應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)方法

1、 第二節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)與參數(shù)估計(jì)方法本節(jié)將討論如何通過樣本去推斷總體，由樣本推斷總體是以各種統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布為基礎(chǔ)的。對(duì)總體的推斷，可以通過兩個(gè)途徑來實(shí)現(xiàn)。一是首先對(duì)所估計(jì)的總體提出一個(gè)假設(shè)，例如假設(shè)這個(gè)總體的均值等于某個(gè)定值，然后以樣本為依據(jù)，以統(tǒng)計(jì)量為工具去推斷這個(gè)假設(shè)是否可以接受。如果可以接受，說明總體均值；否則，說明。二是通過統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)。前者稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)，后者稱為總體參數(shù)估計(jì)。1 假設(shè)檢驗(yàn)原理和方法在生物學(xué)試驗(yàn)研究中，要檢驗(yàn)?zāi)撤N試驗(yàn)方法的效果、某個(gè)品種的優(yōu)劣、某種藥品的療效等，所得試驗(yàn)數(shù)據(jù)往往存在著一定的差異，這種差異是由隨機(jī)誤差引起的，還是由試驗(yàn)處理的效應(yīng)造成的？這個(gè)問題必

2、須經(jīng)過一番分析才能給出答案，因?yàn)樵谠囼?yàn)結(jié)果中往往是處理效應(yīng)和隨機(jī)效應(yīng)誤差混在一起，從表面上看，不易區(qū)分開，因此必須通過概率計(jì)算，采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法，才能作出正確的推斷。11 假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理例：用某種動(dòng)物作試驗(yàn)材料，要求動(dòng)物的平均體重，若需要再飼養(yǎng)；若則應(yīng)淘汰。又知?jiǎng)游矬w重服從正態(tài)分布，且由以往經(jīng)驗(yàn)知?，F(xiàn)從一批試驗(yàn)的動(dòng)物中，隨機(jī)抽取10只，稱得體重（g）:為問這批動(dòng)物能否供試驗(yàn)用？解：若用X表示這批動(dòng)物的體重，顯然，其中未知。 針對(duì)樣本觀測值如何推斷還是，我們做如下分析；（1） 對(duì)所研究的總體提出一個(gè)假設(shè) 為了得到對(duì)總體均值的推斷，可以假設(shè)總體均值等于給定的值，即原假設(shè)： H0： 或 H0：

3、與原假設(shè)相對(duì)立的假設(shè)稱為備擇假設(shè)，備擇假設(shè)就是當(dāng)H0被拒絕后，可供選擇的假設(shè)；H1： ； 或 H1：； 或 H1： 備擇假設(shè)的提出要視具體問題而定。（2） 在上述假設(shè)下，選擇一個(gè)樣本統(tǒng)計(jì)量又稱檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，用以作為檢驗(yàn)H0的工具，并考查該統(tǒng)計(jì)量的分布。我們選擇統(tǒng)計(jì)量 這里 稱為樣品的標(biāo)準(zhǔn)誤，這里，而且g，n=10，由樣本觀測值可以算出該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值（3）確定原假設(shè)H0的拒絕域前面算出的U=0.6325，是在承認(rèn)H0成立的前提下得到的，但是，現(xiàn)在我們還不知道實(shí)驗(yàn)動(dòng)物體重這個(gè)總體是否真的符合該假設(shè)。如果上面算出的U值是不合理的，就表明我們所做的原假設(shè)H0是不合適的，這時(shí)我們就應(yīng)該拒絕或否定原假設(shè)。

4、使得我們拒絕或否定原假設(shè)H0的U值的全體叫做原假設(shè)H0的拒絕域。拒絕域的確定關(guān)鍵在于分清哪些U值是“合理”的，而那些是“不合理”的。它們的依據(jù)是人們?cè)趯?shí)踐中廣泛采用的“小概率原則”。所謂“小概率原則”是指小概率事件在一次觀測或試驗(yàn)中一般是不會(huì)發(fā)生的，如果發(fā)生，就認(rèn)為這個(gè)現(xiàn)象是不合適的。由前面分析我們知道，給定對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們總可以找到這樣的臨界值，使得 如果把取得相當(dāng)小，如，通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值表，得到，即如果在一次觀測中，上述時(shí)間發(fā)生了，即滿足條件按小概率原則，就應(yīng)該拒絕否定原假設(shè)H0，也就是得到了H0的拒絕域； 或 由于拒絕域分布在的左右兩側(cè)，所以稱這類檢驗(yàn)為雙側(cè)檢驗(yàn)，又稱U檢

