人教版八年級下冊--第十七章-勾股定理單元綜合題

1、第十七章 勾股定理一、選擇題 1.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長，寬，高分別為100 cm,15 cm和10 cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻想到B點去吃可口的食物，則它所走的最短路線長度為()A 115 cmB 125 cmC 135 cmD 145 cm2.如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略 不計)的高為12 cm，底面周長為10 cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3 cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是()A 13 cmB 2cmCcmD 2cm3.如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5 m處

2、撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12 m處，旗桿折斷之前的高度是()A 5 mB 12 mC 13 mD 18 m4.2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積為1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，那么(ab)2的值為()A 13B 19C 25D 1695.從電桿上離地面5 m的C處向地面拉一條長為7 m的鋼纜，則地面鋼纜A到電線桿底部B的距離是()A 24B 12CD 26.如圖，在水塔O的東北方向32 m處有一抽水站A，在水塔的東南

3、方向24 m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管的長為()A 45 mB 40 mC 50 mD 56 m7.如圖所示，有一個由傳感器A控制的燈，要裝在門上方離地高4.5 m的墻上，任何東西只要移至該燈5 m及5 m以內(nèi)時，燈就會自動發(fā)光請問一個身高1.5 m的學(xué)生要走到離墻多遠(yuǎn)的地方燈剛好發(fā)光？()A 4米B 3米C 5米D 7米8.在ABC中，三邊長滿足b2a2c2，則互余的一對角是()A A與BB B與CC A與CD 以上都不正確9.如圖，長方體的長為15寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是()A 20B

4、25C 30D 3210.下列選項中，不能用來證明勾股定理的是()ABCD二、填空題 11.如圖，長為8 cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升3 cm到D，則橡皮筋被拉長了_ cm.12.一直角三角形兩直角邊長的比是34，斜邊長是20，那么這個直角三角形的面積是_13.如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間空出的部分是一個小正方形，這樣就組成了一個“趙爽弦圖”，如果大正方形面積為169，且直角三角形中較短的直角邊的長為5，則中間小正方形面積(陰影部分)為_14.甲船以每小時16海里的速度從港口A出發(fā)向北偏東50°的方向航行，乙船以每小時12海里的速

5、度同時從港口A出發(fā)向南偏東方向航行，離開港口2小時后兩船相距40海里，則乙船向南偏東_方向航行15.如圖P(3,4)是直角坐標(biāo)系中一點，則P到原點的距離是_16.如圖，平安路與幸福路是兩條平行的道路，且與新興大街垂直，老街與小米胡同垂直，書店位于老街與小米胡同的交口處，如果小強(qiáng)同學(xué)站在平安路與新興大街的交叉路口，準(zhǔn)備去書店，按圖中的街道行走，最近的路程為_ m.17.在我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，適與岸齊問水深、葭長各幾何？”這個數(shù)學(xué)問題的意思是說：“有一個水池，水面是一個邊長為1丈(1丈10尺)的正方形，在水池正中央長有一

6、根蘆葦，蘆葦露出水面 1 尺如果把這根蘆葦拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？”設(shè)這個水池的深度是x尺，根據(jù)題意，可列方程為_18.如圖是單位長度為1的網(wǎng)格圖，A、B、C、D是4個網(wǎng)格線的交點，以其中兩點為端點的線段中，任意取3條，能夠組成_個直角三角形19.在我國古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.3世紀(jì)，漢代趙爽在注解周髀算經(jīng)時，通過對圖形的切割、拼接、巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方在ABC中，C90°，斜邊AB13，AC12，則BC的長度為_20.九章

7、算術(shù)中記載：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”譯文：有一根竹子原高一丈(1丈10尺)，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？我們用線段OA和線段AB來表示竹子，其中線段AB表示竹子折斷部分，用線段OB表示竹梢觸地處離竹根的距離，則竹子折斷處離地面的高度OA是_尺三、解答題 21.如圖，在ABC中，ACB90°，BC15，AC20，CD是高(1)求AB的長；(2)求ABC的面積；(3)求CD的長22.閱讀下列解題過程已知a、b、c為ABC為三邊，且滿足a2c2b2c2a4b4，試判斷ABC的形狀解：a2c2b2c2a4b4c2(a2b2)(a2

8、b2)(a2b2)c2a2b2ABC是直角三角形回答下列問題：(1)上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的序號_(2)錯誤原因為_(3)本題正確結(jié)論是什么，并說明理由23.如圖所示的一塊地，AD9 m，CD12 m，ADC90°，AB39 m，BC36 m，求這塊地的面積24.如圖，在RtABC中，BAC90°，AD是中線，AE是高，AC6，AD5，求AE的長25.如圖，在四邊形ABCD中，BADDBC90°，若AD4 cm，AB3 cm，BC12 cm，求CD的長26.在下列數(shù)軸上作出長為的線段，請保留作圖痕跡，不寫作法27.如圖，在四邊形ABCD中，

9、D90°，AD3，DC4，AB12，BC13.求四邊形ABCD的面積28.已知a、b、c滿足|a|(c4)20.(1)求a、b、c的值；(2)判斷以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么形狀？并求出三角形的面積；若不能，請說明理由答案解析1.【答案】B【解析】展開圖為則AC100 cm，BC15×310×375 cm，在RtABC中，AB125 cm.所以螞蟻所走的最短路線長度為125 cm.故選B.2.【答案】A【解析】如圖：高為12 cm，底面周長為10 cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3 cm的點B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上

