間點A，從A點分別向H面、V面作垂線（投射線），其垂足分別是點A的水平投影a和正面投影a¢。由于Aa¢V、AaH，故投射面Aaa¢OX軸并交于點aX，因此，a¢aXOX、aaXOX。如圖1-4(a)中A點投影a、a¢分別在H面、V面上，要把兩個投影表示在一個平

7、面上，按照國家制圖標準規(guī)定：V面不動，將H面繞OX軸、按圖1-4(a)中所示箭頭的方向，自前向下旋轉(zhuǎn)90°與V面重合，如圖1-4(b)所示，稱為點的兩面投影圖。由于投影面是無限的，故在投影圖上通常不畫出它的邊框線，這樣便得到如圖1-4(c)所示的點的兩面投影圖。從圖1-4(a)和圖1-4(c)，根據(jù)立體幾何知識，可以知道平面AaaXa¢為一矩形，展開后aa¢形成一條投影連線并與OX軸交于點aX，且aa¢OX軸。同時，a¢aX=Aa，反映點A到H面的距離；aaX=Aa¢，反映點A到V面的距離。這里需要說明的是：規(guī)定空間點用大寫字母表示（

8、如A），點的水平投影用相應(yīng)的小寫字母表示（如a），點的正面投影用相應(yīng)的小寫字母并在右上角加一撇表示（如a¢）。從上面可以概括出點的兩面投影特性：（1）點的水平投影與正面投影的連線垂直于OX軸，即：aa¢OX；（2）點的正面投影到OX軸的距離等于點到H面的距離，點的水平投影到OX軸的距離等于點到V面的距離，即：a¢aX=Aa，aaX=Aa¢。1.2.3 點的三面投影雖然點的兩面投影已能確定該點的位置，但為了更清楚地圖示某些幾何形體，在兩投影面體系的基礎(chǔ)上，再增加一個與V面、H面都垂直的側(cè)立投影面（profile projection plane）, 用W表

9、示，如圖1-5(a)所示。三個投影面之間兩兩相交產(chǎn)生三條交線，即三條投影軸OX、OY、OZ，它們相互垂直并交于O點，形成三投影面體系。(a) 立體圖 (b) 投影面展開后 (c) 投影圖圖1-5 點在V、H、W三面體系中的投影如圖1-5(a)所示：從A向W面作垂線（投射線），垂足即為A點的側(cè)面投影，記作a²。這里需要指出的是，規(guī)定點的側(cè)面（W面）投影用空間點的相應(yīng)小寫字母右上角加兩撇表示。在三投影面體系中，三條投射線每兩條可以確定一個投射面，即平面Aaa¢、Aaa²、Aa¢a²,它們分別與三投影軸OX、OY、OZ交于點aX、aY、aZ。為了將三

10、個投影a、a¢、a²表示在一個平面上，參照兩面投影體系，根據(jù)國家制圖標準規(guī)定：V面不動，H面、W面按圖1-5(a)中箭頭所示方向分別繞OX軸自前向下旋轉(zhuǎn)90°、繞OZ軸自前向右旋轉(zhuǎn)90°。這樣，H面、W面與V面就重合成一個平面。這里投影軸OY被分成YH、YW兩支，隨H面旋轉(zhuǎn)的OY軸用OYH表示，隨W面旋轉(zhuǎn)的OY軸用OYW表示，且OY軸上的aY點也相應(yīng)地用aYH、aYW表示，如圖1-5(b)。與兩面投影體系一樣，投影圖上不畫邊框線，得到空間點A在三投影面體系中的投影圖，如圖1-5(c)。在投影圖中，OY軸上的點aY因展開而分成aYH、aYW。為了方便作圖，

11、可以過O點作一條45°的輔助線，aaYH、a²aYW的延長線必與該輔助線相交于一點。從圖1-5(a)和圖1-5(c)，同樣，根據(jù)立體幾何知識，可知：展開后a¢a²形成一條投影連線并與OZ軸交于點aZ，且a¢a²OZ軸。同時，a¢aX=a²aYW=Aa，反映點A到H面的距離；a¢aZ=aaYH=Aa²，反映點A到W面的距離；a²aZ=aaX=Aa¢，反映點A到V面的距離。從上面可以概括出點的三面投影特性：（1）點的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸，即：aa¢OX，a

