恒成立與存在性問題的解題策略

1、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略一、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型1、恒成立問題的轉化：恒成立；2、能成立問題的轉化：能成立；3、恰成立問題的轉化：在M上恰成立的解集為M另一轉化方法：若在D上恰成立，等價于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價于在D上的最大值.4、 設函數(shù)、，對任意的，存在，使得，則5、設函數(shù)、，對任意的，存在，使得，則6、設函數(shù)、，存在，存在，使得，則7、設函數(shù)、，存在，存在，使得，則8、設函數(shù)、，對任意的，存在，使得，設f(x)在區(qū)間a,b上的值域為A，g(x)在區(qū)間c,d上的值域為B,則AB.9、若不等式在區(qū)間D

2、上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；10、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；恒成立問題的基本類型 在數(shù)學問題研究中經常碰到在給定條件下某些結論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結論成立問題,其表現(xiàn)形式通常有:j在給定區(qū)間上某關系恒成立;k某函數(shù)的定義域為全體實數(shù)R;l某不等式的解為一切實數(shù);m某表達式的值恒大于a等等恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個熱點。恒成立問題在解題過程

3、中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質；直接根據(jù)函數(shù)的圖象。二、恒成立問題解決的基本策略 大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題。等式中的恒成立問題，特別是多項式恒成立問題，常簡化為對應次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個方程組來解決問題的。（一）兩個基本思想解決“恒成立問題”思路1、 思路2、如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習題的實際,采取合理有效的方法進行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導等等方法求函數(shù)f（x）的最值。這類問

4、題在數(shù)學的學習涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學們在日常學習中注意積累。（二）、賦值型利用特殊值求解等式恒成立問題等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.例1如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關于直線x= 對稱，那么a=（ ）.A.1 B.-1 C . D. -.略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=-1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學中從一般到特殊的轉化思想.例（備用）由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+

5、b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) ( )A.10 B.7 C.-1 D.0略解：取x=0，則 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故選D（三）分清基本類型，運用相關基本知識，把握基本的解題策略1、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型,則由數(shù)形結合思想利用一次函數(shù)知識求解,十分簡捷給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n內恒有f(x)0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結論等價于 同理，若在m,n內恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范圍.分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個

6、字母：x及a,關鍵在于該把哪個字母看成是一個變量，另一個作為常數(shù).顯然可將a視作自變量，則上述問題即可轉化為在-2，2內關于a的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.解：原不等式轉化為(x-1)a+x2-2x+10在|a|2時恒成立,設f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,則f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3. 即x(,1)(3,+)此類題本質上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)的問題是復習的重點，同學們要加強學習、歸納、總結，提煉出一些具體的方法，在今后的解題中自覺運用。（1）若二次函數(shù)y=ax

7、2+bx+c(a0)大于0恒成立，則有（2）若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達定理以及根的分布知識求解。類型1：設在R上恒成立，（1） 上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設在區(qū)間上恒成立（1） 當時，上恒成立，上恒成立（2） 當時，上恒成立上恒成立類型3：設在區(qū)間 (- , a上恒成立。f(x)0a0且Da且f(a)0f(x)0a0且Da且f(a)0a0,D0或-b/2a0f(x)0a0,D0或-b/2aa且f(a)g(a)恒成立，則g(a)f(x)min;若對于x取值范圍內的任何一個數(shù)，都有f(x)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最

8、小值)例5.已知三個不等式，要使同時滿足的所有x的值滿足，求m的取值范圍.略解：由得2x3;,構造函數(shù)，畫出圖象，得a3.利用數(shù)形結合解決恒成立問題，應先構造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間的關系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍.例8. 設常數(shù)aR,函數(shù)f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有公共點，則a的取值范圍為。解：1）a=0x=a/2=0時，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2=x=0時，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值為-a=2則與g(x)有交點，即：-2=a0x=0

9、時，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0=x=a/2時，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a=2時與g(x)有交點，即：0a=2綜上所述，-2=a=2時f(x)=3|x|+|2x-a|與g(x)=2-x有交點。三、在恒成立問題中，主要是求參數(shù)的取值范圍問題，是一種熱點題型，介紹一些基本的解題策略，在學習中學會把問題分類、歸類，熟練基本方法。（一）換元引參，顯露問題實質 1、對于所有實數(shù)x，不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：因為的值隨著參數(shù)a的變化而變化，若設，則上述問題實質是“當t為何值時，不等式恒成立”。這是我們較為熟悉的二次函數(shù)問題，它等價于求解關于t的不等式組：。