10、沿3 cm與飯粒相對的點A處，AD5 cm，BD123AE12 cm，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A，連接AB，則AB即為最短距離，AB13(cm)故選A.3.【答案】D【解析】旗桿折斷后，落地點與旗桿底部的距離為12 m，旗桿離地面5 m折斷，且旗桿與地面是垂直的，所以折斷的旗桿與地面形成了一個直角三角形根據(jù)勾股定理，折斷的旗桿為13 m，所以旗桿折斷之前高度為13 m5 m18 m.故選D.4.【答案】C【解析】根據(jù)題意，得c2a2b213,4×ab13112，即2ab12，則(ab)2a22abb2131225，故選C.5.【答案】D【解析】由題意可得，在RtABC中，

11、AB2(m)，故選D.6.【答案】B【解析】已知東北方向和東南方向剛好是一直角，AOB90°，又OA32 m，OB24 m，AB40 m.故選B.7.【答案】A【解析】由題意可知，BECD1.5 m，AEABBE4.51.53 m，AC5 m，由勾股定理，得CE4 m，故離門4米遠(yuǎn)的地方，燈剛好打開，故選A.8.【答案】C【解析】ABC的三邊長滿足b2a2c2，b2a2c2，ABC是直角三角形且B90°，AC90°.故選C.9.【答案】B【解析】只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第1個圖：長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距

12、離是5，BDCDBC10515，AD20，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB25；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第2個圖：長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，BDCDBC20525，AD10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB5；只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如第3個圖：長方體的寬為10，高為20，點B離點C的距離是5，ACCDAD201030，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB5；2555，螞蟻爬行的最短距離是25，故選B.10.【答案】D【解析】A，B，C都可以利用圖形面積得出a，

13、b，c的關(guān)系，即可證明勾股定理；故A，B，C選項不符合題意；D不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項正確故選D.11.【答案】2【解析】RtACD中，ACAB4 cm，CD3 cm；根據(jù)勾股定理，得AD5 cm；ADBDAB2ADAB1082 cm；故橡皮筋被拉長了2 cm.12.【答案】96【解析】根據(jù)題意設(shè)兩直角邊分別為3k,4k(k0)，由斜邊為20，利用勾股定理，得9k216k2400，即k216，解得k4，則兩直角邊分別為12和16，所以這個直角三角形的面積×12×1696，13.【答案】49【解析】設(shè)直角三角形中較長的直角邊的長為a，由題意得a252169解得a

14、12，則中間小正方形面積(陰影部分)為(125)249.14.【答案】40°【解析】由題意可得：AC16×232(海里)，AB12×224(海里)，AC2AB23222421 600，BC21 600，故AC2AB2BC2，BAC是直角三角形，BAC90°，180°50°90°40°，乙船航行的方向是南偏東40°(或東偏南50°)15.【答案】5【解析】P點坐標(biāo)為(3,4)，OP5.16.【答案】500【解析】如圖所示，BCAD，DAEACB，又BCAB，DEAC，ABCDEA90°，

15、又ABDE400 m，ABCDEA，EABC300 m，在RtABC中，AC500 m，CEACAE200 m，從B到E有兩種走法：BAAE700 m；BCCE500 m，最近的路程是500 m.17.【答案】x252(x1)2【解析】設(shè)水池的深度為x尺，由題意得：x252(x1)2，解得x12，則x113，答：水深12尺，蘆葦長13尺18.【答案】3【解析】由勾股定理得AD2BD2123210，AC212225，AB2224220，BC2CD225，AD2BD2AB2，AC2AB2BC2，AC2AB2CD2，能夠組成3個直角三角形19.【答案】5【解析】依題意得：BC5.20.【答案】4.5

16、5【解析】設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，根據(jù)題意可得x232(10x)2，解得x4.55，答：折斷處離地面的高度OA是4.55尺21.【答案】解(1)在ABC中，ACB90°，BC15，AC20，AB2AC2BC2，解得AB25.答：AB的長是25；(2)AC·BC×20×15150.答：ABC的面積是150；(3)CD是邊AB上的高，AC·BCAB·CD，解得CD12.答：CD的長是12.【解析】(1)根據(jù)勾股定理可求得AB的長；(2)根據(jù)三角形的面積公式計算即可求解；(3)根據(jù)三角形的面積相等即可求得CD的長22.【答案】解(1

17、)；(2)除式可能為零；(3)a2c2b2c2a4b4，c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)，a2b20或c2a2b2，當(dāng)a2b20時，ab；當(dāng)c2a2b2時，C90°，ABC是等腰三角形或直角三角形【解析】(1)(2)等式兩邊都除以a2b2，而a2b2的值可能為零，由等式的基本性質(zhì)，等式兩邊都乘以或除以同一個不為0的整式，等式仍然成立(3)根據(jù)等式的基本性質(zhì)和勾股定理，分情況加以討論23.【答案】解連接AC，則在RtADC中，AC2CD2AD212292225，AC15，在ABC中，AB21521，AC2BC21523621521，AB2AC2BC2，ACB90°，S

18、ABCSACDAC·BCAD·CD×15×36×12×927054216.答：這塊地的面積是216平方米【解析】連接AC，運用勾股定理逆定理可證ACD，ABC為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差24.【答案】解如圖所示：BAC90°，AD是中線，BC2AD10，在RtABC中，由勾股定理，得AB8，AE是高，AB·ACBC·AE，AE4.8.【解析】25.【答案】解BADDBC90°，ADB、BDC均是直角三角形，由題意得AD4 cm，AB3 cm，BC12