偏微分方程和數(shù)值解法2-2

1、220,0,( ,0)( )0,()()0,0 xuuaxlttxu xg xxlu 0,t = u l,t =t 第一邊界條件的 初邊值問題 11100(12),0,0nnnnjjjjjjnnJa uaua uuuguu 離散格式為離散格式為0,1,2,.,1njJ 121(,.,)nnnnJUuuu 令令，矩矩陣陣形形式式為為1nnAUU 1nnAUU 120.012.0012.0.00.12aaAaaaaaaa A嚴格對角占優(yōu)嚴格對角占優(yōu),方程組有解方程組有解.2 2 相容性、收斂性、穩(wěn)定性相容性、收斂性、穩(wěn)定性是是相相應應的的差差分分算算子子其其中中是是微微分分算算子子其其中中差差分分

2、方方程程記記為為微微分分方方程程和和對對于于齊齊次次問問題題，可可以以將將hnjhLuLLLu, 00 11(1.1)(1.7)nnnnjjjjnhjuuLLuatxuuuuL uah 方方程程微微分分算算子子 為為格格式式相相應應差差分分算算子子1.1. 截斷誤差截斷誤差(,)(,)(,)(,)(,)(,)hjnjnjnhjnjnjnuLLuxtT xtT xtL u xtLu xtxt 設設 是是所所討討論論的的微微分分方方程程的的充充分分光光滑滑的的解解，將將算算子子和和分分別別作作用用于于 ，記記兩兩者者在在任任意意的的結結點點處處的的差差為為，即即即即為為差差分分格格式式在在的的截截

3、斷斷誤誤差差。11(1.7)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)()jnhjnjnjnjnjnjnjnjnT xtL u xtLu xtu xtu xtu xtu xtahu xtu xtatx 討討論論格格式式的的截截斷斷誤誤差差即即22222211(,)(,)()()22jnjnuuxtaxthOO htt 截斷誤差主項截斷誤差主項222211(,)(, )( ,)22jnjnuuT x txathtt ( )( )OO h 注注: : 求截斷誤差就是把解析解代入差分格式，利用求截斷誤差就是把解析解代入差分格式，利用 Taylor展開式分析誤差展開式分析誤差。().qpT

4、Ohtqxppqp我們也用“精度”一詞說明截斷誤差。一般，如果一個差分格式的截斷誤差，就說差分格式對時間 是 階精度的，對空間 是 階精度的。特別，當時，說差分格式 是階精度的00(,)0|(,)| |(,)(,)|0jnjnhjnjnhuT xtT xtL u xtLu xt 相相容容性性：如如果果當當和和，解解 充充分分光光滑滑，差差分分格格式式的的截截斷斷誤誤差差，即即有有。則則稱稱差差分分方方程程與與原原微微分分方方程程是是相相容容的的。2. 差分方程的相容性差分方程的相容性前面對流方程初值問題的三種差分格式的相容性？前面對流方程初值問題的三種差分格式的相容性？右偏格式：右偏格式： 相

5、容的，相容的，1階格式階格式左偏格式：相容的，左偏格式：相容的，1階格式階格式中心格式：相容的，對時間中心格式：相容的，對時間t是是1階，對空間階，對空間x是是2階階hL注注意意：算算子子與與課課本本定定義義不不同同3.3.收斂性收斂性 一個差分格式能否在實際中使用，最一個差分格式能否在實際中使用，最終要看能否任意地逼近微分方程的解。這終要看能否任意地逼近微分方程的解。這樣對于每一個差分格式，人們便從兩個方樣對于每一個差分格式，人們便從兩個方面加以考慮：面加以考慮：一是引入收斂性的概念，一是引入收斂性的概念，考考察差分格式在理論上的準確解能否任意逼察差分格式在理論上的準確解能否任意逼近微分方程

6、的解；近微分方程的解；二是引入穩(wěn)定性的概念二是引入穩(wěn)定性的概念，考察差分格式在實際計算中的近似解能，考察差分格式在實際計算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。否任意逼近差分方程的解。0,0( , )(,)njnjjnuuhj nuu xt 設設 是是微微分分方方程程的的準準確確解解，是是相相應應差差分分方方程程的的準準確確解解。如如果果當當步步長長時時，對對任任何何有有則則稱稱差差分分格格式式是是收收斂斂的的。例、分析右偏差分格式的收斂性例、分析右偏差分格式的收斂性1111()nnnnjjjjuuauu 上的值，時，用到初始值在點計算),.,(),(1njjjnjxxxtxu,()()jnjn

7、u x txat 根根據(jù)據(jù)特特征征線線法法，依依賴賴于于初初始始值值在在點點的的值值右偏格式是不收斂的。(,)0nnjjnjeu x tu即即例、分析左偏差分格式的收斂性例、分析左偏差分格式的收斂性111-1()nnnnjjjjuuauu 1111(,)(,)( (,)(,) (,)jnjnjnjnjnu xtu xtau xtu xtT x t njnjnjutxue),(令：前兩式相減得：前兩式相減得：111-1()(,)nnnnjjjjjneeaeeT xt 差分方程差分方程截斷誤差截斷誤差11-1(1)(,)nnnjjjjneaea eT xt 整理：整理：11-1(1)(,)nnnj

