直線與圓、圓與圓的位置關系知識點和題型分類

1、直線與圓、圓與圓的位置關系知識點和題型分類講解歸納 ·知識整合 1 直線與圓的位置關系設直線 l ：Ax By C0(A2 B2 0)，圓： (x a)2 (y b)2 r2(r >0)，設 d 為圓心 ( a， b)到直線l 的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.方法位置關系幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切d r 0相離d>r<0探究 1.在求過一定點的圓的切線方程時，應注意什么？提示： 應首先判斷定點與圓的位置關系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線應有兩條；若點在圓內，則切線不存在2 圓與圓的位置關系設

2、圓 O1： (x a1)2( y b1) 2 r 12(r1>0) ，圓 O2： (x a2)2 (y b2)2 r 22(r 2>0).方法幾何法：圓心距 d 與 r 1， r 2代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的位置關系的關系解的情況相離d>r 1 r 2無解相外切d r1 r2一組實數(shù)解相交|r 1 r 2|<d<r 1 r 2兩組不同的實數(shù)解相內切d |r1 r2 |(r 1 r 2)一組實數(shù)解內含0 d<|r 1 r 2|(r1 r2)無解探究 2.若兩圓相交時，公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關系？提示： 兩圓的方程作差，消去二次項得到關于x，

3、y 的二元一次方程，就是公共弦所在的直線方程自測 ·牛刀小試 1直線 l ：mxy 1 m 0 與圓 C： x2 (y 1)25 的位置關系是()A 相交B 相切C相離D 不確定解析：選A法一： 圓心 (0,1)到直線的距離|m|<1< 5.dm2 1法二： 直線 mx y1 m 0 過定點 (1,1)，又因為點 (1,1)在圓 x2 (y 1)2 5 的內部，所以直線 l 與圓 C 是相交的2 (2012 山·東高考 )圓 (x 2)2 y2 4 與圓 ( x 2)2 (y1) 2 9 的位置關系為 ()A 內切B 相交C外切D 相離解析： 選 B 兩圓的圓心

4、距離為17，兩圓的半徑之差為 1，之和為 5，而 1<17<5 ，所以兩圓相交3已知 p：“ a 2”，q：“直線 x y 0 與圓 x2 (y a)2 1 相切”，則 p 是 q 的 ()A 充分不必要條件B 必要不充分條件C充要條件D 既不充分也不必要條件解析： 選 A a2，則直線 xy 0 與圓 x2 (y a)2 1相切，反之，則有a ± 2.因此 p 是 q 的充分不必要條件4已知圓 x2 y2 4 與圓 x2 y2 6x 6y 14 0 關于直線 l 對稱，則直線 l 的方程是()A x 2y 1 0B 2x y 10Cx y 3 0D x y 3033解析

5、：選 D法一： 圓心 O(0,0)，C(3，3) 的中點 P 2，2 在直線 l 上，故可排除 A 、B、 C.法二： 兩圓方程相減得， 6x 6y 18 0，即 x y 3 0.5 (2012 ·慶高考重)設 A， B 為直線 y x 與圓 x2 y2 1 的兩個交點，則 |AB| ()A 1B. 2C. 3D 2解析：選D因為直線 y x 過圓 x2y21 的圓心(0,0)，所以所得弦長|AB| 2.直線與圓、圓與圓的位置關系例 1(1)(2012 安·徽高考 )若直線 x y 10 與圓 (x a)2 y2 2 有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是 ()A3， 1B 1,3

6、C 3,1D (， 31 ， )(2)(2012 江·蘇高考 )在平面直角坐標系xOy 中，圓 C 的方程為 x2 y2 8x 15 0，若直線 y kx 2 上至少存在一點，使得以該點為圓心，1 為半徑的圓與圓 C 有公共點，則k 的最大值是 _自主解答 (1) 因為直線 x y1 0與圓 ( x a)2 y22 有公共點， 所以圓心到直線的距離 d |a 0 1| r 2，可得 |a 1| 2，即 a 3,1 2(2)圓 C 方程可化為 (x4)2 y2 1，圓心坐標為(4,0)，半徑為 1，由題意，直線y kx 2 上至少存在一點 (x0，kx0 2)，以該點為圓心， 1 為半

