二次函數(shù)圖像與系數(shù)關系(含答案)

1、二次函數(shù)圖像與系數(shù)關系一 .選擇題（共9小題）1.如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A （ T , 0）,頂點坐標為（1, n）,與y軸的交 點在（0, 2）、（0, 3）之間（包含端點），則下列結論：當x>3時，y<0;3a+b>0;-的華埠；3阡i中，正確的是（）x=lA.B.C.D.考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.專題：計算題；壓軸題.分析：由拋物線的對稱軸為直線 x=1 , 一個交點A （ - 1, 0）,得到另一個交點坐標，利 用圖象即可對于選項 作出判斷；根據拋物線開口方向判定 a的符號，由對稱軸方程求得b與a的關系是b=-2a,將其代入（3a+b）,并

2、判定其符號；根據兩根之積-=-3,得到a=然后根據c的取值范圍利用不等式的性質來求 a3a的取值范圍；一4把頂點坐標代入函數(shù)解析式得到n=a+b+c=c,利用c的取值范圍可以求得 n的取值范圍.解答：解：二.拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A （-1, 0）,對稱軸直線是 x=1,，該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3, 0）,，根據圖示知，當x>3時，y<0.故正確；根據圖示知，拋物線開口方向向下，則a< 0.對稱軸x=一 ' b= - 2a,3a+b=3a- 2a=a< 0,即 3a+bv0.故錯誤；二.拋物線與x軸的兩個交點坐標分別是（-1, 0）

3、, （3, 0）, .拋物線與y軸的交點在（0, 2）、（0, 3）之間（包含端點），I即一 2« 碼1QW故正確;根據題意知，a=- -=1, 國f2a2c b= - 2a= '34n=a+b+c=-c.3 2<c 碼<c<4,即金訴3 33故錯誤.綜上所述，正確的說法有 故選D.y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開 x軸交點的個數(shù)確定.口方向、對稱軸、拋物線與 y軸的交點拋物線與A.C.D.點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.二次函數(shù)2.如圖是二次函數(shù) y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為 x= - 1,且過點（-3, 0）.下 列說法：

4、abc<0;2a- b=0;4a+2b+cv0;若（-5, yi）, （1, y2）是拋物線上 兩點，則y1>y2.其中說法正確的是（）考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系. 專題：壓軸題.分析:解答:根據圖象得出a>0, b=2a>0, c<0,即可判斷 ；把x=2代入拋物線的解析式 即可判斷 ，求出點（-5, yi）關于對稱軸的對稱點的坐標是（3, yi）,根據當> -1時，y隨x的增大而增大即可判斷 .解：,二次函數(shù)的圖象的開口向上，a> 0,二次函數(shù)的圖象y軸的交點在y軸的負半軸上，c< 0,二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x= - 1,2ab=2a

5、>0abcv 0,，正確;2a - b=2a - 2a=0, ''' 正確；二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x= - 1,且過點（-3, 0）.，與x軸的另一個交點的坐標是（1, 0）,把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得：y=4a+2b+c >0,， 錯誤；二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對稱軸為 x= - 1,.點（-5, y1）關于對稱軸的對稱點的坐標是（3, y1）,根據當x>- 1時，y隨x的增大而增大，點評:y2< y1, 正確；故選C.本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系的應用，題目比較典型，主要考查學生

6、的理 解能力和辨析能力.3.如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a4)0).下列結論：ab<0,b2>4a,的圖象的頂點在第一象限，且過點（0, 1）和（- 0va+b+cv2, 0vbv 1,當 x> - 1 時，1, y>0,其中正確結論的個數(shù)是（C. 3個D. 2個考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.專題：壓軸題.分析：由拋物線的對稱軸在 y軸右側，可以判定 a、b異號，由此確定 正確；由拋物線與x軸有兩個交點得到 b2 - 4ac>0,又拋物線過點（0, 1）,得出c=1,由此判定正確；由拋物線過點（1, 0）,得出a - b+c=0,即a=b- 1,由a

