【2013佛山二模】廣東省佛山市2013屆高三普通高考教學質量檢測(二)數學理試題_Word版含答案

1、2013年江門佛山兩市普通高中高三教學質量檢測 數 學（理科） 2013.4本試卷共4頁，21小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：2013.4.181答卷前，考生要務必填寫答題卷上密封線內的有關項目2選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答案代號填在答題卷對應的空格內3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效4請考生保持答題卷的整潔考試結束后，將答題卷交回一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.

2、已知，則AB C D2已知復數的實部為，且，則復數的虛部是A B C D 3已知數列是等差數列，若，則數列的公差等于A1B3 C5 D64. 為了解一片速生林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖（如右），那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數是90110周長(cm) 頻率/組距1001201300.010.020.0480第4題圖 A30 B60 C70 D805函數，,則A為偶函數，且在上單調遞減；B為偶函數，且在上單調遞增；C為奇函數，且在上單調遞增；D為奇函數，且在上單調遞減.6下列命題中假命題是A若一條直線平

3、行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行；B垂直于同一條直線的兩條直線相互垂直； C若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；D若一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的相交直線分別平行，那么這兩個平面相互平行7直線與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有A 個 B. 個 C.個 D.無數個8將邊長為的等邊三角形沿軸滾動，某時刻與坐標原點重合（如圖），設頂點的軌跡方程是，關于函數的有下列說法：OyxPBA第8題圖的值域為；是周期函數；.其中正確的說法個數為:A.0 B. C. D. 二、填空題：本大共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分 (一)必做題(913題)9命

4、題“R，0”的否定是 . ks5u10. 已知向量滿足, , 向量與的夾角為 .11若二項式展開式中的系數等于的系數的倍，則等于 .12已知圓經過點和,且圓心在直線上,則圓的方程為 . 第13題圖13將集合|且中的元素按上小下大，左小右大的順序排成如圖的三角形數表，將數表中位于第行第列的數記為（）,則= . ks5u (二)選做題(1415題，考生只能從中選做一題)第15題圖14（坐標系與參數方程）在極坐標系中，設曲線與的交點分別為，則線段的垂直平分線的極坐標方程為 15（幾何證明選講）如圖，圓的直徑，直線與圓O相切于點， 于，若，設，則_三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字

5、說明、證明過程或演算步驟16（本題滿分12分）在平面直角坐標系中，以為始邊，角的終邊與單位圓的交點在第一象限，已知.（1）若,求的值； （2）若點橫坐標為,求.17（本題滿分12分）乙甲丙第17題圖市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車相互獨立. 假設李生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經甲地趕去乙地上班.假設道路、上下班時間往返出現擁堵的概率都是,道路、上下班時間往返出現擁堵的概率都是，只要遇到擁堵上學和上班的都會遲到.（1）求李生小孩按

6、時到校的概率；（2）李生是否有七成把握能夠按時上班？（3）設表示李生下班時從單位乙到達小學丙遇到擁堵的次數，求的均值.18（本題滿分14分）如圖甲，設正方形的邊長為,點分別在上,并且滿足,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點在平面上的射影恰好在上（1）證明：平面；圖甲圖乙第18題圖（2）求平面與平面所成二面角的余弦值19（本題滿分14分）在平面直角坐標系內，動圓過定點,且與定直線相切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）中心在的橢圓的一個焦點為,直線過點.若坐標原點關于直線的對稱點在曲線上，且直線與橢圓有公共點,求橢圓的長軸長取得最小值時的橢圓方程.20（本題滿分14分）某水域一艘裝載濃硫酸的

7、貨船發(fā)生側翻,導致濃硫酸泄漏,對河水造成了污染.為減少對環(huán)境的影響，環(huán)保部門迅速反應,及時向污染河道投入固體堿，個單位的固體堿在水中逐漸溶化,水中的堿濃度與時間(小時)的關系可近似地表示為：,只有當污染河道水中堿的濃度不低于時,才能對污染產生有效的抑制作用.（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效的抑制作用的時間有多長？（2）第一次投放1單位固體堿后,當污染河道水中的堿濃度減少到時,馬上再投放1個單位的固體堿,設第二次投放后水中堿濃度為,求的函數式及水中堿濃度的最大值.（此時水中堿濃度為兩次投放的濃度的累加）21（本題滿分14分）設函數，記的導函數，的導函數，的導函數，的導函數，.（1