7、徑的圓與圓 C 有公共點，因為兩個圓有公共點，故x 4 2 kx 2 2 2，整理得 (k2 1)x2 (8 4k)x 16 0，此不等式有解的條件是 (84k) 2 64(k2 1) 0，解之得0 k 4，故最大值為433.4答案 (1)C (2)3判斷直線與圓、圓與圓的位置關系的常用方法(1) 判斷直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法能用幾何法，盡量不用代數(shù)法(2)判斷兩圓的位置關系，可根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對值之間的關系求解1直線 l ：y 1 k(x 1)和圓 x2 y2 2y 3

8、 0 的位置關系是 _解析： 將 x2 y2 2y 30 化為 x2 (y 1)2 4.由于直線 l 過定點 (1,1)，且由于 12 (1 1)2 1<4，即直線過圓內一點，從而直線l 與圓相交答案： 相交2設圓 C 與圓 x2 (y 3)2 1 外切，與直線y 0 相切，則 C 的圓心軌跡為 ()A 拋物線B 雙曲線C橢圓D 圓解析：選 A設圓心 C(x，y)，則題意得x 0 2 y 3 2 y 1(y>0) ，化簡得 x2 8y8.有關圓的弦長問題例 2(1)(2012北·京高考 )直線 y x 被圓 x2 (y 2)2 4 截得的弦長為 _(2)(2013濟

9、83;南模擬 )已知圓 C 過點 (1,0)，且圓心在 x 軸的正半軸上，直線 l ：y x 1 被圓 C 所截得的弦長為2 2，則過圓心且與直線 l 垂直的直線的方程為 _自主解答 (1) 法一： 幾何法：圓心到直線的距離為d |0 2| 2，圓的半徑 r 2，2所以弦長為l 2×r 2 d2 24 2 22.法二： 代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程y x，消去 y 可得 x2 2x 0，所以直線和圓的兩個交點坐標分別為(2,2) ，x2 y 2 2 4，(0,0) ，弦長為 2 2 0 2 2 2.(2)由題意，設所求的直線方程為|a 1|x y m 0，設圓心坐標為 (a,0)，則由

10、題意知22 2 (a 1)2，解得 a 3 或 a 1，又因為圓心在x 軸的正半軸上，所以 a 3，故圓心坐標為 (3,0)因為圓心 (3,0) 在所求的直線上，所以有3 0 m 0，即 m 3，故所求的直線方程為 x y3 0.答案 (1)2 2 (2) x y 3 0求圓的弦長的常用方法l(1)幾何法：設圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則 2 2r 2 d2；2 代數(shù)方法：運用韋達定理及弦長公式：|AB|1k 2 ·|x1 x2|(1 k2 )( x1x2 ) 24x1x2 .3若直線 x y2 被圓 (x a)2 y2 4 所截得的弦長為2 2，則實數(shù) a 的值為 ()A1

11、或 3B1或 3C2或 6D0或4解析： 選 D 圓心 (a,0)到直線 x y 2 的距離 d|a 2|，則 (2)2 |a 2| 2 22，22所以 a 0 或 a 4.4已知圓 C 的圓心與拋物線y2 4x 的焦點關于直線y x 對稱，直線 4x 3y 2 0 與圓 C 相交于 A，B 兩點，且 |AB| 6，則圓 C 的方程為 _解析： 設所求圓的半徑是R，依題意得，拋物線y2 4x 的焦點坐標是(1,0) ，則圓C 的圓心坐標是 (0,1)，圓心到直線4x 3y 20 的距離 d |4× 0 3× 12| 1，則 R2d2 |AB |42 3 222，因此圓C 的

12、方程是 x2 (y 1)2 10.答案： x2(y1)2 10圓的切線問題例 3 已知圓 C：x2 y22x 4y 30.(1)若不過原點的直線 l 與圓 C 相切，且在 x 軸， y 軸上的截距相等，求直線l 的方程；(2)從圓 C 外一點 P( x，y)向圓引一條切線，切點為 M，O 為坐標原點， 且有 |PM | |PO |，求點 P 的軌跡方程自主解答 (1) 將圓 C 配方得 (x 1)2 (y 2)2 2.由題意知直線在兩坐標軸上的截距不為零，設直線方程為xy a 0，由 | 12 a| 2，得 |a1| 2，即 a 1 或 a 3. 2故直線方程為xy 1 0 或 x y 30.