7、v 0得出bv 1;由a<0, 及ab<0,得出b>0,由此判定 正確；由 a- b+c=0,及 b>0 得出 a+b+c=2b>0;由 bvl, c=1, av0,得出 a+b+cva+1+1 <2,由此判定正確；由圖象可知，當自變量x的取值范圍在一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根之間時，函數(shù)值y>0,由此判定錯誤.解答：解：.二次函數(shù) y=ax2+bx+c （a為）過點（0, 1）和（-1, 0）, c=1, a- b+c=0 .拋物線的對稱軸在 y軸右側，.= - >0,|2aa與b異號，ab< 0,正確；二拋物線與x軸有兩個不

8、同的交點，. b2- 4ac>0,/ c=1, - b2 - 4a>0, b2>4a,正確；二拋物線開口向下，a<0,ab<0,b>0. a b+c=0, c=1 , a=b - 1, av 0,b- 1<0, bv 1,0< b< 1,正確；.1 a - b+c=0,a+c=b,a+b+c=2b>0.bv 1, c=1, av 0,a+b+c=a+b+1 < a+1+1=a+2 < 0+2=2 ,0< a+b+cv 2,正確；拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為（-1,0）,設另一個交點為（x0, 0）,則

9、 x0> 0,由圖可知，當x0>x>- 1時，y>0,錯誤；綜上所述，正確的結論有 .故選B.點評：本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關系，不等式的性質，難度適中.二次函數(shù) y=ax2+bx+c （a用），a的符號由拋物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與 y軸交點的位置決定；拋物線與x軸的交點個數(shù)，決定了 b2-4ac的符號，此外還要注意二次函數(shù)與方程之間的轉換.4 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a溝）的圖象如圖所示，則下列結論中，正確的是（） 考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；二次函數(shù)與不等式（組）A. abcv 0B. a+

10、cv bC. b>2aD. 4a>2b - c專題：壓軸題.分析：由拋物線的開口方向判斷 a與0的關系，由拋物線與 y軸的交點判斷c與0的關系， 然后根據對稱軸及圖象經過的點的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.解答：解：A、圖象開口向下，.av 0,二與y軸交于正半軸，0 0, 對稱軸在y軸左側，-_L<0,b< 0, .abc>0,故本選項錯誤；B、=當x=-1時，對應的函數(shù)值 y>0,即a- b+c>0, .a+c>b,故本選項錯誤；C、.拋物線的對稱軸為直線 x=- >- 1,又av 0, b>2a,故本選項正確；2aD、當

11、x=-2時，對應的函數(shù)值 y<0,即4a-2b+cv0, .-.4a<2b- c,故本選項錯 誤.故選C.點評：本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數(shù)與不等式的關系，難度中等.你認為其中正確信息的個數(shù)有（）A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個5 .小軒從如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a為）的圖象中，觀察得出了下面五條信息: ab>0; a+b+cv0; b+2c>0; a-2b+4c>0;考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.專題：壓軸題.分析：由拋物線的開口方向判斷 a與0的關系，由拋物線與 y軸的交

12、點判斷c與0的關系,然后根據對稱軸及拋物線與 x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.解答：解：如圖，二拋物線開口方向向下,a<0.對稱軸x=一b=2ab=-a<0,ab>0.故正確;如圖，當x=1時，y<0,即a+b+c<0. 故正確； 如圖，當x= 1時，y=a - b+c>0 2a- 2b+2c>0,即 3b- 2b+2c>0,b+2c>0.故正確；如圖，當 x=-3時，y>0,即二a - -ib+c>0.a- 2b+4c>0, 故正確；如圖，對稱軸x=-f=-則d.故 正確.綜上所述，正確的結論是 ，共5個.