8、）求；（2）用n表示；（3）設，是否存在使最大？證明你的結論.2013年江門佛山兩市普通高中高三教學質量檢測 數 學（理科） 評分參考一、填空題 CDBCABBC二、填空題9R，0 10 11 12 1314（或） 15三、解答題16解法1、由題可知：， 1分， 2分，得 3分， 4分解法2、由題可知：， 1分， 2分， 3分， 得 4分解法3、設，（列關于x、y的方程組2分，解方程組求得x、y的值1分，求正切1分）解法1、由， 記， ，（每式1分） 6分 ，得（列式計算各1分） 8分（列式計算各1分） 10分（列式計算各1分） 12分解法2、由題意得：的直線方程為 6分則 即（列式計算各1分

9、） 8分則點到直線的距離為（列式計算各1分） 10分又，（每式1分）12分解法3、 即 （每式1分） ks5u6分即：， ， 7分，9分（模長、角的余弦各1分） 10分則（列式計算各1分） 12分解法4、根據坐標的幾何意義求面積（求B點的坐標2分，求三角形邊長2分，求某個內角的余弦與正弦各1分，面積表達式1分，結果1分）17因為道路D、E上班時間往返出現擁堵的概率分別是和，因此從甲到丙遇到擁堵的概率是（列式計算各1分） 2分所以李生小孩能夠按時到校的概率是； 3分甲到丙沒有遇到擁堵的概率是， 4分丙到甲沒有遇到擁堵的概率也是， ks5u5分甲到乙遇到擁堵的概率是， 6分甲到乙沒有遇到擁堵的概率

10、是，李生上班途中均沒有遇到擁堵的概率是，所以李生沒有八成把握能夠按時上班（計算結論各1分）8分依題意可以取. 9分=,=,=,11分012分布列是：. 12分18證明：在圖甲中，易知,從而在圖乙中有， 1分因為平面，平面，所以平面（條件2分）4分解法1、如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則， 5分所以平面，則， 6分所以平面與平面所成二面角的平面角， 8分圖甲中有，又，則三點共線， 9分設的中點為，則，易證，所以，；11分（三角形全等1分）又由，得， 12分于是， 13分圖甲圖乙在中，即所求二面角的余弦值為14分圖丙解法2、如圖,在圖乙中作，垂足為，連接，由于平面，則， 5分所以平面，

11、則，圖甲中有，又，則三點共線， 6分設的中點為，則，易證，所以，則；又由，得， 7分于是，在中， 8分作交于點，則，以點為原點，分別以所在直線為軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標系，則、，則（坐標系、坐標、向量各1分） 11分顯然，是平面的一個法向量， 12分設是平面的一個法向量，則，即，不妨取，則， 13分設平面與平面所成二面角為，可以看出，為銳角，所以，所以，平面與平面所成二面角的余弦值為 14分19由題可知，圓心到定點的距離與到定直線的距離相等 2分由拋物線定義知,的軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線 4分（確定“曲線是拋物線”1分，說明拋物線特征1分）所以動圓圓心的軌跡的方程為. 5分解

12、法1、設，則中點為， 因為兩點關于直線對稱，所以，即，解之得（中點1分，方程組2分，化簡1分） 8分將其代入拋物線方程，得：，所以. 9分聯立 ，消去，得： 11分由，得， 12分注意到，即，所以，即， 13分因此，橢圓長軸長的最小值為.此時橢圓的方程為. 14分解法2、設 ，因為兩點關于直線對稱，則， 6分即，解之得 7分即,根據對稱性,不妨設點在第四象限，且直線與拋物線交于.則,于是直線方程為（斜率1分，方程1分） 9分聯立 ，消去，得： 11分由，得， 12分注意到，即，所以，即， 13分因此，橢圓長軸長的最小值為. 此時橢圓的方程為. 14分ks5u20由題意知或 2分解得或，即 3分能夠維持有效的抑制作用的時間：小時. 4分由知，時第二次投入1單位固體堿，顯然的定義域為 5分當時，第一次投放1單位固體堿還有殘留,故=+=; 6分當時，第一次投放1單位固體堿已無殘留,故當時， =; 7分當時， ; 8分所以 9分當時， =;當且僅當時取“=”,即（函數值與自變量值各1分）11分當時，第一次投放1單位固體堿已無殘留，當時， ，所以為增函數; 當時，為減函數;故 =， 12分又,所以當時，水中堿濃度的最大值為. 13分答：第一次投放1單位固體堿能夠維持有效的抑制作用的時間為3小時；第一次投放小時后