13、(2)由于 |PC|2 |PM |2 |CM|2 |PM |2 r2 ， |PM |2 |PC|2 r2 .又 |PM| |PO |， |PC|2 r2 |PO|2， (x 1)2 (y 2)2 2 x2 y2. 2x4y 3 0 即為所求的方程若將本例 (1) 中“不過原點”的條件去掉，求直線解： 將圓 C 配方得 (x 1)2 (y 2)2 2.當直線在兩坐標軸上的截距為零時，設直線方程為(2 ± 6)x；l 的方程y kx ，由直線與圓相切得y當直線在兩坐標軸上的截距不為零時，設直線方程為x y a0，由直線與圓相切得xy 1 0 或 x y 30.綜上可知，直線l 的方程為(

14、26)x y0 或(26)x y 0 或 xy 1 0 或 x y 3 0.求過一點的圓的切線方程的方法(1) 若該點在圓上，由切點和圓心連線的斜率可確定切線的斜率，進而寫出切線方程；若切線的斜率不存在，則可直接寫出切線方程x x0.(2) 若該點在圓外，則過該點的切線將有兩條若用設斜率的方法求解時只求出一條，則還有一條過該點且斜率不存在的切線5已知點 M(3,1)，直線 ax y 40及圓 (x 1)2 (y 2)2 4.(1)求過 M 點的圓的切線方程；(2)若直線 axy 4 0 與圓相切，求a 的值解： (1)圓心 C(1,2)，半徑為 r 2，當直線的斜率不存在時，方程為x 3.由圓

15、心 C(1,2)到直線 x 3 的距離 d 31 2 r 知，此時，直線與圓相切當直線的斜率存在時，設方程為y 1 k(x 3)，即 kx y1 3k 0.由題意知 |k 2 1 3k| 2，k2 13解得 k .4故方程為 y31 ( x3)，4即 3x4y 5 0.故過 M 點的圓的切線方程為x 3 或 3x4y 5 0.(2)由題意有 |a 2 4| 2，解得 a0 或 a4.a2 132 種方法 解決直線與圓位置關系的兩種方法直線和圓的位置關系體現(xiàn)了圓的幾何性質和代數(shù)方法的結合(1)從思路來看， 代數(shù)法側重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標”與“方程”；而“幾何法”則側重于“形”，利用了圖形的

16、性質(2) 從適用類型來看，代數(shù)法可以求出具體的交點坐標，而幾何法更適合定性比較和較為簡單的運算3 個注意點 直線與圓相切、相交的三個注意點(1)涉及圓的切線時，要考慮過切點的半徑與切線垂直；(2) 當直線與圓相交時，半弦、弦心距、半徑所構成的直角三角形在解題中起到關鍵的作用，解題時要注意把它與點到直線的距離公式結合起來使用；(3) 判斷直線與圓相切，特別是過圓外一點求圓的切線時，應有兩條在解題中，若只求得一條，則說明另一條的斜率不存在，這一點經(jīng)常忽視，應注意檢驗、防止出錯.創(chuàng)新交匯 直線與圓的綜合應用問題1直線與圓的綜合應用問題是高考中一類重要問題，常常以解答題的形式出現(xiàn)，并且常常是將直線與

17、圓和函數(shù)、三角、向量、數(shù)列及圓錐曲線等相互交匯，求解參數(shù)、函數(shù)、最值、圓的方程等問題2對于這類問題的求解，首先要注意理解直線和圓等基礎知識及它們之間的深入聯(lián)系；其次要對問題的條件進行全方位的審視，特別是題中各個條件之間的相互關系及隱含條件的挖掘， 再次要掌握解決問題常用的思想方法，如數(shù)形結合、化歸與轉化、待定系數(shù)及分類討論等思想方法典例 (2011新·課標全國卷)在平面直角坐標系xOy 中，曲線yx2 6x 1 與坐標軸的交點都在圓C 上(1)求圓C 的方程；(2)若圓 C 與直線 xy a 0 交于 A， B 兩點，且 OAOB ，求2解 (1) 曲線 y x 6x 1 與 y 軸

18、的交點為 (0,1)，與 x 軸的交點為a 的值(3 22，0)，(3 22，0)故可設圓C 的圓心為 (3， t)，則有32( t 1)2 (22)2 t2，解得t 1.則圓 C 的半徑為32 t 1 2 3.則圓 C 的方程為 (x 3)2 (y 1)2 9.(2)設 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其坐標滿足方程組：x ya 0，x 3 2 y 1 2 9.消去 y，得到方程 2x2 (2a 8)x a2 2a 1 0.由已知可得，判別式 5616a 4a2>0.從而 x1 x2 4 a， x1x2a2 2a1.2由于 OA OB，可得 x1x2 y1y2 0，又 y1