10、解得，即有，易得。2、設點P（x，y）是圓上任意一點，若不等式x+y+c0恒成立，求實數(shù)c的取值范圍。（二）分離參數(shù)，化歸為求值域問題 3、若對于任意角總有成立，求m的范圍。解：此式是可分離變量型，由原不等式得，又，則原不等式等價變形為恒成立。根據(jù)邊界原理知，必須小于的最小值，這樣問題化歸為怎樣求的最小值。因為 即時，有最小值為0，故。（三）變更主元，簡化解題過程 4、若對于，方程都有實根，求實根的范圍。 解：此題一般思路是先求出方程含參數(shù)m的根，再由m的范圍來確定根x的范圍，但這樣會遇到很多麻煩，若以m為主元，則， 由原方程知，得 又，即解之得或。5、當時，若不等式恒成立，求的取值范圍。（四

11、）圖象解題，形象直觀 6、設，若不等式恒成立，求a的取值范圍。 解：若設，則為上半圓。設，為過原點，a為斜率的直線。在同一坐標系內 作出函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時，只有時成立，即a的取值范圍為。7、當x(1,2)時，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。解：設y1=(x-1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線要使對一切x (1,2),y11,并且必須也只需當x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。故loga21, 10,注意到若將等號兩邊看成是二次函數(shù)y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4，則只需考慮這兩個函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點即可。解

12、：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4, y1的圖象為一個定拋物線 y2的圖象是k=2，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上方有唯一交點，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2）當直線為l1時，直線過點（-4，0），此時縱截距為-8-6a-4=0,a=;當直線為l2時，直線過點（0，0），縱截距為-6a-4=0，a=a的范圍為（五）合理聯(lián)想，運用平幾性質 9、不論k為何實數(shù)，直線與曲線恒有交點，求a的范圍。分析：因為題設中有兩個參數(shù)，用解析幾何中有交點的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來解題是比較困難的。若考慮到直線過定點A（0，1），而曲線為圓,圓心C（a，

13、0），要使直線恒與圓有交點，那么定點A(0,1)必在圓上或圓內。解：，C（a，0），當時，聯(lián)想到直線與圓的位置關系，則有點A（0，1）必在圓上或圓內，即點A（0，1）到圓心距離不大于半徑，則有，得。（六）分類討論，避免重復遺漏 10、當時，不等式恒成立，求x的范圍。解：使用的條件，必須將m分離出來，此時應對進行討論。當時，要使不等式恒成立，只要， 解得。當時，要使不等式恒成立，只要，解得。當時，要使恒成立，只有。 綜上得。解法2：可設，用一次函數(shù)知識來解較為簡單。我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。此類題本質上是利用了一

14、次函數(shù)在區(qū)間m,n上的圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點均在x軸上方（或下方）即可.11、當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：當時，當，即時等號成立。故實數(shù)的取值范圍:（七）構造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想 12、（1990年全國高考題）設，其中a為實數(shù)，n為任意給定的自然數(shù)，且，如果當時有意義，求a的取值范圍。解：本題即為對于，有恒成立。這里有三種元素交織在一起，結構復雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對于恒成立。構造函數(shù)，則問題轉化為求函數(shù)在上的值域。由于函數(shù)在上是單調增函數(shù)，則在上為單調增函數(shù)。于是有的最大值為：，從而可得。（八）利用集合與集合間的關系在給出的不等式中

15、，若能解出已知取值范圍的變量，就可利用集合與集合之間的包含關系來求解，即：，則且，不等式的解即為實數(shù)的取值范圍。例13、當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：（1） 當時，則問題轉化為 （2） 當時，則問題轉化為綜上所得：或四、其它類型恒成立問題能成立問題有時是以不等式有解的形式出現(xiàn)的。1、已知函數(shù)，其中，對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；【分析：】思路、對在不同區(qū)間內的兩個函數(shù)和分別求最值，即只需滿足即可簡解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)對稱軸x=a1，即或0an(a) 解得a4/5,（注意到a的范圍）從而得a的