5、驗(yàn)。在實(shí)際問題中，還經(jīng)常需要檢驗(yàn)是否成立，此時(shí)在顯著性水平下，檢驗(yàn)假設(shè) H0： H1： 是否相容，選統(tǒng)計(jì)量對(duì)于給定的水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)臨界值，使得從而得到H0的拒絕域?yàn)?；這時(shí)H0的拒絕域在的一側(cè)，稱為單側(cè)檢驗(yàn)。（4） 對(duì)原假設(shè)進(jìn)行推斷 在以上例題中，由樣本觀測值算得U=0.6325，它沒有落入拒絕域：，因此，我們可以認(rèn)為H0是相容的，即故這批動(dòng)物可供實(shí)驗(yàn)用。 否則，若算得U值落入拒絕域，就有理由懷疑H0的真實(shí)性，而接受備擇假設(shè)。需要說明的是，對(duì)原假設(shè)進(jìn)行推斷與的選取有關(guān)，在的水平下否定原假設(shè)，稱差異性是顯著的；而在的水平下否定原假設(shè)，稱差異性是極顯著的，以上檢驗(yàn)稱為顯著性檢驗(yàn)。12 假

6、設(shè)檢驗(yàn)的方法、步驟 從以上的討論中，可歸納出假設(shè)檢驗(yàn)的方法、步驟如下：（1） 提出假設(shè)：根據(jù)問題的實(shí)際意義，或重點(diǎn)考察的內(nèi)容，提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)，寫明其具體內(nèi)容。如等等； 原假設(shè)是假設(shè)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)，它可能有以下幾個(gè)來源（a）依據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)或某些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果；（b）依據(jù)某種理論或某種模型；（c）根據(jù)事先所做的某種規(guī)定提出的。 與原假設(shè)對(duì)立的備擇假設(shè)，是總體參量中除去原假設(shè)參量取值之外的某個(gè)值或某些值，其可能來源是：（a）除原假設(shè)外的可能值；（b）希望出現(xiàn)的值；（c）擔(dān)心會(huì)出現(xiàn)的值；（d）有重要經(jīng)濟(jì)意義或其它意義的值。 （2）選擇檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量，并確定其分布（依據(jù)所要檢驗(yàn)的參數(shù)等，選擇合適的統(tǒng)

7、計(jì)量）； （3）確定拒絕域：在給定的水平下，查所選統(tǒng)計(jì)量服從的分布表，求出臨界值，并根據(jù)小概率原則確定H0的拒絕域； 關(guān)于顯著性水平的選擇，要根據(jù)實(shí)際問題而定。 （4）作出判斷： 由樣本觀測值計(jì)算出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值，若其值落入拒絕域，就拒絕H0；否則，就認(rèn)為H0是相容的。 當(dāng)H0相容時(shí)，對(duì)于原假設(shè)可以有以下幾種解釋：（a）原假設(shè)是真實(shí)的，并抽出一個(gè)我們所見到的樣本；（b）可能非常接近；（c）抽樣結(jié)果符合原假設(shè)的值，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值與的差異是由偶然因素造成的。 若拒絕H0，可有如下解釋： （a）不可能接近； （b）若原假設(shè)是真實(shí)的，抽到一個(gè)我們所見到的樣本可能性很?。?（c）抽樣結(jié)果不符合原假設(shè)

