正比例函數(shù)圖像和性質(zhì)

1、r源于名校，成就所托正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)知識(shí)精要1. 正比例函數(shù)的圖像一般地，正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k = 0)的圖像是經(jīng)過原點(diǎn) 0(0,0)和點(diǎn)M( 1，k)的一條 直線。我們把正比例函數(shù)y=kx的圖像叫做直線y=kx。2.正比例函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k?£0)圖掾K 3?1自變量取值菇 圍全體實(shí)數(shù)圖象的位置當(dāng)心0時(shí)，在一.三象限；當(dāng)KO時(shí)在二、四象限。增減性當(dāng)時(shí)，y匾的增大而增大， 當(dāng)k4時(shí)，y匾的增大而減小*精講名題m -3X例1.若函數(shù)y=(m-1)是正比例函數(shù)，則m= ,函數(shù)的圖像經(jīng)過象限 解:m=4,圖像經(jīng)過第一、三象限例2.已知y-1與2x成正

2、比例，當(dāng)x=-1時(shí)，y=5,求y與x的函數(shù)解析式。解：T y-1 與 2x 成正比例.設(shè) y-仁k 2x (k = 0)把 x=-1,y=5 代入，得 k=-2,二 y-1=-2 2x y=-4x+1例3.已知y與x的正比例函數(shù)，且當(dāng)x=6時(shí)y=-2(1) 求出這個(gè)函數(shù)的解析式；(2) 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這個(gè)函數(shù)的圖像； 如果點(diǎn)P( a，4)在這個(gè)函數(shù)的圖像上，求 a的值； 試問，點(diǎn)A(-6， 2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B是否也在這個(gè)圖像上？解：(1)設(shè)y=k x (k = 0)當(dāng)x=6時(shí)，y=-2二-2=6k二k =-二這個(gè)函數(shù)的解析式為y = -3 31(2) y=-丄x的定義域是一切實(shí)數(shù)，圖

3、像如圖所示：31 如果點(diǎn)P (a，4)在這個(gè)函數(shù)的圖像上，二4二-a ,二a=-123點(diǎn)A (-6，2)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)(6, -2 )，11當(dāng)x=6時(shí)，y=- 6 一2因此，點(diǎn)B也在直線y二-x上33例4.已知點(diǎn)(X1,yj，(X2,y2)在正比例函數(shù)y=(k-2)x的圖像上，當(dāng)人 x?時(shí)，屮八，那么k 的取值范圍是多少？解：由題意，得函數(shù)y隨x的值增大而減小，-k-2<0, k<2例5. (1)已知y=ax是經(jīng)過第二、四象限的直線，且.a 3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，求a的取值 范圍。(2)已知函數(shù)y=(2m+1)x的值隨自變量x的值增大而增大,且函數(shù)y=(3m+1)x的值隨

4、自變量x創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展 3 r源于名校，成就所托創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展 # r源于名校，成就所托-3 w a<0解得-1/2vxv-1/3的增大而減小，求m的取值范圍。解：(1)根據(jù)題意得a<0,a+3 > 0(2)根據(jù)題意得 2m+1>0,3m+1<0創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展 # 立方毅肓W亠亠源于名校，成就所托例6.已知正比例函數(shù)過A（2, -4）,點(diǎn)P在此正比例函數(shù)的圖像上，若直角坐標(biāo)平面內(nèi)另有一點(diǎn) B （0,4），且Saabp =8，求：點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=k x （k = 0）已知正比例函數(shù)過A（2, -4） -4=

5、2k，解得 k=-2,正比例函數(shù)的解析式為y=-2x如圖所示，畫出直線y=-2x，并標(biāo)出A, B兩點(diǎn)的位置，分析題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)要分兩種情況討論。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,，-2x）1）若點(diǎn)P在第二象限，則SAABP = SA AOB + SA PCB11根據(jù)題意，得8= BO xA - BO xP221 18=2 4 2+3 4 Xp解得Xp =2又點(diǎn)P在第二象限， Xp=-2點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，4）1 12） 若點(diǎn)P在第二象限，則Smbppcb -Saaob根據(jù)題意，得8= 4 g - 4 222解得Xp|=6又點(diǎn)P在第四象限， xp =6點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-12）在正比例函數(shù)圖像上適合條件的P

6、點(diǎn)有兩個(gè)：（-2，4），（6，-12）熱身練習(xí)1. 下列關(guān)系中的兩個(gè)量成正比例的是（C ）A .從甲地到乙地，所用的時(shí)間和速度；B .正方形的面積與邊長(zhǎng)C .買同樣的作業(yè)本所要的錢數(shù)和作業(yè)本的數(shù)量；D.人的體重與身高2. 下列函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是（C）A . y=4x+1 B . y=2x?C . y=-、5x D . y=、x3. 下列說法中不成立的是（D ）A .在y=3x-1中y+1與x成正比例；B .在y=-：中y與x成正比例C .在y=2 （x+1 ）中y與x+1成正比例；D .在y=x+3中y與x成正比例4. 若函數(shù) y= （2m+6 x2+ （1-m） x 是正比例函數(shù)

7、，貝U m的值是（ A ）A . m=-3 B . m=1 C . m=3 D . m>-35. 已知（xi, yi）和（X2, y2）是直線y=-3x上的兩點(diǎn)，且xi>X2,則yi與y?的大小關(guān)系是（B ）A. y1>y2B . y1<y2C.y1=y2D.以上都有可能6.下列函數(shù)中,正比例函數(shù)是：(D )A2r24 2 f2A . y =B. y = x 1C.yxD.y =x5x5557.形如y=kx(k式0)的函數(shù)是正比例函數(shù).8. 若x、y是變量，且函數(shù)y= （k+1） x"是正比例函數(shù)，貝U k=1.9. 正比例函數(shù)y=kx （k為常數(shù)，k<