12、2;a²OZ；（2）點的投影到相應(yīng)投影軸的距離等于點到相應(yīng)投影面的距離，即：a¢aX =a²aYW=Aa，a¢aZ=aaYH=Aa²，a²aZ =aaX=Aa¢。利用點在三投影面體系中的投影特性，只要知道空間一點的任意兩個投影，就能求出該點的第三面投影（簡稱為二求三）。1.2.4 點的三面投影與直角坐標的關(guān)系如圖1-6(a)，若將三投影面當作三個坐標平面，三投影軸當作三坐標軸，三軸的交點O作為坐標原點，則三投影面體系便是一個笛卡兒空間直角坐標系。因此，空間點A到三個投影面的距離，也就是A點的三個直角坐標X、Y、Z。即，點的投

13、影與坐標有如下關(guān)系：點A到W面的距離Aa²=a¢aZ=aaYH=OaX=XA；點A到V面的距離Aa¢=a²aZ=aaX=Oay=YA；點A到H面的距離Aa=a¢aX=a²aYW=OaZ=ZA。由此可見，若已知A點的投影（a、a¢、a²），即可確定該點的坐標，也就是確定了該點的空間位置，反之亦然。從圖1-6(b)可知，點的每個投影包含點的兩個坐標，點的任意兩個投影包含了點的三個坐標，所以，根據(jù)點的任意兩個投影，也可確定點的空間位置。(a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-6 點的三面投影與直角坐標【例】 已知A點的直角坐

14、標為（15，10，20），求點A的三面投影（圖樣中的尺寸單位為mm時，不需標注計量單位）。解 步驟如下：（1）作相互垂直的兩條細直線為投影軸，并且過原點O作一條45°輔助線平分YHOYW。依據(jù)XA = OaX，沿OX軸取OaX=15mm，得到點aX，如圖1-7(a)；（2）過點aX作OX軸的垂線，在此垂線上，依據(jù)ZA=a¢a X，從aX向上取a¢aX =20mm，得到點A的正面投影a¢；依據(jù)YA=aaX，從aX向下取aXa=10mm，得到點A的水平投影a，如圖1-7(b)；（3）現(xiàn)已知點A的兩面投影a¢、a，可求第三投影。即：過a作直線垂直于O

15、YH并與45°輔助線交于一點，過此點作垂直于OYW的直線，并與過a¢所作OZ軸的垂線a¢aZ的延長線交于a²，a²即為點A側(cè)面投影，如圖1-7(c)。(也可不作輔助角平分線，而在a¢aZ的延長線上直接量取aZa²= aaX而確定a²)。(a) (b) (c)圖1-7 由點的坐標求其投影1.2.5 兩點的相對位置及重影點1. 兩點的相對位置空間兩點的相對位置，是指它們之間的左右、前后、上下的位置關(guān)系，可以根據(jù)兩點的各同面投影之間的坐標關(guān)系來判別。其左右關(guān)系由兩點的X坐標差來確定，X值大者在左方；其前后關(guān)系由兩點的Y坐

16、標差來確定，Y值大者在前方；其上下關(guān)系由兩點的Z坐標差來確定，Z值大者在上方。在圖1-8(a)中，可以直觀地看出A點在B點的左方、后方、下方。在圖1-8(b)中，也可從坐標值的大小判別出同樣的結(jié)論。(a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-8 兩點的相對位置2. 重影點(overlapping points)若空間的兩點位于某一個投影面的同一條投射線上，則它們在該投影面上的投影必重合，這兩點稱之為對該投影面的重影點。重影點存在著在投影重合的投影面上的投影有一個可見，而另一個不可見的問題。如圖1-9(a)，A、B兩點的水平投影重合，沿水平投影方向從上往下看，先看見A點，B點被A點遮住，則B點不可見。在