8、的值，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與間的差異（在水平上），不能用偶然因素解釋，表明該差異還有處理效應(yīng)的作用。2 正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 21 單個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)211 方差已知，總體均值的檢驗(yàn)U檢驗(yàn) 現(xiàn)在給出檢驗(yàn)的基本步驟：1）從方差已知的正態(tài)總體中，抽取容量為n的樣本；2）提出原假設(shè) H0： 備擇假設(shè)可區(qū)分為以下三種類型：（1） （已知不可能小于）（2） （已知不可能大于）（3） （包括3）確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量4）對(duì)于給定的顯著性水平，求出的拒絕域（分三種類型）（1）（2）（3）5）把檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量的觀測值計(jì)算出來，視其是否落入拒絕域，作出拒絕或接受的結(jié)論。例： 已知豌豆籽粒重量X服從正態(tài)分布N(37.72,

9、 0.332)(單位：g)；在改善栽培條件后，隨機(jī)抽取9粒，測得平均重量。若標(biāo)準(zhǔn)差仍為0.33,問改善栽培條件是否顯著提高豌豆籽粒重量。解：按以上解題過程；（1） 已知豌豆籽粒重量N(37.72, 0.332),且已知（2）假設(shè) （由于改善栽培條件，只會(huì)使籽粒重量提高）（3） 由于方差已知，故可使用U檢驗(yàn)法，選統(tǒng)計(jì)量經(jīng)計(jì)算得U=1.82(4) 對(duì)，確定的拒絕域?yàn)椋?） 判斷： 由于 ,即U落入拒絕域，則認(rèn)為栽培條件可以顯著提高豌豆籽粒重量。212方差未知時(shí)總體均值的檢驗(yàn)t檢驗(yàn) 設(shè)樣本來自正態(tài)總體，要檢驗(yàn)假設(shè)H0：， 由于未知，故已不再是統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)然不能用來檢驗(yàn)H0，可以考慮用樣本方差代替總體方

10、差，從而得到統(tǒng)計(jì)量T統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-1的t分布。 對(duì)于給定的水平，查t分布表可得，使得從而得到的拒絕域?yàn)槿魴z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值滿足： ，則拒絕；否則接納，這種情況屬于雙側(cè)檢驗(yàn)問題。為了方便起見，我們把單個(gè)正態(tài)總體均值假設(shè)檢驗(yàn)的拒絕域總結(jié)在如下表內(nèi)：正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)表在顯著水平下拒絕域檢驗(yàn)類型方差已知方差未知雙側(cè)單側(cè)單側(cè)例：正常人的脈搏平均每分鐘72次，某醫(yī)生測得10例四乙基鉛中毒患者的脈搏數(shù)（次/分）如下：54 67 68 78 70 66 67 70 65 69已知人的脈搏次數(shù)服從正態(tài)分布，試問四乙基鉛中毒患者和正常人的脈搏有無明顯差異？（解：用X表示人的脈搏次數(shù)服從正態(tài)分布，由題

11、意設(shè)，未知，要檢驗(yàn)， 選T統(tǒng)計(jì)量：這里n=10，計(jì)算得到；對(duì)于，查自由度n-1=9的t分布表，得經(jīng)計(jì)算的T的觀測值為此，拒絕，即在水平下，認(rèn)為四乙基鉛中毒患者脈搏與正常人有顯著差異。22 單個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)檢驗(yàn) 檢驗(yàn)是建立在分布的基礎(chǔ)上的，設(shè)隨機(jī)變量，從中抽得容量為n的隨機(jī)樣本，計(jì)算出樣本方差，則服從自由度為n-1的分布。 檢驗(yàn)的方法步驟與U檢驗(yàn)相同，我們討論均值未知，方差的假設(shè)檢驗(yàn)，分三種類型來討論，檢驗(yàn)結(jié)果如下表所示：未知時(shí)，正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)表在顯著水平下的拒絕域 或例： 一個(gè)混雜的小麥品種，株高標(biāo)準(zhǔn)差，經(jīng)提純后隨機(jī)抽取10株，株高分別為；90， 105， 101， 95，

