向量中一些常用的結(jié)論

1、向量中一些常用的結(jié)論（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2）|a|b|； b_|a| |b|，特別地,當(dāng)亍 b 同向或有0 = | a b|=| a | | b|_ |a |一|b|=| a b|；當(dāng) a b 反向或有-|b|h|! b|；當(dāng) a、不共線二|a|b|：| a_bb：|a| - |b|（這些和實(shí)數(shù)比較類似）.（3）在ABC中，若 A ,y1,B x2,y2,C %,y3，貝U其重心的坐標(biāo)為X1X2X3y aG,-V 33若/ ABC 的三邊的中點(diǎn)分別為（的重心的坐標(biāo)為_12PG =1（PA PB PC）二T T 4 4PA PPC= 0 馬迅墜的重心；3

2、PA PB 卩二 PC PA P 為ABC的垂心；4向量.AB遼）（ =0）所在直線過-ABC的內(nèi)心（是.BAC的角平分|AB| |AC|線所在直線）；_5| AB | PC | BC|PA（4）若 P 分有向線段 RP2所成的比為九TMP :PAf PB PC& ：- -1一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長度分成（2）垂心一一高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）（4）外心一一中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）二、四心與向量的結(jié)合(1)OA OB OC=0二O是ABC的重心.證法1：設(shè)O(x, y), A(X1，yJ,B(X2，y2),C(

3、X3，y3)”=X1 + X2 + X3”十 區(qū) _ x) + (x2- x) + (x3- x) = 0 x3OA+OB +OC 二八131 山y(tǒng)) y) +仏y)=0|y2，1)、(-3，4)、(-1，-1 )，則/ ABCG為ABC的重心，特別地PA |CA|B 二 0= PABC的內(nèi)心；. ，點(diǎn) M_為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，貝 UMP1MP2；=72C 共線二 存在實(shí)數(shù)使得MP=MP MP2，特別地 P 為 RP2的中點(diǎn)二1 +扎（5）向量PA、PB、PC中三終點(diǎn) A、:角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等;外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。y_3O是ABC的重心. 證法 2:如圖 - OA O

4、B OC二OA 2OD二0D.A0=20D.A、0、D三點(diǎn)共線，且0分AD為 2: 1.O是ABC的重心(2)OA OB =0B OC =0C OA二O為ABC的垂心.證明：如圖所示 0 是三角形 ABC 的垂心，BE 垂直 AC , AD 垂直 BC , D、E 是垂足.OA OB=OB 0C = OB(OA-OC)=OB CA = O二OB _AC同理OA _ BC，OC _ AB:二O為:ABC的垂心(3)設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長， 0 是厶 ABC 的內(nèi)心aOA bOB cOC = 0 = O為ABC的內(nèi)心.AB AC-證明：幕AB、AC分別為ABAC方向上的單位向量,c bAB+些平分NBAC,c b 化簡得(a b c)OA bAB cAC二0a