17、投影圖上若需判斷可見性，應(yīng)將不可見點的投影加圓括號以示區(qū)別，如圖1-9(b)。需要指出的是空間兩點只能有一個投影面的投影重合，重影點的可見性判斷方法如下：（1）若兩點的水平投影重合，稱為對H面的重影點，且Z坐標值大者可見；（2）若兩點的正面投影重合，稱為對V面的重影點，且Y坐標值大者可見；（3）若兩點的側(cè)面投影重合，稱為對W面的重影點，且X坐標值大者可見。上述三原則，也可概括為：前遮后，上遮下，左遮右。(a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-9 重影點及可見性1.3 直線的投影空間任意兩點確定一條直線，因此，直線的投影(line projection)就是直線上兩點的同面投影（同一投影面上的投影）

18、的連線。需要注意的是直線的投影線（空間直線在某個投影面上的投影）規(guī)定用粗實線畫。如圖1-10所示，直線的投影一般仍為直線（如圖中直線CE），但在特殊情況下，當直線垂直于投影面時，其投影積聚為一點（如圖中直線AB）。此外，點相對于直線具有從屬性，如圖中D點屬于CE，則同面投影中，d屬于ce。圖1-10 直線的投影1.3.1 各種位置的直線在三面投影體系中，直線相對于投影面的位置有三種：投影面的平行線、投影面的垂直線、一般位置直線。前兩種又統(tǒng)稱為特殊位置直線。另外，根據(jù)國家標準規(guī)定：空間直線與投影面的夾角稱為直線對投影面的傾角，且直線與H、V、W三個投影面的夾角依次用a、b、g 表示。1. 投影面

19、的平行線(parallel line of projection plane)平行于某一投影面而傾斜于另兩投影面的直線，稱為投影面的平行線。根據(jù)直線所平行的投影面的不同，又可分為：水平線（horizontal line）平行于H面，傾斜于V、W面的直線；正平線（frontal line）平行于V面，傾斜于H、W面的直線；側(cè)平線（profile line）平行于W面，傾斜于V、H面的直線。表1-1列出了這三種平行線的立體圖、投影圖及其投影特性。表1-1 投影面的平行線從表1-1可以概括出投影面平行線的投影特性：（1）直線平行于某投影面，則直線在該投影面的投影反映實長，且該投影與投影軸的夾角，分別

20、反映直線對另外兩投影面的真實傾角。（2）直線另兩個投影面的投影平行于相應(yīng)的投影軸，且不反映實長，比實長短。2. 投影面的垂直線(vertical line of projection plane)垂直于某一投影面（必與另外兩個投影面平行）的直線，稱為投影面的垂直線。根據(jù)直線所垂直的投影面的不同，又可分為： 鉛垂線（vertical line）垂直于H面，平行于V、W面的直線；正垂線（horizontal-profile line）垂直于V面，平行于H、W面的直線；側(cè)垂線（frontal-profile line）垂直于W面，平行于V、H面的直線。表1-2列出了這三種垂直線的立體圖、投影圖及其投

21、影特性。表1-2 投影面的垂直線從表1-2可以概括出投影面垂直線的投影特性：（1）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚為一點。（2）直線另兩個投影面的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，并反映實長。3. 一般位置直線(general position line)傾斜于各投影面的直線，稱為一般位置直線。如圖1-11(a)所示，空間直線AB對三個投影面都是傾斜關(guān)系，則直線的三面投影分別為ab=ABcosa, a¢b¢=ABcosb, a²b²=ABcosg，均小于實長AB。圖1-11(b)為直線AB的三面投影圖，其投影特性是：（1）三面投影都傾斜于投影軸，且投影長度小于空

22、間直線的實長。（2）投影與投影軸的夾角，不反映空間直線對投影面的傾角。(a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-11 一般位置直線的投影1.3.2 兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置關(guān)系有三種：平行（parallel）、相交（intersection）和交叉（cross）。其中平行和相交屬于共面直線，交叉是異面直線。1. 平行兩直線若空間兩直線相互平行，則它們的同面投影必相互平行。如圖1-12(a)，空間兩直線ABCD，因為兩投射平面ABbaCDdc，所以在H面上的投影abcd。同理，可以得到a¢b¢c¢d¢，a²b²c²d&#

