釘子板上的多邊形教學(xué)設(shè)計(jì)

1、釘子板上的多邊形教學(xué)設(shè)計(jì)烔煬鎮(zhèn)中心校：程鵬教學(xué)目標(biāo)1.經(jīng)歷畫圖、填表、分析數(shù)據(jù)、探索規(guī)律的過程，發(fā)現(xiàn)皮克公式。2.初步感悟通過固定某些變量的值來探求其余變量的變化規(guī)律的科學(xué)思維方法。3.獲取由簡單到復(fù)雜的探究問題的方法和經(jīng)驗(yàn)。4.能類比遷移探求問題的方法，嘗試拓展研究同類新問題。教學(xué)重點(diǎn)探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系教學(xué)過程：一、激趣生疑，直觀感知師生談話引入課題“關(guān)系”這個(gè)詞認(rèn)識(shí)么?你會(huì)找關(guān)系么？（找一名同學(xué)說說）我們是什么關(guān)系？還可以是什么關(guān)系？今天這節(jié)課，我們就來找關(guān)系。釘子板我們見

2、過，多邊形我們也熟悉，今天老師沒帶釘子板，但是帶了它的替代品點(diǎn)子圖。（你有什么發(fā)現(xiàn)？多了什么？） 說明：這里每相鄰兩個(gè)點(diǎn)的距離是1cm，每個(gè)格子表示1cm2。出示 老師把這些多邊形放在釘子板上，你能很快知道他們的面積么？先仔細(xì)想一想，再跟同桌互相說一說。（學(xué)生用計(jì)算、割補(bǔ)、數(shù)格子的方法得到每個(gè)多邊形的面積，并完成表格，如下） 二、分層探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律1.起：從“a=1”開始同學(xué)們猜想，多邊形的面積跟釘子板上的釘子有沒有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？預(yù)設(shè)：多邊形邊上的點(diǎn)越多，面積就越大（如果學(xué)生回答不上來，可以直接引到多邊形邊上釘子數(shù)的角度進(jìn)行分析）多邊形邊上的釘子數(shù)與其面積到底有沒有關(guān)系呢？下面

3、我們就來研究這個(gè)問題。數(shù)一數(shù)，每個(gè)多邊形邊上的釘子數(shù)有幾枚呢？（完成后填表如下）圖形編號(hào)多邊形的面積/平方厘米多邊形邊上的釘子數(shù)/枚24363.5748看了表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？預(yù)設(shè)一：多邊形邊上的釘子數(shù)是面積的2倍預(yù)設(shè)二：面積是多邊形邊上釘子數(shù)的一半（如果學(xué)生說了情況一，就讓學(xué)生們再倒過來說說，對于情況二，多指幾名學(xué)生說說，然后制造困難，覺得文字表示太復(fù)雜，提出能不能用更簡潔的方式來表示這個(gè)關(guān)系呢？）圖形的面積，我們一般用什么字母表示？（S）在這里，我們用字母n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，請同學(xué)用字母表示多邊形邊上的釘子數(shù)與面積之間的關(guān)系。（根據(jù)學(xué)生回答，板書：S=n÷2）引導(dǎo)學(xué)生

4、體會(huì)，用字母表示他們之間的關(guān)系，很簡潔。2.承：在“a=2”中發(fā)現(xiàn)S=n÷2告訴我們，只要知道了n，就能求出s。下面，我們用這個(gè)發(fā)現(xiàn)來解決一些問題。把原來的三角形拉長（如左下圖），學(xué)生數(shù)出n=4，代入字母式算出s=2此時(shí)，許多學(xué)生發(fā)現(xiàn)了矛盾：面積明明變大了，怎么還是2呢？計(jì)算實(shí)際面積是3。繼續(xù)把后面兩個(gè)多邊形做同樣的處理，如上，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)、算一算、比一比，發(fā)現(xiàn)結(jié)果也不符。我們再來仔細(xì)地觀察和比較變化前后的多邊形，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，變化前的多變形內(nèi)釘子數(shù)是1，變化后的多邊形內(nèi)釘子數(shù)是2。小結(jié)：第一行符合規(guī)律的多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)都為1，第二行多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)都不是1。這說明多邊形的面積不僅和