12、100， 100， 101， 105， 93， 97（單位：cm），考察提純后的群體是否比原來群體整齊？解：已知小麥株高服從正態(tài)分布，現(xiàn)在要檢驗(yàn)假設(shè)， 它表示小麥經(jīng)過提純后株高更整齊，不會(huì)變得更離散?，F(xiàn)取，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量選為本例屬于單側(cè)檢驗(yàn)問題，經(jīng)查分布表得故拒絕域?yàn)橛?n-1=9， ，代入計(jì)算得的觀測值2.088判斷： 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值落入拒絕域，說明提純后的株高高度更整齊。23 兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)和的差異顯著性檢驗(yàn) 上面討論了單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，它是把樣本統(tǒng)計(jì)量的觀測值與原假設(shè)所提出供的總體參數(shù)做比較，這種檢驗(yàn)要求我們事先能提出合理的參數(shù)假設(shè)值，并對(duì)參數(shù)有某種意義的備擇值，但在實(shí)際工

13、作中很難做到，因而限制了這種方法在實(shí)際工作中的應(yīng)用。 為了解決這個(gè)問題，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常常選擇兩個(gè)樣本，一個(gè)作為處理，一個(gè)作為對(duì)照，在兩個(gè)樣本間進(jìn)行比較。下面分別對(duì)不同情況進(jìn)行研究和討論。231 兩個(gè)總體方差相等（齊性）的假設(shè)檢驗(yàn)F檢驗(yàn) 因?yàn)閷?duì)兩個(gè)正態(tài)總體均值的差異性做檢驗(yàn)時(shí)，與和是否相等有關(guān)；但在對(duì)方差的差異性檢驗(yàn)時(shí)與無關(guān)。因此，先講關(guān)于方差相等的檢驗(yàn)。為了比較和的差異是否顯著，我們比較樣本方差和的差異，若和的差異顯著，則可推斷和間存在顯著差異。 現(xiàn)在我們考察和的比，注意到當(dāng)=時(shí)，既有其檢驗(yàn)步驟如下：1）假定從兩個(gè)正態(tài)總體中，獨(dú)立地抽取容量分別為和兩個(gè)樣本，和，計(jì)算出和，總體平均數(shù)可以相等，

14、也可以不等；2）假設(shè)檢驗(yàn)為： 備擇檢驗(yàn)有三種不同情況：（1）（2）（3）3）選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量4）對(duì)于給定的顯著性水平，查F表確定拒絕域5）進(jìn)行推斷以上步驟及結(jié)果可用下表表示；兩個(gè)正態(tài)總體方差相等的假設(shè)檢驗(yàn)表未知時(shí)，在水平下的拒絕域或例： 測定20位青年男子和20為老年男子的血壓值數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，而，取，問老年人血壓個(gè)體間波動(dòng)是否顯著高于青年人？解：人類的血壓值是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，用表示青年人的血壓值， 表示老年人的血壓值，對(duì)于給定的時(shí)；假設(shè)檢驗(yàn)： 備擇檢驗(yàn)： 統(tǒng)計(jì)量為：對(duì)于，查F分布表得：落入拒絕域，即認(rèn)為老年人的血壓值在個(gè)體間的波動(dòng)顯著高于青年人。232 方差已知時(shí)，兩個(gè)正態(tài)總體均值間差

15、異顯著性的檢驗(yàn)U檢驗(yàn) 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，是來自正態(tài)總體的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，又為兩個(gè)樣本的均值；則分別是兩個(gè)樣本的方差。 現(xiàn)在已知，要檢驗(yàn)假設(shè)；備擇假設(shè)有三種情況：（1） （2）（3）因?yàn)閮蓚€(gè)樣本是從兩個(gè)正態(tài)總體中獨(dú)立抽取的，故所以，當(dāng)成立的條件下故選U為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中分子為兩個(gè)樣本的均值差，而分母為兩個(gè)總體的均值差的標(biāo)準(zhǔn)誤，記作；故有對(duì)于給定的值，可以推出上述的備擇假設(shè)的拒絕域分別為（1）（2）（3）例：根據(jù)歷史資料知道某種小麥的每平方米的產(chǎn)量服從正態(tài)分布，且，今從該品種的兩塊地上抽樣調(diào)查，甲塊地取容量12的樣本，得產(chǎn)量平均數(shù)，乙塊地取容量8的樣本，得產(chǎn)量平均數(shù)。試比較甲乙兩塊

