圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和典型例題

1、圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和經(jīng)典例題1 .圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2+(yb)2=r2(r0)圓心：(a,b),半徑：r方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-圓心：-D,一E,22半徑：2/D2+E24F4F0)江忠點(diǎn)(1)求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程.(2)對(duì)于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時(shí)易忽視D2+E24F0這一條件.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(xo,yo)與圓(xa)2+(yb)2=r2的位置關(guān)系：(1)若M(xo,yo)在圓外,則(xoa)2+(yob)2二r2(2)

2、若M(xo,yo)在圓上,則(xoa)2+(yob)2=r2(3)若M(xo,yo)在圓內(nèi),則(xo-a)2+(yo-b)2o),d為圓心(a,b)到直線(xiàn)l的距離，聯(lián)立直線(xiàn)和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為A.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交dr左01 .幾何法：由圓心到直線(xiàn)的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.2.代數(shù)法：根據(jù)直線(xiàn)方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.3 .直線(xiàn)系法：若直線(xiàn)包過(guò)定點(diǎn)，可通過(guò)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，但有一定的局限性，必須是過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系.(2)過(guò)一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程的求法1 .當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，圓心與該點(diǎn)的連線(xiàn)與切線(xiàn)垂直，從而求得切線(xiàn)的

3、斜率，用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可求得圓的切線(xiàn)方程.2 .若點(diǎn)在圓外時(shí)，過(guò)這點(diǎn)的切線(xiàn)有兩條，但在用設(shè)斜率來(lái)解題時(shí)可能求出的切線(xiàn)只有一條，這是因?yàn)橛幸粭l過(guò)這點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率不存在.(3)求弦長(zhǎng)常用的三種方法1 .利用圓的半徑r,圓心到直線(xiàn)的距離d,弦長(zhǎng)l之間的關(guān)系r2=d2+J2解題.2.利用交點(diǎn)坐標(biāo)若直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出， 求出交點(diǎn)坐標(biāo)后， 直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長(zhǎng).3.利用弦長(zhǎng)公式設(shè)直線(xiàn)l：v=kx+b,與圓的兩交點(diǎn)(xi,yi),(x2,y2),將直線(xiàn)方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長(zhǎng)l=1+k21XiX2=1+k2X1+X22-4X1X2.4.圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓位置

4、關(guān)系的判斷方法設(shè)圓。1：(Xa1)2+(yb)2=r2(門(mén)0),圓。2：(Xa2)2+(yb2)2=r2(r20).方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與門(mén)，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離dr1+r2無(wú)解外切d=r1+r2一組實(shí)數(shù)解相交r1一r2dr1+r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d=r1r2（門(mén)豐一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0dr1r2（門(mén) wr2）無(wú)解易誤點(diǎn)：兩圓相切問(wèn)題易忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形.1.判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出圓心和半徑；(2)計(jì)算兩圓圓心的距離d;(3)通過(guò)d,2,一2的關(guān)系來(lái)判斷兩圓的位置關(guān)系或

5、求參數(shù)的范圍,必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合.2.應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求字母參數(shù)的范圍是非常簡(jiǎn)單清晰的， 要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系.(2)兩圓相交有關(guān)問(wèn)題1 .圓系方程般地過(guò)圓Ci：x2+/+Dix+Eiy+Fi=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為：x2+y2+Dix+Eiy+Fi+Xx2+y2+D+E2y+F2)=0(斤一1),然后再由其他條件求出N即可得圓的方程.2 .兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線(xiàn)方程若圓Ci：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0與圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，則兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程為(DiD2)x+(E

6、iE2)y+FiF2=0.3 .公共弦長(zhǎng)的求法(i)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).(2)幾何法：求出公共弦所在直線(xiàn)的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解.5 .對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(i)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)通常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式點(diǎn)|P(x,y)關(guān)于Q(a,b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(2ax,2b-y).|(2)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)(3)曲線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)、曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)成中心對(duì)稱(chēng)或軸對(duì)稱(chēng)6 .與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)解法(i)形如-三形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題.(2)形如t=ax+by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)截距的最值問(wèn)題.(3)形如(

7、x-a)2+(y-b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.|7 .典型例題1.直線(xiàn)3x+4y5=0與圓x2+y2=i的位置關(guān)系是()A.相交B,相切C.相離D.無(wú)法判斷-.一一-5一 CC.【解析】圓心(0,0)到直線(xiàn)3x+4y5=0的距離d=-j=i,又圓x2+y2=i的半,32+42徑r=i,，d=r,故直線(xiàn)與圓相切.2 .直線(xiàn)3x+4y+i2=0與圓(xi)2+(y+i)2=9的位置關(guān)系是()A.過(guò)圓心B.相切C.相離D.相交但不過(guò)圓心圓心(i,i)到直線(xiàn)3x+4y+i2=0的距離d=；32+4211-=?1,所以點(diǎn)A在圓外.(1)若所求切線(xiàn)的斜率存在，設(shè)切線(xiàn)斜率

