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文檔簡介

1、直線系、圓系方程1、過定點直線系方程在解題中的應(yīng)用過定點( x0 , y0 )的直線系方程:A(xx0 ) B( y y0 ) 0 ( A,B 不同時為0) .例 1 求過點 P( 1,4) 圓 ( x 2) 2( y3)21的切線的方程分析:本題是過定點直線方程問題,可用定點直線系法.解析:設(shè)所求直線的方程為A(x1)B( y4)0 (其中 A,B 不全為零),則整理有 AxByA4B0 ,直線 l 與圓相切,圓心C (2,3) 到直線 l 的距離等于半徑2 A3BA4B1,1,故A2B2整理,得 A(4 A 3B)0,即 A0(這時 B30),或AB 04故所求直線 l 的方程為 y4 或

2、 3x4 y 130 點評:對求過定點 ( x0 , y0 )的直線方程問題,常用過定點直線法, 即設(shè)直線方程為 :A( x x0 ) B( y y0 ) 0 ,注意的此方程表示的是過點P( x0, y0 ) 的所有直線(即直線系),應(yīng)用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制,在實際解答問題時可以避免分類討論,有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯解的現(xiàn)象練習:過點 P(1,4)作圓 (x 2) 2( y3) 21的切線 l ,求切線 l 的方程解:設(shè)所求直線l的方程為 A( x 1)B( y4)0(其中 A,B 不全為零),則整理有 AxByA4B 0,直線 l與圓相切,圓心C (2,3) 到

3、直線 l 的距離等于半徑 1,故 2 A3BA 4B1,A2B2整理,得 A(4 A 3B)0,即 A 0(這時 B0),或 A3 B04故所求直線 l 的方程為 y4 或 3x4 y130 2、過兩直線交點的直線系方程在解題中的應(yīng)用過直線 l : A1 xB1 yC10 ( A1, B1 不同時為0)與 m : A2 xB2 y C20( A2, B2 不同時為0)交點的直線系方程為: A1 x B1 yC1(A2 xB2 y C 2 )0 (R ,為參數(shù)) .例 2 求過直線: x2y1 0與直線:2xy10 的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.分析:本題是過兩直線交點的直線系問題,可

4、用過交點直線系求解.解析:設(shè)所求直線方程為:x2 y1(2 xy1) 0,當直線過原點時,則1=0,則=1,此時所求直線方程為:x2 y 0 ;當所求直線不過原點時,令x =0,解得 y =1 ,2令 y =0 ,解得 x =21 ,11由題意得,1=21 ,解得,213此時,所求直線方程為: 5x5y40.綜上所述,所求直線方程為:x2 y0或 5x 5 y 4 0 .3、求直線系方程過定點問題例 3 證明:直線 mxym10 ( m 是參數(shù)且 m R)過定點,并求出定點坐標.分析:本題是證明直線系過定點問題,可用恒等式法和特殊直線法.解析:(恒等式法)直線方程化為: ( x1)my10 ,

5、 m R,x101 ,1,解得, x 1 , yy0直線 mxy m10 ( m 是參數(shù)且 m R)過定點( 1,1) .(特殊直線法)取m =0, m =1 得, y 1, xy 2 0 ,聯(lián)立解得, x1 , y1,將( 1,1)代入 mxym 1 0 檢驗滿足方程,直線 mxy m10 ( m 是參數(shù)且 m R)過定點( 1,1) .點評:對證明直線系過定點問題,常用方法有恒等式法和特殊直線法,恒等式法就是將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式,利用參數(shù)屬于R,則恒等式個系數(shù)為0,列出關(guān)于 x, y 的方程組,通過解方程組,求出定點坐標;特殊直線法,去兩個特殊參數(shù)值,得到兩條特殊直線,通過接

6、著兩條特殊直線的交點坐標,并代入原直線系方程檢驗,即得定點 .一、常見的圓系方程有如下幾種:1、以 (a,b)為圓心的同心圓系方程:( xa) 2( y b) 22 (0)與圓 x2y 2 Dx Ey 同心的圓系方程為:x 2y2 Dx Ey 、過直線Ax By與圓x2y2x2y2 Dx Ey ( Ax2 Dx Ey 交點的圓系方程為: By )()3、過兩圓 C1 : x 2y 2 D1 xE1 yF1 0, C2 : x2y2 D2 x E2 y F2 交點的圓系方程為:x2y 2 D1 xE1 y F1 ( x2y2 D 2 x E2 y F2 ) 0( - ,此圓系不含C2 : x2y