23、178;，如圖1-12(b)。反之，若兩空間直線的同面投影是相互平行的，則該兩直線在空間是平行關(guān)系。(a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-12 平行兩直線2. 相交兩直線若空間兩直線相交，則它們的同面投影必相交，且其交點符合點的投影規(guī)律。如圖1-13(a)，空間兩直線AB、CD相交于點K，因交點K在兩直線上，故其投影也應(yīng)在兩直線的同面投影線上。因此，空間相交兩直線的同面投影一定相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律，如圖1-13(b)。反之，若空間兩直線的同面投影相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律，則該兩直線在空間必定是相交關(guān)系。(a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-13 相交兩直線3. 交叉兩直線空

24、間兩直線既不平行又不相交的是交叉直線。交叉兩直線的同面投影可能相交，如圖1-14(a)，但投影交點是兩直線對該投影面的一對重影點，圖中ab與cd的交點，分別對應(yīng)AB上的點和CD上的點，按重影點可見性的判別規(guī)定，對于不可見點的投影加括號表示。交叉兩直線同面投影的交點不符合點的投影規(guī)律，如圖1-14(b)。(a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-14 交叉兩直線【例】已知如圖1-15(a)所示兩側(cè)平線，判斷其是否平行。分析：兩直線處于一般位置時，只要其任意兩面投影相互平行，即可判斷空間兩直線相互平行。但是，當兩直線同時平行于某一投影面時，則要檢驗兩直線在所平行的投影面上的投影是否平行，才可判斷空間兩直

25、線是否平行。如圖1-15(b)，雖然abcd、a¢b¢c¢d¢，但是，a²b²不平行于c²d²，因此，空間直線AB與CD不平行，是交叉兩直線。(a) 已知條件 (b) 作圖過程與結(jié)果圖1-15 判斷兩直線是否平行【例】已知如圖1-16(a)所示一般位置直線AB與側(cè)平線CD，判斷其是否相交。(a) 已知條件 (b) 作圖過程與結(jié)果圖1-16 判斷兩直線是否相交分析：對于兩條一般位置直線，通常只要其任意兩面投影分別相交，且交點符合點的投影規(guī)律，則可判斷空間兩直線相交。但是，當兩直線中有投影面平行線時，則要檢驗它所平行的

26、那個投影面上的投影，才能判斷是否相交。如圖1-16(b)，a²b²與c²d²雖然相交，但該交點與兩直線正面投影交點的連線與Z軸不垂直，即：交點不符合點的投影規(guī)律，因此，兩直線不相交，為交叉兩直線。1.4 平面的投影1.4.1 平面的表示法在投影圖上表示空間平面可以用下列幾種方法來確定：（1）不在同一直線的三點，如圖1-17(a)所示；（2）一直線和該直線外一點，如圖1-17(b)所示；（3）兩條平行直線，如圖1-17(c)所示；（4）兩條相交直線，如圖1-17(d)所示；（5）任意的平面圖形（如三角形、四邊形、圓等），如圖1-17(e)所示。以上幾種確定

27、平面的方法是可以相互轉(zhuǎn)化的，且以平面圖形來表示最為常見。(a) (b) (c) (d) (e)圖1-17 用幾何元素表示平面1.4.2 各種位置平面及其投影特性在三面投影體系中，平面相對于投影面有三種不同的位置：投影面垂直面垂直于某一個投影面而與另外兩個投影面傾斜的平面；投影面平行面平行于某一個投影面的平面；一般位置平面與三個投影面都傾斜的平面。通常我們將前兩種統(tǒng)稱為特殊位置平面。平面對H、V、W三投影面的傾角，依次用a、b、g 表示。平面的投影(planes projection)一般仍為平面，特殊情況下積聚為一直線。畫平面圖形的投影時，一般先畫出組成平面圖形各頂點的投影，然后將它們的同面投