16、范圍：0a2時，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a，由m(a)n(a) 解得an(a) 解得或，（注意到a的范圍）從而得a的范圍：;綜合（1）（2）（3）知實數(shù)的取值范圍是：(0，4/5)1,22、已知兩函數(shù)，對任意，存在，使得，則實數(shù)m的取值范圍為 解析：對任意，存在，使得等價于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，題型二、主參換位法(已知某個參數(shù)的范圍，整理成關于這個參數(shù)的函數(shù))題型三、分離參數(shù)法（欲求某個參數(shù)的范圍，就把這個參數(shù)分離出來）題型四、數(shù)形結合（恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系（零點、根的分布法）五、不等式能成立問題（有解、存在性）的處理方法若在區(qū)間D上存在實數(shù)使不等式成立

17、,則等價于在區(qū)間D上；若在區(qū)間D上存在實數(shù)使不等式成立,則等價于在區(qū)間D上的.1、存在實數(shù)，使得不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為_。解：設，由有解，又，解得。1、求使關于p的不等式在p-2,2有解的x的取值范圍。解：即關于p的不等式有解,設，則在-2,2上的最小值小于0。(1)當x1時，f(p)關于p單調增加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+30,解得1x3;2222(2) 當x1時，f(p)關于p單調減少，故fmin(p)=f(2)=x2-10,解得-1x1；(3)當x=1時，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)1(m0)有解；若命題P和命題Q都是真命題，求m的值范圍。解：(1)

18、由P真得：，注意到a在區(qū)間-1,1, ,由于|m2-5m-3|x1-x2|對任意實數(shù)a-1,1恒成立，故有解得： m-1或m6或0m5(1)由Q真，不等式|x-2m|-|x|1(m0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m1,解得：m1/2由于（1）（2）都是相公命題，故m的值范圍：1/2m5或m6.舉例（1）已知不等式對于）恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（2）若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.分析：（1）由得：對于）恒成立，因，所以，當時等號成立.所以有.（2）注意到對于恒成立是關于的一次不等式.不妨設，則在上單調遞減，則問題等價于，所以或，則取值范圍為.小結：恒成立與有解的區(qū)別：恒成

19、立和有解是有明顯區(qū)別的，以下充要條件應細心思考，甄別差異，恰當使用，等價轉化，切不可混為一體。不等式對時恒成立，。即的上界小于或等于；不等式對時有解，。 或的下界小于或等于；不等式對時恒成立，。即的下界大于或等于；不等式對時有解，.。 或的上界大于或等于；高中數(shù)學難點強化班第四講（140709）課后練習答案：一填空選擇題（每小題6分，共60分）1、對任意的實數(shù)，若不等式恒成立，那么實數(shù)的取值范圍。答案：|x+1|-|x-2| -|(x+1)-(x-2)|=-3,故實數(shù)的取值范圍：a-32、不等式有解，則的取值范圍是 解：原不等式有解有解，而，所以。3.若對任意,不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

20、（）O(A) (B) (C) （D） 解析：對,不等式恒成立則由一次函數(shù)性質及圖像知，即。答案：選B4當時，不等式恒成立，則的取值范圍是 .解析: 當時，由得.令，則易知在上是減函數(shù)，所以時，則.5已知不等式對任意都成立，那么實數(shù)的取值范圍為分析：已知參數(shù)的范圍，要求自變量的范圍，轉換主參元和的位置，構造以為自變量作為參數(shù)的一次函數(shù)，轉換成，恒成立再求解。解析：由題設知“對都成立，即對都成立。設（），則是一個以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則對，為上的單調遞增函數(shù)。 所以對，恒成立的充分必要條件是，于是的取值范圍是。6已知函數(shù)，若對于任一實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ )A(0，2) B(0，8) C(2，8) D(，0)分析：與的函數(shù)類型，直接受參數(shù)的影響，所以首先要對參圖31oxy圖11xy01xy0圖2數(shù)進行分類討論，然后轉換成不等式的恒成立的問題利用函數(shù)性質及圖像解題。解析：當時，在上恒成立，而在上恒成立，顯然不滿足題意；(如圖1)當時，在上遞減且只在上恒成立，而是一個開口向下且恒過定點（0，1）的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。當時，在上遞增且在上恒成立，而是一個開口向上且恒過定點（0，1）的二次函數(shù)，要使對任一實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)則只需在上恒成立。(如圖3)則有或解得或，綜上可得即。 故選B。、已知兩函數(shù)，g(