5、多邊形的釘子數(shù)有關(guān)，還與多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)。剛才我們只是研究了內(nèi)部釘子數(shù)為1的情況。找到了問題所在，看來，多邊形內(nèi)的釘子數(shù)跟我們剛才的研究也有關(guān)系。如果用字母a表示多邊形內(nèi)的釘子數(shù)，那么，在a=？的情況下，S=n÷2成立？補(bǔ)上這一前提，我們剛才的發(fā)現(xiàn)才成立。接下來，我們來研究？（a=2）a=2時(shí)，s與n之間有怎樣的關(guān)系呢？動(dòng)手驗(yàn)證，每個(gè)同學(xué)動(dòng)手在研究單上畫一個(gè)符合條件的多邊形，并展示。（學(xué)生活動(dòng)）依據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們可以得出a=2時(shí)，s= n÷2+1（板書）。追問：檢查你畫的內(nèi)部有2個(gè)釘子的多邊形，面積符合這個(gè)規(guī)律嗎？如果不符合，把你的例子在全班交流。指出：現(xiàn)在沒有學(xué)生提

6、出反例，所有的都符合這里的規(guī)律。從大家的圖形和數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形內(nèi)部有2個(gè)釘子時(shí)，也就是a=2時(shí)，S=n÷2+1。三、引導(dǎo)猜想，概括規(guī)律3.轉(zhuǎn)：向“a=3，a=4，a=0拓展”提問：上面發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)部釘子數(shù)a=1時(shí)，S=n÷2；a=2時(shí)，S=n÷2+1。你能聯(lián)系這里的規(guī)律，猜一猜，如果多邊形內(nèi)部有3枚釘子、4枚釘子，它的面積與邊上釘子數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？先想一想，再跟小組同學(xué)說一說。一組選擇a=3，一組選擇a=4，拿出合作研究單和點(diǎn)子圖，猜想并畫圖驗(yàn)證完成合作研究單。小組展示（兩位同學(xué)上來展示，一位負(fù)責(zé)寫猜想，一位負(fù)責(zé)展臺(tái)展示并講解驗(yàn)證。）觀察這些關(guān)系式，你能想

7、到a=5時(shí)，s與n的關(guān)系么？a=6呢？a=100呢？a=0時(shí)，s與n又有怎樣的關(guān)系？這些留給大家課后繼續(xù)探究。4.合：為“S=n÷2+(a-1)”準(zhǔn)備要讓自己變得聰明，首先要會(huì)由“一點(diǎn)”想到“許多點(diǎn)”，例如，剛才大家由a=1，想到a=2、a=3、以及a=0，其次，我們還要學(xué)會(huì)把“許多點(diǎn)”變到“一點(diǎn)”，例如，你有沒有想到，把這些規(guī)律再合成一條規(guī)律呢？令a是任意數(shù)字，則有S=n÷2+(a-1)適當(dāng)介紹，拓展視野：我們今天研究的規(guī)律，就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理（適當(dāng)介紹）。有興趣的同學(xué)，可以在網(wǎng)絡(luò)上或書籍里了解皮克定理。如果有進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的要求，那記住這本書：閔酮鶴的著作格點(diǎn)和面積，以后有興趣、有條件了，可以去閱讀。三、回顧過程，交流體會(huì)。提問：回顧剛才探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，你有什么體會(huì)和收獲？追問：還有什么疑問嗎？小結(jié)：今天我們一起研究了釘子板上多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系。在研究的過程中，我們從簡單情形入手，通過畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算等方法，經(jīng)歷觀察、比較、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。從上面的過程中我們發(fā)現(xiàn)，要從各種不同情況