16、地的平均產(chǎn)量是否有明顯差異？解：根據(jù)題意，甲乙兩塊地的每平方米的產(chǎn)量X，Y服從正態(tài)分布和現(xiàn)為已知，我們要檢驗(yàn)選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：對(duì)于給定的，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得經(jīng)計(jì)算得：推斷： 沒有落入拒絕域，接受，即兩塊地的平均產(chǎn)量沒有明顯差異。233方差未知時(shí)，但時(shí)，兩均值間差異顯著性的檢驗(yàn)成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn) 成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)，在兩均值檢驗(yàn)中應(yīng)用得最廣泛，它的檢驗(yàn)程序與前邊所講的U檢驗(yàn)基本相同，只是二者所使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量不同，成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)所使用的統(tǒng)計(jì)量為其中在下變成這里是和分別以各自的自由度為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)，稱之為合并的方差，用它來估計(jì)，恰好是樣本均值差的標(biāo)準(zhǔn)誤，既所以，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)的，備擇假設(shè)及其相

17、應(yīng)的拒絕域分別為：（1）時(shí)，拒絕；（2）時(shí)，拒絕；（3）時(shí)，拒絕。例：用兩種不同的配方生產(chǎn)同一種材料，對(duì)第一種配方生產(chǎn)的材料進(jìn)行7次實(shí)驗(yàn)，測得材料的平均強(qiáng)度，標(biāo)準(zhǔn)差；對(duì)第二種配方生產(chǎn)的材料進(jìn)行8次實(shí)驗(yàn)，測得材料的平均強(qiáng)度，標(biāo)準(zhǔn)差；已知兩種工藝生產(chǎn)的材料強(qiáng)度均服從正態(tài)分布，在的水平下，能否認(rèn)為第一種配方生產(chǎn)的材料強(qiáng)度低于第二種配方生產(chǎn)的材料強(qiáng)度？解：第一步進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)：在為真的條件下，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)于，查F分布表得：而統(tǒng)計(jì)量的值，所以有故在水平下，接受，即可以認(rèn)為兩種配方生產(chǎn)的材料強(qiáng)度的方差相等。也就是說，可以認(rèn)為兩個(gè)正態(tài)總體方差齊性：。第二步，進(jìn)行兩個(gè)正態(tài)總體均值差異性的檢驗(yàn)，也就是要在方差

18、未知但相等條件下來檢驗(yàn)假設(shè)：故選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：對(duì)于給定，查自由度的臨界值，又合并方差而故得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值由于落入拒絕域，即可以認(rèn)為第一種配方生產(chǎn)的材料強(qiáng)度低于第二種配方生產(chǎn)的材料強(qiáng)度。3 樣本頻率的假設(shè)檢驗(yàn) 許多生物和其它試驗(yàn)的結(jié)果是用頻率（或百分?jǐn)?shù)、成數(shù)）表示的，這種頻率是由計(jì)算某一屬性的個(gè)體數(shù)目求出的，屬間斷性的統(tǒng)計(jì)資料，它與連續(xù)性的測量資料是不同的。理論上，這類頻率的假設(shè)檢驗(yàn)應(yīng)按二項(xiàng)分布進(jìn)行，但是，如果樣本容量n較大，p不太小，np和nq又均不小于5時(shí)，二項(xiàng)分布趣于正態(tài)分布，從而可將頻率資料作正態(tài)分布處理，并用U統(tǒng)計(jì)量作出近似的檢驗(yàn)。31 單個(gè)樣本頻率的假設(shè)檢驗(yàn) 在科學(xué)研究中，有時(shí)需