7、 2 D2 xE2 yF2 )特別地,當注:為了時,上述方程為根軸方程兩圓相交時,表示公共弦方程;兩圓相切時,表示公切線方程避免利用上述圓 系方程時討論圓 C ,可等價轉(zhuǎn)化為過圓 C 和兩圓公 共弦所在直線交點的圓 系方21程 :x2y2D1 xE1 yF1( D1D2) x(E1E2) y( F1F2 )0二、圓系方程在解題中的應(yīng)用:1、利用圓系方程求圓的方程:例2222的交點,并且圓心在直線x- y-4=0 上的圓的方程。求經(jīng)過兩圓 x +y +6x-4=0和 x +y +6y-28=0例、 求經(jīng)過兩圓 x 2y2 3 x y 2和3x23y 2 2x y 交點和坐標原點的圓的方程解:方法

8、3:由題可設(shè)所求圓的方程為:( x 2y 2 3 x y 2)( 3x23y 2 2x y )( 0, 0)在所求的圓上,有 2 從而 故所求的圓的方程為:( x2y 23xy2)2(3x 23 y 22x y1) 0即7 x27 y 2 7x y 。練習:求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x4=0 和 x2+y 2+6y28=0 的交點 ,并且圓心在直線x y 4=0 上的圓的方程 .1 解: 構(gòu)造方程222228)=0x +y +6x 4+(x +y +6y即 (1+ )x2+(1+ )y2+6x+6 y (4+28 )=0此方程的曲線是過已知兩圓交點的圓,且圓心為 (33),1331當該圓心在直線

9、xy4=0 上時,即4 0,得7.1 1 所求圓方程為 x2+y2 x+7y 32=0練習求與圓 x 2y24x2y20 0切于 A且過 B的圓的方程.:( 1, 3),(2,0)解:過 A( 1,3)的圓的切線為 3x4y15 0。與已知圓構(gòu)造圓系x2y 24x2y 20(3x 4y15)0,代入 ( 2,0)得8 , 所以所求圓方程為77 x27 y 24x18y200.2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程:例 2(1):求過兩圓x2y25 和 ( x1)2( y1)216 的交點且面積最小的圓的方程。分析:本題若先聯(lián)立方程求交點,再設(shè)所求圓方程,尋求各變量關(guān)系,求半徑最值,雖然可行,但運

10、算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了避免討論,先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉(zhuǎn)化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。解:圓 x2y25 和 ( x1)2( y1)216 的公共弦方程為2x2 y110過直線 2x2 y110 與圓 x2y25 的交點的圓系方程為x2y 225(2 x2y11)0 ,即 x2y22 x 2y(1125)0依題意,欲使所求圓面積最小,只需圓半徑最小,則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑,圓心 (,) 必在公共弦所在直線2x2 y110 上。即22110,則114代回圓系方程得所求圓方程(x11)2( y11)279448例( 2) ;

11、求經(jīng)過直線 l :2 x y 4與圓: x2y2 2 x 4 y 1的交點且面積最小的圓的方程解:設(shè)圓的方程為:x2y 2 2x 4 y 1( 2 x y 4)即 x2y2 2(1)x (4) y ( 1 4)則 r 214(1) 2(4)24(1 4)5 (8 )24, 8 時, r 2 最小,從而圓的面積最小,故所求圓的方程為:4455當5x 25y 2 26 x 12 y 375練習:1求經(jīng)過圓 x22+8x-6 y+21=0 與直線 x- y+7=0 的兩個交點且過原點的圓的方程。(常數(shù)項為零)+y2求經(jīng)過圓x2+2+8 -6y+21=0 與直線-y+5=0 的兩個交點且圓心在x軸上的

12、圓的方程。(圓心的縱坐標為零)yxx3求經(jīng)過圓 x2+y2+8x-6 y+21=0 與直線 x- y+5=0 的兩個交點且面積最小的圓方程。(半徑最小或圓心在直線上)4求經(jīng)過圓x2+y2+8 -6y+21=0 與直線-+5=0 的兩個交點且與x軸相切的圓的方程;并求出切點坐標。(圓心到x軸xx y的距離等于半徑)3、利用圓系方程求參數(shù)的值:例 3:已知圓 x2y2x 6 y m 0 與直線 x 2 y 30 相交于 P,Q 兩點, O 為坐標原點,若 OPOQ ,求實數(shù)m的值。分析:此題最易想到設(shè)出P( x1 , y1), Q ( x2 , y2 ) ,由 OPOQ 得到 x1x2y1 y20

