微積分學(xué)的實(shí)際應(yīng)用ppt課件

1、 T0 xxoxy)(xfy CNM的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf 的斜率為的斜率為切線切線MT0000( )()lim(),xxf xf xkfxxx曲線的切線問題曲線的切線問題1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題0tt ttsv 平平均均速速度度00ttss ).(20ttg ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限得取極限得瞬瞬時(shí)時(shí)速速度度00000limlimlimtttttsssvvttt 2. 2. 交流電路交流電路: :電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度. .lim)(0dtdqtqtit 3. 3. 非均勻的物

2、體非均勻的物體: :質(zhì)量對(duì)長度質(zhì)量對(duì)長度( (面積面積, ,體積體積) )的導(dǎo)數(shù)為物的導(dǎo)數(shù)為物體體 的線的線( (面面, ,體體) )密度密度. .?,05.0,10問問面面積積增增大大了了多多少少厘厘米米半半徑徑伸伸長長了了厘厘米米的的金金屬屬圓圓片片加加熱熱后后半半徑徑解解,2rA 設(shè)設(shè).05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 00 xxxxdyy .)(0 xxf 1 邊際函數(shù)的應(yīng)用邊際函數(shù)的應(yīng)用定義定義1 ：如果函數(shù)：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I可導(dǎo)，可導(dǎo)，則稱導(dǎo)函數(shù)則稱導(dǎo)函數(shù)f(x)為為f(x)的邊際函數(shù)。的邊際函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用上相應(yīng)

3、地有邊際收益，邊際利潤，邊際成本等。在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用上相應(yīng)地有邊際收益，邊際利潤，邊際成本等。由導(dǎo)數(shù)的定義知，由導(dǎo)數(shù)的定義知，f(x)是是f(x0)在在x點(diǎn)的變化率。點(diǎn)的變化率。即當(dāng)即當(dāng)x=x0時(shí)，時(shí)，x改變一個(gè)單位，改變一個(gè)單位，y改變了改變了f(x0)個(gè)單位。個(gè)單位。如邊際成本如邊際成本C(x0)表示生產(chǎn)表示生產(chǎn)x0個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加單位產(chǎn)品，成本增加C(x0)。這表明當(dāng)生產(chǎn)第這表明當(dāng)生產(chǎn)第901臺(tái)時(shí)所花費(fèi)的成本為臺(tái)時(shí)所花費(fèi)的成本為1.5元。元。同時(shí)也說明邊際成本與平均成本有區(qū)別。同時(shí)也說明邊際成本與平均成本有區(qū)別。2 極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用極值在經(jīng)濟(jì)

4、中的應(yīng)用利用微積分理論中求極值的必要條件和充分條件，利用微積分理論中求極值的必要條件和充分條件，可以解決求最小成本，最大利潤等經(jīng)濟(jì)問題?？梢越鉀Q求最小成本，最大利潤等經(jīng)濟(jì)問題。某廠每天生產(chǎn)某商品某廠每天生產(chǎn)某商品x單位的總成本函數(shù)為單位的總成本函數(shù)為C(x)=0.5x2+36x+9800元），元），那么每天生產(chǎn)多少個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)平均成本最低？那么每天生產(chǎn)多少個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)平均成本最低？平均成本平均成本: C(x)=0.5x+36+9800/xC(x)=0.5-9800/x2 令令C(x)=0，x=140又又C(140)=1/1400，最小平均成本存在，因此當(dāng)生產(chǎn)最小平均成本存在，因此當(dāng)生產(chǎn)14

5、0個(gè)單位時(shí)平均成本最低。個(gè)單位時(shí)平均成本最低。設(shè)某生物種群在其適應(yīng)的環(huán)境下生存，設(shè)某生物種群在其適應(yīng)的環(huán)境下生存，試討論該生物種群的數(shù)量變化情況。試討論該生物種群的數(shù)量變化情況。()( )( )N ttN tN tt 文字方程改寫為符號(hào)方程文字方程改寫為符號(hào)方程在在t時(shí)段種群數(shù)量的凈增加量時(shí)段種群數(shù)量的凈增加量=在在t+t時(shí)刻時(shí)刻的種群數(shù)量的種群數(shù)量在在t時(shí)刻的種群數(shù)量。時(shí)刻的種群數(shù)量。00( )( )( )dN tN tdtNN Malthus模型模型0( )tN tN e 易拉罐問題易拉罐問題: :分析和假設(shè)：分析和假設(shè)：首先把飲料罐近似看成一個(gè)直圓柱體首先把飲料罐近似看成一個(gè)直圓柱體.

6、. 要求飲料罐內(nèi)體積一定時(shí)要求飲料罐內(nèi)體積一定時(shí), , 求能使易拉罐制作所用的材料最求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比. . 實(shí)際上實(shí)際上, , 用幾何語言來表述就是用幾何語言來表述就是: : 體積給定的直圓柱體體積給定的直圓柱體, , 其表面積最小的尺寸其表面積最小的尺寸 ( (半徑和高半徑和高) )為為多少多少? ? 表面積用表面積用 S 表示表示, 體積用體積用 V 表示表示, 則有則有22222( , )2 2 , / .S r hr hrrrrhVr h hVr0, 0min( , )rhS r h2( , ) 0g

7、r hVr h于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：于是我們可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：其中其中 S 是目標(biāo)函數(shù)是目標(biāo)函數(shù),是約束條件是約束條件(V 知知, 即罐內(nèi)體積一定即罐內(nèi)體積一定),. 即要在體積一定的條件下即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的求罐的體積最小的 r, h.222( )2 2 VVS rrrrrr3302220( )2 (2)(2) 2VVVS rrrrrr2233330022220448 22VVVVhrdrVV2/ hVr( , )S r h把把 代入 , 得到得到求駐點(diǎn)求駐點(diǎn)(臨界點(diǎn)臨界點(diǎn),critical point), 302Vr2300( )662VS rr曉得曉得是一個(gè)局部極小值點(diǎn)是一個(gè)局部極小值點(diǎn). 實(shí)際上實(shí)際上,它也是全局最小值點(diǎn)它也是全局最小值點(diǎn), 因?yàn)榕R界點(diǎn)是唯一的因?yàn)榕R界點(diǎn)是唯一的. 最小面積為00032( )2 (2)0 0rrVSrrr又由于又由于幾何：平面圖形的面積；幾何：平面圖形的面積