13、故選D.點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.二次函數(shù)口方向、對稱軸、拋物線與 y軸的交點拋物線與y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開 x軸交點的個數(shù)確定.6 .函數(shù)y=x2+bx+c與y=x的圖象如圖所示，有以下結論： b2 4c>0; b+c+1=0 ; 3b+c+6=0 ;當 1 vxv 3 時，x2+ ( b - 1) x+c v 0./b 13其中正確的個數(shù)為()A. 1B. 2C. 3D. 4考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.專題：壓軸題.分析：由函數(shù)y=x2+bx+c與x軸無交點，可得 b2-4cv0;當x=1時，y=1+b+c=1 ;當x=3 時，y=9+3b+c=3

14、 ;當1vxv3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，可得x2+bx+cvx,繼而可求得答案.解答：解：:函數(shù)y=x2+bx+c與x軸無交點，b2- 4c< 0;故錯誤；當 x=1 時，y=1+b+c=1 ,故錯誤；當 x=3 時，y=9+3b+c=3 , 3b+c+6=0;正確；當1vxv3時，二次函數(shù)值小于一次函數(shù)值，x2+bx+c< x,x2+ (b T) x+cv 0.故正確.故選B.點評：主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的 應用.7 .已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與 x軸的兩個交點分別為(-1, 0), (3, 0).

15、對于下列命題：b-2a=0;abcv 0;a- 2b+4cv0;8a+c>0.其中正確的有A. 3個B. 2個C. 1個D. 0個考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.專題：壓軸題.分析：首先根據二次函數(shù)圖象開口方向可得a>0,根據圖象與y軸交點可得c<0,再根據二次函數(shù)的對稱軸 x=-但，結合圖象與x軸的交點可得對稱軸為x=1,結合對稱軸2a公式可判斷出 的正誤；根據對稱軸公式結合 a的取值可判定出b<0,根據a、b、c 的正負即可判斷出 的正誤；利用a - b+c=0 ,求出a- 2b+4c<0,再利用當x=4時， y>0,則 16a+4b+c>0,由

16、知，b=-2a,得出 8a+c>0.解答：解：根據圖象可得：a>0, c<0,對稱軸：x= ->0,2a二.它與x軸的兩個交點分別為(-1, 0), (3, 0),對稱軸是x=1 ,b+2a=0, 故錯誤;,. a>0,b<0, c< 0, abc>0,故 錯誤； .1 a - b+c=0, ' c=b - a, a-2b+4c=a-2b+4 （b-a） =2b - 3a,又由得b= - 2a, a- 2b+4c= 7a< 0, 故此選項正確； 根據圖示知，當x=4時，y>0, 16a+4b+c>0, 由知，b= - 2

17、a,8a+c> 0;故正確；故正確為：兩個.故選：B.點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是熟練掌握 二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向，當 a>0時，拋物線向上開口；當 a<0時，拋物線向下開口； 一 次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當 a與b同號時（即ab>0）,對 稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即abv0）,對稱軸在y軸右.（簡稱：左同右異） 常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與 y軸交于（0, c）.8.已知：二次函數(shù) y=ax2+bx+c （a加）的圖象如圖所示，下列結論中： abc>0;2a+b <0;a+b對（am

18、+b） （m月 的實數(shù)）；（a+c） 2vb2;a>1,其中正確的是（）A. 2個B. 3個C. 4個D. 1個考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.分析：由拋物線的開口方向判斷 a的符號，由拋物線與 y軸的交點判斷c的符號，然后根據 對稱軸及拋物線與 x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.解答：解：二.拋物線的開口向上，a> 0,與y軸的交點為在y軸的負半軸上，.,.c<0,I b對稱軸為x= ->0,a、b 異號，即 b< 0,又cv0, ,.abc>0,故本選項正確；,對稱軸為x= > 0, a> 0,2a1, 2d- bv 2a,2a+