13、 ,利用設(shè)而不求的思想,聯(lián)立方程,由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于m的方程,最后驗證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系OP OQ ,不難得出 O在以 PQ為直徑的圓上。而P, Q剛好為直線與圓的交點,選取過直線與圓交點的圓系方程,可極大地簡化運算過程。解:過直線x2 y30 與圓 x2y2x6 y m 0的交點的圓系方程為:x2y2x 6 y m(x 2y 3)0 ,即x2y2(1) x2(3) ym30. 依題意, O在以 PQ 為直徑的圓上,則圓心(1,3) 顯然在直線 x 2 y 30 上,則12(3 )30 ,22解之可得1 又 O(0,0) 滿足方程,則m30,故 m 3。4、利用圓系方程判斷直

14、線與圓的位置關(guān)系:例 4 圓系 x2y 2 2 k x ( 4 k 10) y 10 k 20( k, k - )中,任意兩個圓的位置關(guān)系如何?解:圓系方程可化為: x 2y 2 10 y 20 k ( 2 x 4 y 10)與 k 無關(guān)2x4 y100x 2 y50y 210y即x2( y5) 25x 220 0易知圓心(, - )到直線x 2 y 5的距離恰等于圓x2( y5) 2 的半徑故直線x 2 y 5與圓x2( y 5) 2相切,即上述方程組有且只有一個解,從而圓系方程所表示的任意兩個圓有且只有一個公共點,故它們的關(guān)系是外切或內(nèi)切總結(jié):在求解過直線與圓,圓與圓交點的圓有關(guān)問題時,若

15、能巧妙使用圓系方程,往往能優(yōu)化解題過程,減少運算量,收到事半功倍的效果。練習:一、巧用過兩圓交點的曲線系方程求圓方程例 1 求過圓: x2 + y22x + 2 y +1=0 與圓: x2 + y2 + 4x2 y4 =0 的交點,圓心在直線:x2 y50 的圓的方程 .分析:本題是求過兩圓的交點的圓的方程問題,用過兩圓的交點的圓系方程求解.解析:設(shè)所求圓的方程為:2222x+y 2x+2 y+1+( x+y+4x 2 y 4)=0(1).整理得 (1) x2(1) y2(42) x 2(1) y14 =0,所以所求圓的圓心為(12,11) ,1由已知知所求圓的圓心在直線:x2 y50 上,所

16、以 12215 0,解得,=8 ,代入圓系方程整理得,1134 x18 y33所以,所求圓的方程為x2y20 .777點評:對過兩圓交點的圓的問題,用過兩圓的交點的圓系方程求解,可以優(yōu)化解題過程,注意過交點的圓系方程表示的圓包括哪一個圓不包括那一個圓,且參數(shù)不等于1這一條件,同學們應(yīng)很好掌握這一方法.二、巧用過兩圓交點的曲線系方程求直線方程例 2 已知圓 O: x2y22x4 y10 和圓外一點 A (3, 4),過點 A 作圓 O 的切線,切點分別為C、D,求過切點 C、D 的直線方程 .分析: 本題是求過切點的直線方程,由切線性質(zhì)知, 切點在以線段 AO 為直徑的圓上, 故直線 CD 是以

17、線段 AO 為直徑的圓與圓O 的公共弦所在的直線方程,故可用過兩圓交點的曲線系方程求此直線方程.解析:由切線性質(zhì)知,切點C、 D 在以線段 AO 為直徑的圓上,由題知,O(1,2 ) , |AO|=(31)2(42)2= 210 ,線段 AO 的中點為( 2, 1),以線段 AO 為直徑的圓的方程為,( x2)2( y1)210 ,即x2y24x 2 y5 0,圓 O 的方程與以 AO為直徑的圓的方程相減整理得:x +3 y +3=0 ,直線 CD 的方程為 x + 3 y +3=0.點評:對過圓切點的直線方程問題,可通過構(gòu)造圓,利用過兩圓交點的曲線系方程求直線方程,注意過兩圓交點的曲線系方程參數(shù)為何值時表示圓,參數(shù)為何值時表示直線 .例如:求與圓 x2+y2 4x 2y20=0 切于 A( 1,3),且過 B(2,0)的圓的方程。解:過 A( 1, 3)的圓的切線為: 3x+4y+15=0與已知圓構(gòu)造圓系:x2+y2 4x 2y 20+ (3x+4y+15)=0曲線過 B(2,0) = 87所求的方程為: 7x 2+7y24x+18y 20=0例 2 平面上有兩個圓,它們的方程分別是x2+y 2=

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