恒成立與存在性問題的解題策略

1、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略一、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值.4、 設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則5、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則6、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則7、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則8、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上的值域?yàn)锳，g(x)在區(qū)間c,d上的值域?yàn)锽,則AB.9、若不等式在區(qū)間D

2、上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；10、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；恒成立問題的基本類型 在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題,其表現(xiàn)形式通常有:j在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立;k某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R;l某不等式的解為一切實(shí)數(shù);m某表達(dá)式的值恒大于a等等恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)。恒成立問題在解題過(guò)程

3、中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；直接根據(jù)函數(shù)的圖象。二、恒成立問題解決的基本策略 大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題。等式中的恒成立問題，特別是多項(xiàng)式恒成立問題，常簡(jiǎn)化為對(duì)應(yīng)次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個(gè)方程組來(lái)解決問題的。（一）兩個(gè)基本思想解決“恒成立問題”思路1、 思路2、如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過(guò)習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值。這類問

4、題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識(shí)比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來(lái)高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中注意積累。（二）、賦值型利用特殊值求解等式恒成立問題等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得.例1如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.例（備用）由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+

5、b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D（三）分清基本類型，運(yùn)用相關(guān)基本知識(shí)，把握基本的解題策略1、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識(shí)求解,十分簡(jiǎn)捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內(nèi)恒有f(x)0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于 同理，若在m,n內(nèi)恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)

6、字母：x及a,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1)a+x2-2x+10在|a|2時(shí)恒成立,設(shè)f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運(yùn)用。（1）若二次函數(shù)y=ax

7、2+bx+c(a0)大于0恒成立，則有（2）若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識(shí)求解。類型1：設(shè)在R上恒成立，（1） 上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)在區(qū)間上恒成立（1） 當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2） 當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：設(shè)在區(qū)間 (- , a上恒成立。f(x)0a0且Da且f(a)0f(x)0a0且Da且f(a)0a0,D0或-b/2a0f(x)0a0,D0或-b/2aa且f(a)g(a)恒成立，則g(a)f(x)min;若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最

8、小值)例5.已知三個(gè)不等式，要使同時(shí)滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2x3;,構(gòu)造函數(shù)，畫出圖象，得a3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.例8. 設(shè)常數(shù)aR,函數(shù)f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為。解：1）a=0x=a/2=0時(shí)，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2=x=0時(shí)，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值為-a=2則與g(x)有交點(diǎn)，即：-2=a0x=0

9、時(shí)，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0=x=a/2時(shí)，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a=2時(shí)與g(x)有交點(diǎn)，即：0a=2綜上所述，-2=a=2時(shí)f(x)=3|x|+|2x-a|與g(x)=2-x有交點(diǎn)。三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本的解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)把問題分類、歸類，熟練基本方法。（一）換元引參，顯露問題實(shí)質(zhì) 1、對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：因?yàn)榈闹惦S著參數(shù)a的變化而變化，若設(shè)，則上述問題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價(jià)于求解關(guān)于t的不等式組：。

10、解得，即有，易得。2、設(shè)點(diǎn)P（x，y）是圓上任意一點(diǎn)，若不等式x+y+c0恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍。（二）分離參數(shù)，化歸為求值域問題 3、若對(duì)于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價(jià)變形為恒成立。根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值。因?yàn)?即時(shí)，有最小值為0，故。（三）變更主元，簡(jiǎn)化解題過(guò)程 4、若對(duì)于，方程都有實(shí)根，求實(shí)根的范圍。 解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來(lái)確定根x的范圍，但這樣會(huì)遇到很多麻煩，若以m為主元，則， 由原方程知，得 又，即解之得或。5、當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求的取值范圍。（四

11、）圖象解題，形象直觀 6、設(shè)，若不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：若設(shè)，則為上半圓。設(shè)，為過(guò)原點(diǎn)，a為斜率的直線。在同一坐標(biāo)系內(nèi) 作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有時(shí)成立，即a的取值范圍為。7、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對(duì)一切x (1,2),y11,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21, 10,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。解

12、：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4, y1的圖象為一個(gè)定拋物線 y2的圖象是k=2，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上方有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2）當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（-4，0），此時(shí)縱截距為-8-6a-4=0,a=;當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)（0，0），縱截距為-6a-4=0，a=a的范圍為（五）合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì) 9、不論k為何實(shí)數(shù)，直線與曲線恒有交點(diǎn)，求a的范圍。分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個(gè)參數(shù)，用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來(lái)解題是比較困難的。若考慮到直線過(guò)定點(diǎn)A（0，1），而曲線為圓,圓心C（a，

13、0），要使直線恒與圓有交點(diǎn)，那么定點(diǎn)A(0,1)必在圓上或圓內(nèi)。解：，C（a，0），當(dāng)時(shí)，聯(lián)想到直線與圓的位置關(guān)系，則有點(diǎn)A（0，1）必在圓上或圓內(nèi)，即點(diǎn)A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。（六）分類討論，避免重復(fù)遺漏 10、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來(lái)，此時(shí)應(yīng)對(duì)進(jìn)行討論。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要， 解得。當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，只要，解得。當(dāng)時(shí)，要使恒成立，只有。 綜上得。解法2：可設(shè)，用一次函數(shù)知識(shí)來(lái)解較為簡(jiǎn)單。我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。此類題本質(zhì)上是利用了一