19、b>0;故本選項錯誤； 當 x=1 時，yi=a+b+c;當 x=m 時，y2=m (am+b) +c,當 m> 1, y2>yi；當 m< 1, y2<yi,所以不能確定；故本選項錯誤；當 x=1 時，a+b+c=0;當 x= - 1 時，a- b+c>0;(a+b+c) (ab+c) =0,即(a+c) 2- b2=0,(a+c) 2=b2故本選項錯誤；當 x= 1 時，a- b+c=2 ;當 x=1 時，a+b+c=0,a+c=1,a=1+ ( - c) > 1,即 a> 1;故本選項正確；綜上所述，正確的是有2個.故選：A .點評：本題主

20、要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉換；二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定：(1) a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則 a>0;否則a<0;(2) b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=-上判斷符號；2a(3) c由拋物線與y軸的交點確定：交點在 y軸正半軸，則c>0;否則cv 0;(4) b2-4ac由拋物線與x軸交點的個數(shù)確定：2個交點，b2-4ac>0; 1個交點， b2- 4ac=0,沒有交點，b2- 4ac< 0.9.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c (a加)的圖象如圖所示

21、，有下列5個結論： abc> 0; bv a+c; 4a+2b+c>0; 2c< 3b; a+b>m (am+b) ( m月 的實數(shù)).其中正確的結論有()C. 4個D. 5個考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.專題：壓軸題；數(shù)形結合.分析:觀察圖象：開口向下得到 a<0;對稱軸在y軸的右側得到a、b異號，則b>0;拋物 線與y軸的交點在x軸的上方得到c> 0,所以abcv 0；當x= - 1時圖象在x軸下方 得到y(tǒng)=a - b+c< 0,即a+c< b;對稱軸為直線 x=1 ,可得x=2時圖象在x軸上方，則y=4a+2b+c>0;利用對

22、稱軸 x=-?=1 得至U a=- 2ab,而 a- b+cv0,貝U-1b-b+cv2解答:0,所以2cv3b;開口向下，當x=1 , y有最大值a+b+c,得到a+b+c> am2+bm+c,即 a+b>m （am+b） （mF）.解：開口向下，a<0;對稱軸在y軸的右側，a、b異號，則b>0;拋物線與y軸的 交點在x軸的上方，c>0,則abcv 0,所以 不正確；當x= - 1時圖象在x軸下方，則y=a - b+cv 0,即a+cv b,所以不正確；對稱軸為直線x=1,則x=2時圖象在x軸上方，則y=4a+2b+c >0,所以正確；x=一b.2a=1

23、,貝U a= - -b,而 a b+cv0,貝U b- b+cv 0, 2c< 3b,所以 正確;22開口 向下，當 x=1, y 有最大值 a+b+c;當 x=m （m力）時，y=am2+bm+c,貝U a+b+c > am2+bm+c,即 a+b>m （am+b） （m力），所以 正確.點評:故選B.本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c當a> 0,開口向上，函數(shù)有最小值， a<0,開口向下，函數(shù)有最大值;（a加）的圖象, 對稱軸為直線x=一y軸的右側；當上，a與b同號，對稱軸在y軸的左側，a與b異號，對稱軸在2ac>0,拋

24、物線與y軸的交點在x軸的上方；當4加2-4ao 0,拋物線與x軸有兩個交 八、二.填空題（共1小題）10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a, b, c是常數(shù)，a用）圖象的對稱軸是直線 x=1,其圖象的一 部分如圖所示.對于下列說法： abcv 0;當-1vxv 3時，y>0;3a+c< 0;a -b+c<0,其中正確的是 （把正確的序號都填上）.考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.分析：由拋物線的開口方向判斷 a與0的關系，由拋物線與 y軸的交點判斷c與0的關系， 然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.解答：解：根據圖象可得：a< 0, b>0, c>0.則abcv 0,故正確；當-1vxv3時圖象在x軸的上方，且有的點在 x軸的下方，故 錯誤；根據圖示知，該拋物線的對稱軸直線是x=1 ,即-九=1，則b= - 2a.那么當x=- 12a時，y=a-b+c=a+2a+c=3a+c v 0,故 正確；當x=-1時，y=a-b+c一定在x軸的下方，因而 a - b+c< 0,故 正確.故答案