19、要檢驗(yàn)一個(gè)樣本頻率與已知二項(xiàng)總體頻率差異是否顯著，即檢驗(yàn)該樣本是否來自某二項(xiàng)總體。這類問題就是樣本頻率與總體頻率顯著性檢驗(yàn)問題，其一般提法是： 設(shè)有一樣本頻率，n為樣本容量，x為n次觀測中某事件發(fā)生的次數(shù)。設(shè)樣本頻率所在二項(xiàng)總體的頻率為p，p0為已知的二項(xiàng)總體頻率。我們的任務(wù)是通過差值p-p0來推斷p與p0是否相同，此時(shí)原假設(shè) 備擇假設(shè) 顯然應(yīng)該進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn)； 當(dāng)和大于30時(shí)，選作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，其中為樣本頻率的標(biāo)準(zhǔn)誤。當(dāng)和均大于5，而又小于30時(shí)，選擇統(tǒng)計(jì)量（成立下）來檢驗(yàn)，其中32 兩個(gè)樣本頻率的假設(shè)檢驗(yàn) 這類問題的一般提法是： 設(shè)有兩個(gè)樣本頻率這里為第個(gè)樣本的容量，為次觀測或試驗(yàn)中某事件

20、出現(xiàn)的次數(shù)（i=1，2），又是第個(gè)樣本頻率所在二項(xiàng)總體的頻率（i=1，2），現(xiàn)在的任務(wù)是通過來推斷和是否相同。此時(shí)，兩個(gè)樣本的總體方差相等，即原假設(shè) ， 備擇假設(shè) 屬于雙側(cè)檢驗(yàn)。當(dāng)均小于30時(shí)，需要進(jìn)行連續(xù)性矯正，取作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（當(dāng)均小于30時(shí)，可用代替作t檢驗(yàn)），其中是兩個(gè)總體頻率已知時(shí)，兩個(gè)樣本頻率差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。 當(dāng)兩個(gè)總體的頻率未知，而的條件下，可用兩個(gè)樣本頻率的加權(quán)平均值作為和的估計(jì)，這時(shí)， 因而兩個(gè)樣本頻率差數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為：在成立的條件下作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，近似服從N（0，1）分布。當(dāng)均大于30時(shí)，可不進(jìn)行連續(xù)性矯正，這時(shí)檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為兩者均屬于U檢驗(yàn)。例1：調(diào)查低洼地小麥378株，其

21、中有銹病的342株，銹病率90.50%;調(diào)查高坡地小麥396株（），其中有銹病的313株（，銹病率79%（）。試檢驗(yàn)兩塊麥地的銹病率有無顯著差異？解：假設(shè)； 備擇：對(duì)水平，作雙側(cè)檢驗(yàn)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，又均大于30，不作連續(xù)性矯正，經(jīng)計(jì)算；， 統(tǒng)計(jì)量的觀測值由于， 故拒絕，即兩塊麥田的銹病率有極顯著差異。4 參數(shù)估計(jì) 參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的主要內(nèi)容之一，在許多實(shí)際工作中，我們往往知道總體的分布類型，但不知道其參數(shù)值（如均值，方差等），參數(shù)估計(jì)就是根據(jù)樣本觀測值來估計(jì)總體的未知參數(shù)。 參數(shù)估計(jì)通常分為兩類：一是點(diǎn)估計(jì)，就是以某個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量的觀測值作為未知參數(shù)的估計(jì)值；二是區(qū)間估計(jì)，就是用兩個(gè)統(tǒng)

22、計(jì)量的觀測值所確定的區(qū)間來估計(jì)未知參數(shù)的大致范圍。41 點(diǎn)估計(jì)用來估計(jì)總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計(jì)量是很多的，例如可用樣本均值，也可用樣本的某些加權(quán)平均值 （為的權(quán)值），來估計(jì)總體均值。同樣，可用樣本方差，也可用來估計(jì)總體方差。411 點(diǎn)估計(jì)量的求法 求點(diǎn)估計(jì)量的方法，常用的有矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法兩種。（1）矩估計(jì)法 矩估計(jì)法就是估計(jì)量的最古老的方法，其具體做法是：以樣本矩去估計(jì)總體響應(yīng)的矩，以樣本矩的函數(shù)去估計(jì)總體矩的函數(shù)。 設(shè)總體X的分布函數(shù)為，其中為未知參數(shù)，而為抽自總體X的樣本。由大數(shù)定律可知，對(duì)任給定，總有，故當(dāng)n較大時(shí)，有近似式注意到，總體X的各階原點(diǎn)矩與X的分布有關(guān)，是參數(shù)的函數(shù)。如X