8、0）的圖象依次經(jīng)過第二、四 限，函數(shù)值隨自變量的增大而 小.10. 已知y與x成正比例，且x=2時(shí)y=-6，貝U y=9時(shí)x=-3.211. 已知y=（m，3）xm$是正比例函數(shù)，貝U m = 3.12. 函數(shù)y =（m-2）x2n*-m + n，當(dāng)m= 0，n= 0時(shí)為正比例函數(shù);自我測(cè)試1.已知y是x的正比例函數(shù)，且當(dāng)x- 2時(shí)，y=2,求y與x之間的比例系數(shù)，寫出函數(shù)解析式, 并求當(dāng)y=4-.3時(shí)，x的值。解:目是x的正比例函數(shù)，設(shè)函數(shù)解析式為 y=kx（k工0）當(dāng) x= 2 時(shí)，y= 2 k=2，解得 k= . 2函數(shù)解析式為y= 2x當(dāng) y=4.、3 時(shí)，即 2 x=4. 3，解得

9、x=2 6 .2. 已知正比例函數(shù)y=（5-2k）x的圖像經(jīng)過第二、四象限，求 k的取值范圍 解：正比例函數(shù)y=（5-2k）x的圖像經(jīng)過第二、四象限5 5-2k<0，解得匸創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展 7 匚嚀源于名校，成3. 已知2y-3與4x+5成正比例，且當(dāng)x=1時(shí)，y=15,求y與x的函數(shù)關(guān)系式。解： 2y-3與4x+5成正比例設(shè)解析式為2y-3=k(4x+5) (k 工0)將 x=1, y=15 代入解析式，得 2X 15-3= (4X 1+5) k,解得 k=3解析式為 2y-3=3 X (4x+5)，即 y=6x+94.函數(shù)y=(k-2) x(k_2)是正比例函數(shù)，且y的值隨

10、著x的減小而增大，求k的值解:t函數(shù)y=(k-2) X(k® 是正比例函數(shù)， k-2 工 0 且(k-2 ) 2=1,解得 k=3 或 k=1t y的值隨著x的減小而增大 k-2<0，解得k<2 k=15.已知y=(k-2)x+ k2+k-6為正比例函數(shù)。(1) 求k的值及函數(shù)解析式(2) 當(dāng)x取什么值時(shí)，函數(shù)的值為 42 k _2 式0解：(1) T y=(k-2)x+ k +k-6為正比例函數(shù)丿2，解得k=-3 函數(shù)解析式為y= -5x+k -6 = 0(2) T y= -5x=3，解得 x= -4 206. 一個(gè)正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A (-1，3)，B(-a，-a

11、-1)，求 a 的值創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展 # 匚嚀源于名校，成創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展 # 匚嚀源于名校，成解：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為 y=kx (k工0)t函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn) A (-1，3)，B(-a，-a-1)3 = -k代入解析式，得到丿、_a _1 = -ka解得 k= -3，a= -1 4 a的值為-丄47.已知點(diǎn)P （2a, 3b）且a與b互為相反數(shù)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)H；如果SPOH = 15 求：（1）直線0P的解析式； 點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：點(diǎn)P （2a, 3b）且a與b互為相反數(shù)點(diǎn)P也可表示為（2a,-3a ），點(diǎn)P在第二或第四象限（如圖）1 SaPOH =15

12、 - I 2a I ? I -3a I =15,解得 a=±、. 52點(diǎn) P坐標(biāo)為（2 .5 , -3、.5 ）或（-2 .5 , 3.5 ）設(shè)直線OP解析式為y=kx （kM 0）,將點(diǎn)P坐標(biāo)帶入，解得k=-2直線OP解析式為y=- -x28點(diǎn)燃的蠟燭，長(zhǎng)度按照與時(shí)間成正比例縮短，一支長(zhǎng)21cm的蠟燭，點(diǎn)燃6分鐘后，縮短3.6cm. 設(shè)蠟燭點(diǎn)燃x分鐘后，縮短y cm，求y的函數(shù)解析式和x的取值范圍。解:目與x成正比例，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y=kx （k工0）根據(jù)題意，將x=6，y=3.6代入解析式，得k= 36 =365函數(shù)解析式為y=3x/y<21， x<355 x

13、> 0,二x的取值范圍是OWx<35.9. 已知正比例函數(shù)圖像過點(diǎn)（-2,5 ），過圖像上一點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為B的坐標(biāo)為（0,-3）；（1）求函數(shù)解析式（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)圖像；（3）求A點(diǎn)坐標(biāo)及Saaob解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx（k工0）將（-2 , 5）代入解析式，解得k=-§函數(shù)解析式為y-x2 25J 0ia(2)函數(shù)圖像見圖:將y=-3代入解析式，得x=- , a A點(diǎn)坐標(biāo)（6 , -3） aob =- x - x 3=-5 5255110. 已知直線y=kx過點(diǎn)(-,3), A為y=kx圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A向x軸引垂線，垂足為點(diǎn)B,Sa aob =5(1) 求函數(shù)解析式(2) 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)圖像；求A點(diǎn)、B點(diǎn)的坐標(biāo)。解：(1)設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx(k工0)將(-,3)代入解析式，解得k= -6二函數(shù)解析式為y=-6x(2)函數(shù)圖像見下圖： I aob =5,二 1x J=5，即丄卜人6Xa|=5，解得 XA=±2丨I2 丨 丨3 A （空,-215 ）, B（i , 0）或 A （垃,215 ）, B（空,0）3 333211. 已知在正比例函數(shù)f(x)=(2m-3) x2m 一7中，y隨x的值減小而減小。(1) ( 1)求m的值；(2) (2)求 f