14、次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方（或下方）即可.11、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。故實(shí)數(shù)的取值范圍:（七）構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想 12、（1990年全國(guó)高考題）設(shè)，其中a為實(shí)數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當(dāng)時(shí)有意義，求a的取值范圍。解：本題即為對(duì)于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來(lái)，得，對(duì)于恒成立。構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域。由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)。于是有的最大值為：，從而可得。（八）利用集合與集合間的關(guān)系在給出的不等式中

15、，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關(guān)系來(lái)求解，即：，則且，不等式的解即為實(shí)數(shù)的取值范圍。例13、當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1） 當(dāng)時(shí)，則問題轉(zhuǎn)化為 （2） 當(dāng)時(shí)，則問題轉(zhuǎn)化為綜上所得：或四、其它類型恒成立問題能成立問題有時(shí)是以不等式有解的形式出現(xiàn)的。1、已知函數(shù)，其中，對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；【分析：】思路、對(duì)在不同區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)和分別求最值，即只需滿足即可簡(jiǎn)解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)對(duì)稱軸x=a1，即或0an(a) 解得a4/5,（注意到a的范圍）從而得a的

16、范圍：0a2時(shí)，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a，由m(a)n(a) 解得an(a) 解得或，（注意到a的范圍）從而得a的范圍：;綜合（1）（2）（3）知實(shí)數(shù)的取值范圍是：(0，4/5)1,22、已知兩函數(shù)，對(duì)任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 解析：對(duì)任意，存在，使得等價(jià)于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，題型二、主參換位法(已知某個(gè)參數(shù)的范圍，整理成關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù))題型三、分離參數(shù)法（欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來(lái)）題型四、數(shù)形結(jié)合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點(diǎn)、根的分布法）五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立

17、,則等價(jià)于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的.1、存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_。解：設(shè)，由有解，又，解得。1、求使關(guān)于p的不等式在p-2,2有解的x的取值范圍。解：即關(guān)于p的不等式有解,設(shè)，則在-2,2上的最小值小于0。(1)當(dāng)x1時(shí)，f(p)關(guān)于p單調(diào)增加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+30,解得1x3;2222(2) 當(dāng)x1時(shí)，f(p)關(guān)于p單調(diào)減少，故fmin(p)=f(2)=x2-10,解得-1x1；(3)當(dāng)x=1時(shí)，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)1(m0)有解；若命題P和命題Q都是真命題，求m的值范圍。解：(1)

18、由P真得：，注意到a在區(qū)間-1,1, ,由于|m2-5m-3|x1-x2|對(duì)任意實(shí)數(shù)a-1,1恒成立，故有解得： m-1或m6或0m5(1)由Q真，不等式|x-2m|-|x|1(m0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m1,解得：m1/2由于（1）（2）都是相公命題，故m的值范圍：1/2m5或m6.舉例（1）已知不等式對(duì)于）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）若不等式對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：（1）由得：對(duì)于）恒成立，因，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以有.（2）注意到對(duì)于恒成立是關(guān)于的一次不等式.不妨設(shè)，則在上單調(diào)遞減，則問題等價(jià)于，所以或，則取值范圍為.小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：恒成

19、立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應(yīng)細(xì)心思考，甄別差異，恰當(dāng)使用，等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混為一體。不等式對(duì)時(shí)恒成立，。即的上界小于或等于；不等式對(duì)時(shí)有解，。 或的下界小于或等于；不等式對(duì)時(shí)恒成立，。即的下界大于或等于；不等式對(duì)時(shí)有解，.。 或的上界大于或等于；高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)強(qiáng)化班第四講（140709）課后練習(xí)答案：一填空選擇題（每小題6分，共60分）1、對(duì)任意的實(shí)數(shù)，若不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍。答案：|x+1|-|x-2| -|(x+1)-(x-2)|=-3,故實(shí)數(shù)的取值范圍：a-32、不等式有解，則的取值范圍是 解：原不等式有解有解，而，所以。3.若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

20、（）O(A) (B) (C) （D） 解析：對(duì),不等式恒成立則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。答案：選B4當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解析: 當(dāng)時(shí)，由得.令，則易知在上是減函數(shù)，所以時(shí)，則.5已知不等式對(duì)任意都成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為分析：已知參數(shù)的范圍，要求自變量的范圍，轉(zhuǎn)換主參元和的位置，構(gòu)造以為自變量作為參數(shù)的一次函數(shù)，轉(zhuǎn)換成，恒成立再求解。解析：由題設(shè)知“對(duì)都成立，即對(duì)都成立。設(shè)（），則是一個(gè)以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則對(duì)，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。 所以對(duì)，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。6已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)分析：與的函數(shù)類型，直接受參數(shù)的影響，所以首先要對(duì)參圖31oxy圖11xy01xy0圖2數(shù)進(jìn)行分類討論，然后轉(zhuǎn)換成不等式的恒成立的問題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題。解析：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，而在上恒成立，顯然不滿足題意；(如圖1)當(dāng)時(shí)，在上遞減且只在上恒成立，而是一個(gè)開口向下且恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。當(dāng)時(shí)，在上遞增且在上恒成立，而是一個(gè)開口向上且恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）的二次函數(shù)，要使對(duì)任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)則只需在上恒成立。(如圖3)則有或解得或，綜上可得即。 故選B。、已知兩函數(shù)，g(