8、為k,則切線(xiàn)方程為y+3=k(x4).因?yàn)閳A心C(3,1)到切線(xiàn)的距離等于半徑，半徑為1,所以3k53r4k=1即k+4=#2，,k2+1所以k2+8k+16=k2+1,解得k=竽.815所以切線(xiàn)萬(wàn)程為y+3=不僅一4),即15x+8y36=0.(2)若直線(xiàn)斜率不存在，圓心C(3,1)到直線(xiàn)x=4的距離也為1,這時(shí)直線(xiàn)與圓也相切，所以另一條切線(xiàn)方程是x=4.綜上，所求切線(xiàn)方程為15x+8y-36=0或x=4.求直線(xiàn)l:3x+y6=0被圓C:x2+y22y4=0截得的弦長(zhǎng).【解析】圓C:x2+y22y4=0可化為x2+(y1)2=5,其圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑r=由.1=2,r2_d2=y/w

9、,所以截得的弦長(zhǎng)為10.+22=3乖.設(shè)公共弦長(zhǎng)為2I,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=5.點(diǎn)(0,1)到直線(xiàn)l的距離為d=3X0+16V1032+126.B.2【解析】圓的方程可化為C:(x-1)2+(y-2)2=5,其圓心為0(1,2),半徑r=.5.如圖所示，取弦AB的中點(diǎn)P,連接CP,則CPXAB,圓心C到直線(xiàn)AB的距離d=CP=1+t55=1.在RtACP中，AP=Jr2-d2=2,故直線(xiàn):12+227被圓截得的弦長(zhǎng)AB=4.7 .兩圓x2+y2=9和x2+y28x+6y+9=0的位置關(guān)系是()A.外離C.內(nèi)切D.外切【解析】?jī)蓤Ax2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的

10、圓心分別為(0,0)和(4,3),半徑分別為3和4.所以?xún)蓤A白圓心距d=:42+32=5.又4353+4,故兩圓相交.8 .圓O1：x2+y22x=0和圓。2：x2+y24y=0的位置關(guān)系為()A.外離C.外切【解析】圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑長(zhǎng)門(mén)=1;圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑長(zhǎng)2=2；1=21O1O2=y5/5)3+l2,解得、=乖,故公共弦長(zhǎng)21=275.10.求圓Ci:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直線(xiàn)被圓25C3：(x-1)2+(y1)2=彳所截得的弦長(zhǎng).精彩點(diǎn)撥|聯(lián)立圓C1、C2而和|得公共弦所在的直線(xiàn)圓心C3到公共弦的距離d圓的

11、半徑r|弦長(zhǎng);2/二？【解析】設(shè)兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2),則A,B的坐標(biāo)是方程組x2+y2=1,22cc.c 的解，兩式相減得x+y1=0.x2+y2-2x-2y+1=0因?yàn)锳,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足|x+y1=0,所以AB所在直線(xiàn)方程為x+y-1=0,即C1,C2的公共弦所在直線(xiàn)方程為x+y1=0,圓C3的圓心為(1,1),其到直線(xiàn)AB的距離d=，2，由條件知r2d2=義=23,所以直線(xiàn)AB被圓C3截得弦長(zhǎng)為2X=恪已知圓C與圓(x1)2+y2=1關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為()A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C,x2+(y+1)2=1D,x2+(y

12、1)2=1【解析】由已知圓(x-1)2+y2=1得圓心。(1,0),半徑長(zhǎng)門(mén)=1.設(shè)圓心C1(1,0關(guān)于直線(xiàn)v=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(a,b),解得b=1.所以圓C的方程為x2+(y+1)2=1.11.b/a-11=1，a+1b2212.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在圓x2+y2為.2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)A(3,1)連線(xiàn)中點(diǎn)Q的軌跡方程【解析】設(shè)Q(x,y),P(a,b),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得a+3x=a=2x-3,所以b+1b=2y1.y-2，點(diǎn)P(2x-3,2y-1)滿(mǎn)足圓x2+y2=2的方程，所以(2x3)2+(2y1)2=2,3c1c1化簡(jiǎn)得x-22+y22=2,即為點(diǎn)Q的軌跡方程.13.(1)AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是

13、A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程；(2) zABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(0,0),B(5,0),C(0,12),求它的內(nèi)切圓的方程.【解答】解：(1)設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程，-a)4(1.-b)*于是，-a)*+(-3-b)Jr，可解得a=2,b=-3,r=25,a)4(一b)Jr?所以9BC的外接圓的方程是(x-2)2+(y+3)2=25.(2);zABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0),B(5,0),C(0,12),.ABXAC,AB=5,AC=12,B

14、C=13,5+12-13丁/ABC內(nèi)切圓的半徑r=一Q=2,圓心(2,2),丁/ABC內(nèi)切圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=4.14.已知圓C:x2+(y+1)2=5,直線(xiàn)l:mxy+1=0(mCR)(1)判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線(xiàn)l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)l的傾斜角為120,求弦AB的長(zhǎng).【解答】解：(1)由于直線(xiàn)l的方程是mx-y+1=0,即y-1=mx,經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H(0,1),而點(diǎn)H到圓心C(0,-1)的距離為2,小于半徑褥，故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線(xiàn)l與圓C相交，故直線(xiàn)和圓包有兩個(gè)交點(diǎn).(2)直線(xiàn)l的傾斜角為120,直線(xiàn)l:V5x-y+1=0,圓心到直線(xiàn)的距離d=3L=1,.|AB|=2；廣1=4.15 .過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線(xiàn)l被圓x2+y2-2x-