28、影相連即可。下面分別介紹各種位置平面的投影及其特性。1. 投影面的垂直面(Vertical plane of projection plane)在投影面的垂直面中，只垂直于V面的平面，稱為正垂面；只垂直于H面的平面，稱為鉛垂面；只垂直于W面的平面，稱為側(cè)垂面。表1-3列出了三種垂直面的立體圖、投影圖及其投影特性。由表1-3可以概括出投影面垂直面的投影特性：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影積聚為一條直線，該直線與投影軸的夾角反映該平面對另外兩個投影面的真實傾角；（2）另外兩個投影面上的投影，均為小于空間平面圖形的類似形。2. 投影面的平行面(Parallel plane of project

29、ion plane)在投影面的平行面中，平行于H面的平面，稱為水平面；平行于V面的平面，稱為正平面；平行于W面的平面，稱為側(cè)平面。表1-3 投影面垂直面平面的位置立 體 圖投 影 圖投 影 特 性鉛垂面 1. 水平投影積聚成一直線，并反映真實傾角b、g 。 2. 正面投影、側(cè)面投影不反映實形，為空間平面的類似形。正垂面 1. 正面投影積聚成一直線，并反映真實傾角a、g 。 2. 水平投影、側(cè)面投影不反映實形，為空間平面的類似形。側(cè)垂面 1. 側(cè)面投影積聚成一直線，并反映真實傾角a、b 。 2. 水平投影、正面投影不反映實形，為空間平面的類似形。表1-4列出了三種平行面的立體圖、投影圖及其投影特

30、性。由表1-4可以概括出投影面平行面的投影特性：（1）在所平行的投影面上的投影，反映實形；（2）另兩個投影面上的投影，均積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線。表1-4 投影面平行面3. 一般位置平面(general position plane)一般位置平面與三個投影面都是傾斜關(guān)系，如圖1-18所示。(a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-18 一般位置平面一般位置平面的投影特性是：三面投影均是小于空間平面圖形的類似形，不反映實形，也不反映空間平面對投影面的傾角真實大小。4. 特殊位置平面的跡線(vestige line)表示法當平面垂直于投影面，而在投影圖上只需要表明其所在位置時，則可以用平面與該投影面

31、的交線跡線來表示。用跡線表示垂直平面時，是用粗實線畫出平面有積聚性的跡線，并注上相應(yīng)的標記即可，如圖1-19所示。平面P與H面的交線稱為水平跡線，用PH標記；平面Q與V面的交線稱為正面跡線，用QV標記。(a) 鉛垂面的跡線表示 (b) 水平面的跡線表示圖1-19 用跡線表示特殊位置平面1.4.3 平面上的點和直線點和直線在平面上的幾何條件是：（1）平面上的點，必定在該平面的某條直線上。由此可見，在平面內(nèi)取點，必須先在平面內(nèi)取直線，然后在此直線上取點。（2）平面上的直線，必定通過平面上的兩點；或者通過平面內(nèi)一點，且平行于平面內(nèi)任一條直線。圖1-20給出了上述幾何條件的立體圖，圖1-21是其投影圖

32、。(a) 點在平面ABC內(nèi)的條件 (b) 直線在平面ABC內(nèi)的條件圖1-20 平面上的點和直線立體圖 (a) 點在平面ABC內(nèi) (b) 直線在平面ABC內(nèi)圖1-21 一般位置平面內(nèi)取點、線投影圖特殊位置平面由于其所垂直的投影面上的投影積聚成直線，因此，這類平面上的點和直線，在該平面所垂直的投影面上的投影，位于平面有積聚性的投影或跡線上，如圖1-22。(a) 在三角形平面內(nèi)取點線 (b) 在跡線面內(nèi)取點線圖1-22 特殊位置平面內(nèi)取點、線投影圖【例】如圖1-23(a)，已知平面ABC以及點D的兩面投影，求：（1）判斷點D是否在平面上；（2）在平面上作一條正平線EF，使EF到V面距離為20mm。(