23、服從正態(tài)分布，則，而，因此上式實(shí)際上是關(guān)于的r元聯(lián)立方程組，設(shè)其解為，顯然，這些解是樣本的函數(shù)。 若用作為的估計(jì)量，這種估計(jì)量稱為矩估計(jì)量，這種求估計(jì)量的方法叫矩估計(jì)法。矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)在于并不需要知道總體的分布形式，適用范圍廣，然而，當(dāng)總體的分布類型已知時(shí)，如果我們?nèi)杂镁毓烙?jì)法，那將浪費(fèi)很多已知的信息，顯然是不可取的。例1：設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布密度為其中，樣本為，試求的矩估計(jì)量。解：因?yàn)?，由矩估?jì)法，令解得的矩估計(jì)量例2： 設(shè)總體X服從正態(tài)分布,為抽自總體X的樣本，試求未知參數(shù)和的矩估計(jì)量。解：對(duì)于正態(tài)總體，而由矩估計(jì)法有解上述方程組得到和的矩估計(jì)量為（2）最大似然估計(jì)法 最大

24、似然估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)是充分利用了分布類型已知的條件，所得估計(jì)量一般都具有較優(yōu)良的性質(zhì)。1 總體X為離散型隨機(jī)變量 設(shè)總體X為離散型隨機(jī)變量，其分布律已知，其中為未知參數(shù)，為來自總體X的一組樣本觀測值。 由于樣本可以看作是n個(gè)相互獨(dú)立且與總體X同分布的隨機(jī)變量，而就是n維隨機(jī)變量在一次觀測或試驗(yàn)中所得到的觀測值，這表明事件在一次事件中發(fā)生了，說明該事件是大概率事件，其概率 = 應(yīng)該很大。又因?yàn)樵摳怕适菂?shù)的函數(shù)，其值大小依賴于，若存在一個(gè)，使該概率值達(dá)到最大值，我們就以作為的估計(jì)量。由于離散型總體X的分布律形式已知，為未知參數(shù)，為樣本觀測值，故僅是的函數(shù)，記作，即=通常稱為似然函數(shù)。若=時(shí)，似然函數(shù)

25、達(dá)到最大值，即則稱為參數(shù)的最大似然估計(jì)值；稱為的最大似然估計(jì)量。設(shè)是的可微函數(shù)，要使為最大值，應(yīng)為方程的解。又由于是的單調(diào)函數(shù)，它們有相同的最大值點(diǎn)，故一般由方程解出。例： 設(shè)某車間生產(chǎn)一披產(chǎn)品，其次品率為p，今從中抽取n件，發(fā)現(xiàn)其中有m件次品，試用最大似然估計(jì)估計(jì)法估計(jì)其次品率p。解：用表示第i次抽取到的次品數(shù)，顯然有服從01分布，且概率分布于是似然函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)p求導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)為零，得似然方程解之，得到參數(shù)p的最大似然估計(jì)值為而為參數(shù)p的最大似然估計(jì)量。2 總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度函數(shù)形式已知，而為未知參數(shù)，為樣本觀測值，稱為似然函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若

26、似然函數(shù)取最大值，即則稱為參數(shù)的最大似然估計(jì)值；稱為的最大似然估計(jì)量。由似然方程 或 解出。例： 設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布密度樣本觀測值，求的最大似然估計(jì)量。解：似然函數(shù)取對(duì)數(shù)得對(duì)求導(dǎo)，并令其為零，得似然方程解得的最大似然估計(jì)值為 的最大似然估計(jì)量為 與矩估計(jì)量一致。 當(dāng)總體X的分布密度中含有s個(gè)未知參數(shù)時(shí)，其似然函數(shù)仍為它是參數(shù)的多元函數(shù)。當(dāng)或偏導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，可由方程組或 解出的最大似然函數(shù)。例： 設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，求未知參數(shù)和的最大似然估計(jì)量。解：設(shè)為正態(tài)總體的一組樣本觀測值，由于X的分布密度故似然函數(shù)取對(duì)數(shù)對(duì)和求偏導(dǎo)，得似然方程解得和最大似然估計(jì)值為其最大似然估計(jì)量為4