19、x1 a， y2 x2 a，所以2x1x2a(x1 x2)a2 0.由得 a 1，滿足>0 ，故 a 1.名師點評 1 本題有以下創(chuàng)新點(1)考查形式的創(chuàng)新，將軌跡問題、向量問題和圓的問題融為一體來考查(2) 考查內容的創(chuàng)新，本題摒棄以往考查直線和圓的位置關系的方式，而是借助于參數(shù)考查直線與圓的位置關系，同時也考查了轉化與化歸思想2 解決直線和圓的綜合問題要注意以下幾點(1)求點的軌跡，先確定點的軌跡的曲線類型，再利用條件求得相關參數(shù)；(2)存在性問題的求解，即先假設存在，再由條件求解并檢驗變式訓練 1已知直線2ax by 1(其中 a， b 是實數(shù) )與圓 x2y21 相交于 A， B

20、 兩點， O 是坐標原點，且 AOB 是直角三角形，則點P(a， b)與點 M(0,1)之間的距離的最大值為 ()A.21B 2C.2D. 21解析：選A直線 2ax by1( 其中 a，b 是實數(shù) )與圓 x2 y21 相交于 A，B 兩點，則依題意可知， AOB 是等腰直角三角形， 坐標原點 O 到直線2ax by1 的距離 d12a2 b2 22，即 2a2 b2 2，2b2 2b 2 2|b2|，當 b a2 2 b( 2 b2)，則 |PM|a2 b 1 22222時， |PM|2× |22|21.max 22在平面直角坐標系xOy 中，已知圓x2 y2 4 上有且只有四個

21、點到直線12x 5y c0 的距離為 1，則實數(shù) c 的取值范圍是 _解析： 因為圓的半徑為2，且圓上有且僅有四個點到直線12x5y c 0 的距離為 1，即要圓心到直線的距離小于1，即|c|122 5 2<1，解得 13<c<13.知能檢測一、選擇題 (本大題共6 小題，每小題5 分，共 30分 )1圓 (x 1)2 (y3)2 1 的切線方程中有一個是()A x y 0B x y 0Cx 0D y 0解析：選C圓心為 (1，3)，半徑為1，故 x 0 與圓相切2已知直線 l ： y k(x 1)3與圓 x2 y2 1 相切，則直線l 的傾斜角為 ()A. 6B.225C.

22、 3D.6解析： 選 D由題意知， |k3| 1，得 k 3，k2 13故直線 l 的傾斜角為 56.3 (2012 陜·西高考 )已知圓 C： x2 y2 4x 0， l 是過點 P(3,0)的直線，則 ()A l 與 C 相交B l 與 C 相切Cl 與 C 相離D 以上三個選項均有可能解析：選 A 把點 (3,0)代入圓的方程的左側得32 0 4× 3 3<0，故點 (3,0)在圓的內部，所以過點 (3,0)的直線 l 與圓 C 相交4過點 (1,1) 的直線與圓 (x 2)2 (y 3)2 9相交于 A，B 兩點，則 |AB |的最小值為 ()A 23B 4C

23、25D 5解析：選 B 由圓的幾何性質可知，當點 (1,1) 為弦 AB 的中點時， |AB |的值最小， 此時 |AB| 2 r2 d2 2 9 5 4.5過點 P(1,1) 的直線， 將圓形區(qū)域 ( x，y)|x2 y2 4 分為兩部分， 使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為()A x y 2 0B y 1 0Cx y 0D x 3y 4 0解析： 選 A兩部分面積之差最大，即弦長最短，此時直線垂直于過該點的直徑因為過點 P(1,1)的直徑所在直線的斜率為1，所以所求直線的斜率為1，方程為 x y 2 0.uuuuruuur6直線 ax by c 0 與圓x2 y2 9 相交于兩點

24、 M，N，若 c2a2b2，則OM ·(OON為坐標原點 )等于 ()A 7B 14C7uuuuruuurD 14解析：選 A設 OM ，ON 的夾角為2.依題意得， 圓心 (0,0) 到直線 ax by c0的距 1， cos 1，cos 2 2cos2 1 2×uuuuruuur離等于|c|1 2 1 7， OM·ON 3× 3cosa2 b23392 7.二、填空題 (本大題共3 小題，每小題5 分，共 15分 )7設直線 xmy 10 與圓 (x 1)2 (y 2)2 4 相交于 A，B 兩點，且弦 AB 的長為2 3，則實數(shù) m 的值是 _解析