33、a) 已知條件 (b) 判斷點D是否在平面上 (c) 求正平線EF圖1-23 判斷點是否在平面上及平面上取線解分析與作圖（1）D點若在ABC平面內(nèi)的某條直線上，則點D在平面上，否則就不在平面上。判斷方法如圖1-23(b)所示：連接ad并延長交bc于點m，在b¢c¢上作出m對應(yīng)的正面投影點m¢，連接a¢m¢，則AM必在平面ABC上，但d¢不在a¢m¢上，故點D不在平面上。（2）因為EF是正平線，根據(jù)正平線的投影特性，EF的水平投影應(yīng)平行于OX軸，且到OX軸的距離為EF到V面的距離。因此，先從水平投影開始作圖。如圖1-

34、23(c)，作ef平行于OX軸，且到OX軸的距離為20mm。ef交ab、bc于點1、2，分別在a¢b¢、b¢c¢上作出其對應(yīng)點1¢、2¢，連接1¢、2¢即得e¢f¢。ef、e¢f¢即為直線EF的兩面投影?！纠?-5】 如圖1-24(a)，已知平面四邊形ABCD的正面投影和AB、BC的水平投影，試完成該四邊形的水平投影。解分析與作圖四邊形的四個頂點在同一平面內(nèi)，已知A、B、C三點的投影。因此，本題實際上是已知平面ABC上一點D的正面投影d¢，求其水平投影d。如圖1-2

35、4(b)，可以先連接ac和a¢c¢，再連接b¢d¢交a¢c¢于e¢，在ac上作出e¢的對應(yīng)點e，連接be并在其延長線上作出d¢的對應(yīng)點d。最后，連接ad和cd即完成四邊形的水平投影。 (a) 已知條件 (b) 作圖過程與結(jié)果圖1-24 完成四邊形的水平投影1.5 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位置分為平行和相交兩種。其中直線位于平面上或兩平面共面是平行的特例，而垂直是相交的特殊情況。下面只討論直線與平面、平面與平面的相對位置中有特殊位置直線或者特殊位置平面的情況。1.5.1

36、平行1直線與特殊位置平面平行直線與平面平行的幾何條件是：空間直線平行于平面上的任意一條直線，則該直線與平面平行。這樣，將直線與平面平行的問題，轉(zhuǎn)化成直線與直線平行的問題。如圖1-25，當平面為投影面的垂直面時，只要平面有積聚性的投影和直線的同面投影線平行，或直線為該投影面的垂線，則直線與平面也必定平行。 (a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-25 直線與特殊位置平面平行2兩特殊位置平面平行兩平面平行的幾何條件是：一平面內(nèi)的兩相交直線分別平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個平面相互平行。如圖1-26，當兩平面同為某一投影面的垂直面時，只要它們所垂直的投影面上的投影平行，則兩平面必定平行。 (a)

37、 立體圖 (b) 投影圖圖1-26 兩特殊位置平面平行 相交直線與平面、平面與平面在空間不平行必相交。其中直線與平面相交有一個交點，該點是直線與平面的共有點；兩平面相交有一條交線，該交線是兩平面的共有線。因為兩點確定一直線，所以求交線時可以轉(zhuǎn)化為求交線上的兩點。1直線和特殊位置平面相交如圖1-27，由于平面DEF的水平投影有積聚性，因此，交點K的水平投影k必在ab上，這樣直接確定直線AB和DEF的交點K的水平投影，然后根據(jù)K點在AB直線上，作出K點的正面投影k¢。 (a) 立體圖 (b) 投影圖圖1-27 直線和鉛垂面相交直線與平面圖形重影的部分有可見和不可見之分，判別可見性的方法通

38、常利用交叉直線的重影點。由圖可見，交點K把直線AB分成兩部分，在投影圖上直線未被平面遮住部分的投影為可見，畫成粗實線；被平面遮住部分的投影為不可見，畫成虛線；所以交點是可見與不可見的分界點。如圖1-27(b)，取交叉直線DE、AB對V面的重影點、，由1¢、2¢作出1、2，由于點的Y坐標較大，故1¢可見，2¢不可見，則k¢2¢也為不可見，用虛線畫出，k¢為a¢b¢的可見性分界點，k¢b¢段可見，用粗實線畫出。也可以用“上遮下、前擋后”的直觀法進行判別：由水平投影可以看出，直線AB的KB段