8、jjjneaea eT xt ,0,0,sup|0nnnjjjheEe 要要證證當當時時只只要要證證即即可可。1,a 實實際際上上，只只要要有有)(1hMEEnn0 .()nEEn Mh )0,(0hEn左偏格式是收斂的。(1)a 只只要要()MTh 11-1(1)(,)nnnjjjjneaeaeT x t11(1)()nnaEa EMh 因此因此注：直接利用收斂性的定義判斷收斂性注：直接利用收斂性的定義判斷收斂性 是相當麻煩的，后面我們會給一些是相當麻煩的，后面我們會給一些 間接的判別準則。間接的判別準則。4.4.穩(wěn)定性穩(wěn)定性穩(wěn)穩(wěn)定定的的。這這種種差差分分格格式式就就認認為為是是本本上上能能

9、計計算算出出來來，那那么么基基控控制制的的，差差分分格格式式的的解解如如果果誤誤差差的的影影響響是是可可以以地地，式式稱稱為為不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的。相相反反掩掩蓋蓋，那那么么此此種種差差分分格格被被式式的的精精確確解解的的面面貌貌完完全全越越來來越越大大，以以至至差差分分格格響響的的情情況況。如如果果誤誤差差的的影影就就要要分分析析這這種種誤誤差差傳傳播播的的值值，從從而而影影響響時時的的舍舍入入誤誤差差，必必然然會會計計算算因因此此層層上上計計算算出出來來的的結結果果時時，要要用用到到第第的的層層上上進進行行的的，計計算算差差分分格格式式的的計計算算是是逐逐層層111 njnjnjnjuu.un

10、un的。那么稱差分格式是穩(wěn)定時，有，使得當存在常數(shù)層上的誤差，如果是第，令，設初始層上引入了誤差000 , 1, 0, 1, 0KTnKnjjnnjj.su)(|:)(2njjnjnjhnph也可以取，它可以是范數(shù)是某種尺度其中的穩(wěn)定性。的差分格式考慮逼近對流方程例00111huuuuxutunjnjnjnj0)()()()(011110000000huuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjjjjjjjj應滿足那么中沒有引進別的誤差，。設想在這一計算過程為的為初值進行計算，得到，用而不是為，即初值有誤差層上每個網(wǎng)格點上的設在第解：110nnnnjjjjh 得得這這就

11、就是是誤誤差差所所滿滿足足的的方方程程. .njjnjjnjjnjnjnjsupsupsup11(*)1111）（）（那么有如果1111/nnnnjjjjnnjjh 改改寫寫其其形形式式（）（）其其中中為為網(wǎng)網(wǎng)格格比比，從從而而可可以以知知道道，由由此此得得011supsupsupsupsupjjnjjnjjnjjnjj 下的穩(wěn)定性。上面是論述了在極大模，那么如果令下是穩(wěn)定的。格式在條件分長的，我們就認為，差這就是說，誤差是不增0sup(*)nnjjn左偏格式是穩(wěn)定的。) 1() 1(穩(wěn)定條件，對于線性微分方程從以上例子也可以看出0),(txLu其差分方程為：其差分方程為：0njhuL則舍入誤

12、差滿足：則舍入誤差滿足：0nhjL 所以所以在線性在線性條件下，穩(wěn)定性條件條件下，穩(wěn)定性條件|0Kn等價于等價于|0uKun的穩(wěn)定性。的差分格式考慮逼近對流方程例)2 . 4(00211huuuuxutunjnjnjnj右偏格式是不穩(wěn)定的。同樣分析誤差滿足的差分方程：同樣分析誤差滿足的差分方程：njnjnjeee11)1 (0, 0,000jeej假設：nnnee)1 ()1 ( 000則：總結左偏格式、右偏格式的相容性、收斂性、穩(wěn)定性總結左偏格式、右偏格式的相容性、收斂性、穩(wěn)定性 格式性質左偏格式右偏格式相容性是是收斂性是否穩(wěn)定性是否(1)a (1)a 思考：收斂性和穩(wěn)定性是否有聯(lián)系？思考：收斂性和穩(wěn)定性是否有聯(lián)系？Lax等等價價定定理理：給給定定一一個個適適定定的的線線性性初初值值問問題題以以及及與與其其相相容容的的差差分分格格式式，則則差差分分格格式式的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性是是差差分分格格式式收收斂斂性性的的充充分分必必要要條條件件。注：有了注：有了Lax等價定理，收斂性的證明可以通過等價定理，收斂性的證明可以通過 穩(wěn)定性的證明獲得。穩(wěn)定性的證明獲得。注注: : 1 1、問題為初值問題或周期性邊界條件的邊值問題、問題為初值問題或周期性邊界條件的邊值問題2 2、初值問題是適定的。、初值問題是適定的。3 3、初值問題是線性的。、初值問題是線性的。Lax等價定理（重要）.