25、： 由題意得，圓心(1,2)到直線 x my1 0 的距離 d4 3 1，即 |1 2m 1|1 m231，解得 m ±3 .答案：±338(2012 ·西高考江 )過直線 x y 2 2 0 上點 P 作圓 x2 y2 1 的兩條切線， 若兩條切線的夾角是 60°，則點 P 的坐標是 _解析： 點 P 在直線 x y22 0 上，可設點P(x0， x022) ，且其中一個切點為 M.兩條切線的夾角為60°， OPM 30°.故在 RtOPM 中，有 OP 2OM 2.由兩點間的距離公式得 OPx02 x0 22 2 2，解得 x0

26、2.故點 P 的坐標是 (2， 2)答案： ( 2， 2)9 (2012 ·津高考天)設 m， n R，若直線 l ： mx ny 1 0與 x 軸相交于點 A，與 y 軸相交于點 B，且 l 與圓 x2 y2 4 相交所得弦的長為 2， O 為坐標原點，則AOB 面積的最小值為 _解析： 由直線與圓相交所得弦長為2，知圓心到直線的距離為3，即1 3，所m2 n2以 m2 n2 13 2|mn|，所以 |mn| 16，又 A m1， 0 ， B 0， 1n ，所以 AOB 的面積為 2|mn|1 3，最小值為 3. 答案： 3三、解答題 (本大題共 3 小題，每小題 12 分，共 3

27、6 分 )10求過點 P(4， 1)且與圓 C： x2 y2 2x6y 5 0 切于點 M(1,2)的圓的方程解： 設所求圓的圓心為 A(m， n)，半徑為 r ，則 A， M， C 三點共線，且有 |MA | |AP | r ，因為圓 C： x2 y2 2x 6y 50 的圓心為C( 1,3)，則n 2 23，m 111m 1 2 n 2 2m 4 2 n 1 2 r，解得 m 3，n 1， r 5，所以所求圓的方程為(x 3)2 (y 1)2 5.11在平面直角坐標系xOy 中，已知圓 x2 y2 12x 320 的圓心為 Q，過點 P(0,2)，且斜率為 k 的直線與圓 Q 相交于不同的

28、兩點A， B.(1)求 k 的取值范圍；uuur uuuruuur(2)是否存在常數(shù) k，使得向量 OA OB 與 PQ 共線？如果存在， 求 k 值；如果不存在，請說明理由解：(1) 圓的方程可寫成 (x 6)2 y2 4，所以圓心為 Q(6,0)過 P(0,2) 且斜率為 k 的直線方程為 y kx2，代入圓的方程得 x2 (kx 2)2 12x 320，整理得 (1k2)x2 4(k 3)x 36 0.直線與圓交于兩個不同的點A、B 等價于 4(k3) 2 4×36(1 k2) 42( 8k2 6k)>0 ，33.解得 <k<0，即 k 的取值范圍為 ， 04

29、4uuuruuur(2)設 A(x1， y1)， B(x2， y2)則 OA OB (x1 x2， y1 y2)，4 k 3由方程得 x1 x2 1 k2 .又 y1 y2 k(x1 x2)4.uuur因 P(0,2)、Q(6,0)， PQ (6， 2)，uuuruuuruuur所以 OA OB 與 PQ 共線等價于 2(x1 x2) 6(y1 y2)，將代入上式， 解得 k34.而由 (1)知 k 3， 0，故沒有符合題意的常數(shù) k.412在平面直角坐標系xOy 中，已知圓心在第二象限，半徑為2 2的圓 C 與直線 y x相切于坐標原點O.(1)求圓 C 的方程；(2)試探求 C 上是否存在異于原點的點Q，使 Q 到定點 F(4,0)的距離等于線段OF 的長若存在，請求出點Q 的坐標；若不存在，請說明理由b解： (1)設圓心為C(a，b)，由 OC 與直線 y x 垂直，知 O，C 兩點的斜率kOC a 1，故 b a，則 |OC| 2 2，即 a2 b2 2 2，a 2，a 2，可解得或b 2，b 2，a 2，結合點 C(a， b)位于第二象限知b 2.故圓 C 的方程為 (x 2)2 (y 2)2 8.(2)假設存在Q(m， n)符合題意，m 4 2 n2 42，4，則 m2 n2 0，解得m512m2 2 n2 2 8，n 5 .412故圓 C 上