狄利克雷定理的證明

1、為證明定理本身，我先證明幾個引理。引理1(B essel不等式)：若函數(shù)f(x)在-二，二上可積，則有 a2°°i(an2 bn2)f 2(x)dx2 ng證明:3T m2 ma設(shè) Sm(x) (an cosnx bn sinnx)2n 二兀-2TtTtJEf (x)-Sm(x)2dxf 2(x)dx-2 f(x)Sm(x)dxSm2(x)dx-31-31-31-TLam:f (x)Sm(x)dx =f(x)dx、(anf (x)cosnxdx bnf (x)sin nxdx)2nA兀仃mf (x)Sm(x)dx ra。 八(anbn )心-：-：a 2 m2-mSCxjd

2、x = 丄 ' (an cosnx bn sinnx) dxa02 川理二(an2 bn2)一二£2 n呂2心以上各式代入(*)式，可以得到：二二m99J L 9990f(x) - Sm(x) dx 二 f (x)dx a。八(a.bn )n呂仃m兀另忘a。2 八(an2 bn2)f2(x)dxn生這個結(jié)果對于-mN均成立，而右端是一定積分可以理解為有限常數(shù)，據(jù)nm此可知“ 一a02(an2 bn2) ”這個級數(shù)的部分和有界，則引理1成立。2nT引理2:若函數(shù)f (x)是T =2二的周期函數(shù)，且在上可積，則它的傅立葉級數(shù)部分和1sin(m )uSm(x)可改寫為：Sm(x)f

3、(x u)- duu-2si n2顯然:其中,由傅立葉級數(shù)系數(shù)公式可以知道:a2 m證明：設(shè) Sm(x) (an cosnx bnsinnx)2心JI一 2(*)1 二1 m二二f (x)dx ( f (x)cos nxdx)cos nx ( f (x)sin nxdx)sin nx 廠、-7：-7：1兀1 m1兀*= f (u)_、 cosn(u _x)du = f (x t)1 ' cosntdt =亠 f (x u)2 n 3. . ,x2 nT我在下邊給出一個比樓主強的結(jié)論!收斂定理：設(shè)f(x)是a,b的按段光滑函數(shù)，如果它滿足：1 sin(m )u是du2sin2 在a,b只

4、有有限個第一類間斷點，在補充定義后它可積(應(yīng)當(dāng)指出：補充定義后，它已不是原來的函數(shù))。(2)在a,b每一點都有f(x_O),且定義補充定義后的函數(shù)為f1(x)有:lim f (x u) f(x 0) = fx 0)， lim -u一0 亠uu一0 -f(x_u) f(x 0)=旳_0)則f(x)的傅立葉級數(shù)在點x收斂于這一點的算術(shù)平均值f(x 0)2f(0)，若在x連續(xù)，則收斂于f (x)。為方便，我僅證明f (x)是T =2二的在-二，二上的按段光滑函數(shù)(上述命題在 此基礎(chǔ)上稍加變換即可)，則當(dāng)X-二，二時有(其中an,bn是傅立葉級數(shù)系數(shù))f (x 0) f (x0)a0QO0 -二(an

5、 cosnx bn sinnx)2 n 4證明：由引理1容易可知：lim f(x)sin( n0丄)xdx=02(*)若 limnf(X 0)2 f(X0) _Sm(x) =0成立，則命題得證，而limn ：:f (x 0) f(x-0)-Sm(X)=怨電嚴(yán) +號嚴(yán)一1 I f(XPsin(m )u 空du 2sin2另外，-f(x 0)-：sin(m $udu=1，注意這個式子是偶函數(shù)，則 u- 2si n21二 sin(m)uju =二 2sin -21f(x 0)訶n(m 石)u,2du兀 0 c u211 兀sin (m +)u若 lim f (x 0 f (x u)- du=0，則命題得證。n沁 0u02sin 2u記 g(u)(x 0)-f(x u)丄.usin2u有微積分知識 lim .g(u)二0u) = - fi(x 0)，若 g(0) = - £(x 0)si n 2則它在。連續(xù)，由于第一類間斷點只有有限個，貝尼在 0,二上可積。結(jié)合(*)兀sin(m + ：)u式可知 lim f(x 0)-f(x u)- du=0n ： _ u 71 02sin -21 0同理可以證明lim f(x-0)f (x u)1sin(m )udu =0 2sin U2因此，命題得