39、，位于平面DEF的前面，因而KB段正面投影可見，用粗實線畫出；可類似判斷出KA段正面投影不可見。2一般位置平面和特殊位置平面相交求兩平面交線的問題，可以看作是求兩個共有點的問題。如圖1-28(a)，欲求一般位置平面ABC與鉛垂面DEF的交線，只要求出屬于交線的任意兩點（如M、N）就可以了。顯然，M、N是AC、BC兩邊與鉛垂面DEF的交點，利用一般線與特殊面交點的求法（如圖1-27）即可求得。交線求出后，需要對兩平面重影部分判斷可見性。方法同線、面相交時的可見性判別，通常運用重影點來判斷，但要注意，兩平面的交線總是可見的，應(yīng)用粗線畫出，其他如圖1-28(b)所示。 (a) 立體圖 (b) 投影圖

40、圖1-28 一般位置平面與鉛垂面相交1.6 換 面 法空間直線或平面在投影體系中處于特殊位置時，投影反映實長、實形及對投影面的傾角，但當它們是一般位置時，就沒有這些投影特性。這時，如能通過變換投影面的方法，把它們由一般位置變換成為特殊位置,就可以使這些問題得以解決，換面法就是常用的一種方法。1.6.1 基本概念如圖1-29，在V/H兩面體系中，AB為一般位置直線，其投影ab、a¢b¢均不反映實長與傾角?，F(xiàn)用平行于AB且垂直于H面的V1面來替換V面，則使原V/H投影體系中的一般位置直線，變換為新V1/H投影體系中的V1面的平行線，在V1面上的投影便反映了AB直線的實長及其與水

41、平面的夾角。這種用V1面替換V面的方法，稱為換面法。如圖1-29，有下列一些基本概念：圖1-29 換面法的投影關(guān)系1）原投影面體系V/H體系；2）原軸OX軸；3）新投影面體系V1/H體系；4）新軸O1X1軸；5）被替換投影面V面；6）保留投影面H面；7）新投影面V1面；8）被更換投影V面投影a¢b¢；9）保留投影H面投影ab；10）新投影V1面投影a1¢b1¢。顯然，新投影面是不能任意選取的，必須滿足下列兩個條件：（1）新投影面必須使空間幾何元素處于有利于解題的位置。（2）新投影面必須垂直于一個不變投影面，以構(gòu)成新的投影面體系。1.6.2 點的一次換面點

42、是最基本的幾何元素，因此，點的一次換面是一切換面法的基礎(chǔ)。由于換面法是在兩投影面體系基礎(chǔ)上進行的，一次只更換一個投影面，所以有兩種換法：更換V面或更換H面。下面僅討論更換V面，更換H面的情形類似于更換V面。如圖1-30(a)，在V/H體系中，有一空間點A，其水平投影為a，正面投影為a¢。取一鉛垂面V1替換原正投影面V，形成一個新的投影體系V1/H。過A點作V1面垂線，得到A點在V1面上的正投影a1¢。則a¢是被替換投影，a是保留投影，a1¢是新投影。(a) 原理 (b) 作圖圖1-30 點的一次換面（更換V面）從圖1-30(a)可知，a¢aX=Aa=a1¢aX1。當V1面沿圖示方向旋轉(zhuǎn)90°后，a與a1¢的連線垂直于O1X1。由此可以得到點的換面規(guī)律：（1）新投影和保留投影的連線垂直于新軸，即aa1¢O1X1；（2）新投影到新軸的距離等于被替換投影到原軸的距離，即a1¢aX1=a¢aX。根據(jù)上述換面規(guī)律，點的一次換面過程如圖1-30(b)，作圖步驟如下：（1）根據(jù)解題需要，在適當位置畫出新投影軸O1X1；（2）自保留投影a作O1X1的垂線（即新的投影連線），交O1X1于aX1；（3）在垂線延長線上量取a1¢