27、12 估計(jì)量優(yōu)劣的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn) 既然，總體參數(shù)可以有各種不同的估計(jì)量，那么，哪一種是最好的估計(jì)是問題的關(guān)鍵，一般來說，一個(gè)好的估計(jì)量應(yīng)具備無偏差性，有效性和一致性三個(gè)條件。（1）無偏差 若一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的理論平均值，即其數(shù)學(xué)期望等于總體的參數(shù)，則稱這個(gè)統(tǒng)計(jì)量為無偏估計(jì)量，樣本均值的數(shù)學(xué)期望等于總體均值，即，故樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)量，記作樣本方差的理論平均值等于總體方差，即，所以樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)量，記作（2）有效性 一個(gè)未知參數(shù)的無偏估計(jì)量往往不止一個(gè)，對(duì)于數(shù)學(xué)期望，樣本均值是它的無偏估計(jì)量，樣本的第一個(gè)觀測值也是的無偏差估計(jì)量（因?yàn)榈凇Ｈ绻傮w的方差存在，我們還可以進(jìn)一步計(jì)算兩個(gè)估

28、計(jì)量的方法來評(píng)價(jià)它們的優(yōu)劣，當(dāng)然方差小的更好。事實(shí)上， 故有； 以上結(jié)果說明，用作為的估計(jì)量比更有效。一般的，若都是參數(shù)的無偏估計(jì)量，且，則稱比更有效。（3）一致性 在樣本容量n一定的條件下，我們討論了估計(jì)量的無偏差性，有效性。當(dāng)容量n無限增大時(shí)，估計(jì)量接近待估計(jì)參數(shù)的可能性會(huì)更大，估計(jì)也越精確，這就是估計(jì)量的一致性?？梢员硎救缦拢涸O(shè)是參數(shù)的估計(jì)量，如果對(duì)于任意給定的，均有則稱是參數(shù)的一致估計(jì)量。42 正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì) 對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的另一種方式的區(qū)間估計(jì)，一般做法是，確定一個(gè)區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的概率。的區(qū)間估計(jì)依已知和未知有所不同。421 已知 從正態(tài)總體中，抽取容量為n的

29、樣本，樣本的均值，標(biāo)準(zhǔn)化的樣本均值，U值落入任一區(qū)間的概率可通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值查表得出，如U落入?yún)^(qū)間（-1.96, 1.96）的概率為P(-1.96 U 1.96)=0.95或422 未知未知時(shí)，可用其無偏估計(jì)量代替，變量服從自由度為n-1的t分布，由可以得到的的置信區(qū)間為43 兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)這是在一定的置信水平下，估計(jì)兩總體均值與相差多少，估計(jì)方法依兩總體方差是否相等而不同。431 在兩個(gè)正態(tài)總體方差是否已知或方差未知的大樣本時(shí) 設(shè)兩個(gè)正態(tài)總體方差分別是和，這時(shí)兩總體的樣本均值和（容量分別為）將分別服從（或近似服從）均值為，方差為的正態(tài)分布，從而兩樣本均值之差于是不難得出的

30、置信水平為的置信區(qū)間為其中是正態(tài)分布的臨界值，而若兩個(gè)總體的方差未知，但樣本容量和充分大時(shí)，由中心極限定理可知， 將近似服從正態(tài)分布，若記則的置信水平為的置信區(qū)間仍然為例： 測得100頭某品種牛的體高，得到；而另一品種120頭牛的體高均值,問該兩種牛的體高至少能差多少，至多能差多少？解：由于兩個(gè)樣本的容量都很大，故可看成大樣本的情形，這時(shí)對(duì)于查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布臨界值表，得到，于是的0.95的置信區(qū)間=即在置信水平95%下，兩個(gè)品種牛的體高至少差1.046cm,至多差2.953cm。432 兩個(gè)總體方差未知但相等時(shí) 設(shè)兩個(gè)樣本的容量分別為，為它們的樣本均值，若記可以用t分布函數(shù)表示對(duì)于給定的置信水平，查分布表可得，使得從而得出的置信