抽象函數(shù)奇偶性對(duì)稱性周期性經(jīng)典總結(jié)

1、.編者按例題與應(yīng)用例 1：f(x)是 R 上的奇函數(shù) f(x)= f(x+4)，x 0 ，2 時(shí) f(x)=x，求 f(2007)的值例 2：已知 f(x) 是定義在 R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)1 f(x)=1+f(x)， f(1)=2，求f(2009)的值 。故 f(2009)= f(251 8+1)=f(1)=2例 3：已知 f(x) 是定義在 R 上的偶函數(shù)， f(x)= f(4-x)，且當(dāng) x2,0 時(shí)， f(x)= 2x+1，則當(dāng) x4,6 時(shí)求 f(x) 的解析式例 4：已知 f(x)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足 f(x+999)=1x) ， f(999+x)=f(999f (

2、 x)試判斷函數(shù) f(x)的奇偶性 .抽象函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一 . 概念 : 抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出具體的函數(shù)解析式或圖像 , 只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù) , 如函數(shù)的定義域 , 解析遞推式 , 特定點(diǎn)的函數(shù)值 , 特定的運(yùn)算性質(zhì)等 , 它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn) , 也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn) , 由于抽象函數(shù)沒(méi)有具體的解析表達(dá)式作為載體 , 因此理解研究起來(lái)比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、 豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力1、周期函數(shù)的定義：對(duì)于 f ( x) 定義域內(nèi)的每一個(gè)x ，都存在非零常數(shù)T ，使得 f ( xT )f

3、 (x) 恒成立，則稱函數(shù)f ( x) 具有周期性， T 叫做 f ( x) 的一個(gè)周期，則kT （ kZ ,k0 ）也是 f (x) 的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫f ( x) 的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè) yf ( x) 是周期函數(shù)，在任意一個(gè)周期內(nèi)的圖像為C: yf ( x),xa,b ,Tba 。 把 yf ( x)沿 x軸平移 KTK (ba) 個(gè)單位即按向量a (kT,0)平移，即得 y f ( x) 在其他周期的圖像：yf ( xkT ), xkTa, kTb 。;.f (x)f ( x)xa,bf ( x kT )xkTa,kT b2、奇偶函數(shù)：設(shè) y f (x), xa,

4、 b 或 xb,aa,b若 f (x)f (x),則稱 yf ( x)為奇函數(shù)；若 f (x)f ( x)則稱 yf ( x)為偶函數(shù) 。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對(duì)稱性：（1）中心對(duì)稱即點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn) A( x, y)與 B( 2a x,2by)關(guān)于點(diǎn) (a,b)對(duì)稱； 點(diǎn) A(ax,by)與 B(ax,by)關(guān)于 (a,b) 對(duì)稱； 函數(shù) yf ( x)與2byf (2ax)關(guān)于點(diǎn) (a, b)成中心對(duì)稱； 函數(shù) byf (a x)與 byf (ax)關(guān)于點(diǎn) (a,b)成中心對(duì)稱； 函數(shù) F（ x, y)0與 F ( 2ax,2by)0關(guān)于點(diǎn) (a,b)成中心對(duì)稱。（2）軸對(duì)稱：對(duì)稱軸方程為：

5、Ax By C0 。點(diǎn) A( x, y)與B( x / , y/) B( x2A( AxBy C ) , y2B( AxBy C) ) 關(guān) 于A2B 2A2B2直線 AxByC0成軸對(duì)稱；函數(shù) yf (x)與 y2B( AxByC)f (x2 A(AxByC) 關(guān)于直線A2B 2A2B 2AxByC0 成軸對(duì)稱。F ( x, y)與F ( x2A( AxByC)2B( AxByC) )0 關(guān)于直線0A2B 2, yA2B 2AxByC0成軸對(duì)稱。二、函數(shù)對(duì)稱性的幾個(gè)重要結(jié)論（一）函數(shù)yf ( x) 圖象本身的對(duì)稱性（自身對(duì)稱）若 f ( xa)f ( xb) ，則 f ( x) 具有周期性；若

6、 f (ax)f (bx) ，則 f (x)具有對(duì)稱性：“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性”。1、 f ( a x)f (bx)yf ( x) 圖象關(guān)于直線 x(ax)(b x)a b 對(duì)稱22推論 1： f (ax)f (ax)y f (x) 的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱;.推論 2、 f ( x)f (2ax)yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱推論 3、 f (x)f ( 2ax)yf ( x) 的圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱2、 f ( a x)f (bx)2cyabf ( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (, c) 對(duì)稱2推論 1、 f (ax)f (ax)2by f (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a,b)

7、對(duì)稱推論 2、 f (x)f (2ax)2byf (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a,b) 對(duì)稱推論 3、 f (x)f ( 2ax)2byf (x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) (a,b) 對(duì)稱（二）兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性（相互對(duì)稱）（利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解）1、偶函數(shù) yf ( x) 與 yf (x) 圖象關(guān)于 Y 軸對(duì)稱2、奇函數(shù) yf ( x) 與 yf ( x) 圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)3、函數(shù) yf(x) 與 yf ( x) 圖象關(guān)于 X 軸對(duì)稱4、互為反函數(shù)yf ( x) 與函數(shù) yf1( x) 圖象關(guān)于直線 yx 對(duì)稱5. 函數(shù) yf (ax) 與 yf (b x) 圖象關(guān)于直線 xba2對(duì)

8、稱推論 1: 函數(shù) yf (a x) 與 yf (ax) 圖象關(guān)于直線 x0對(duì)稱推論 2: 函數(shù) yf ( x) 與 yf (2ax)圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱推論 3: 函數(shù) yf ( x) 與yf (2ax) 圖象關(guān)于直線xa 對(duì)稱（三） 抽象函數(shù)的對(duì)稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì) 1 若函數(shù) y f(x)關(guān)于直線 x a 軸對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：（ 1） f(a x) f(a x)（ 2） f(2a x) f(x)（ 3） f(2a x) f( x)性質(zhì) 2 若函數(shù) y f(x) 關(guān)于點(diǎn)（ a， 0）中心對(duì)稱，則以下三個(gè)式子成立且等價(jià)：（ 1） f(a x) f(a x) （

9、 2） f(2a x) f(x)（3） f(2a x) f( x)易知， y f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或 2）當(dāng) a0 時(shí)的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義 1、 若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量 x，均有 fg( x) fg(x) ，則復(fù)數(shù)函數(shù) y fg(x) 為偶函數(shù)。;.定義 2、 若對(duì)于定義域內(nèi)的任一變量x，均有 fg( x) fg(x)，則復(fù)合函數(shù) yfg(x)為奇函數(shù)。說(shuō)明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù) fg(x)為偶函數(shù)，則 fg( x) fg(x)而不是 f g(x) fg(x)，復(fù)合函數(shù) yfg(x)為奇函數(shù)，則 fg( x) fg(x)而不是f g(x) fg(x)。（2）兩個(gè)特例：

10、 y f(x a) 為偶函數(shù)，則f(x a) f( xa) ； y f(x a) 為奇函數(shù)，則 f( x a) f(a x)（3）yf(x a) 為偶（或奇）函數(shù)，等價(jià)于單層函數(shù) yf(x) 關(guān)于直線 x a 軸對(duì)稱（或關(guān)于點(diǎn)（ a，0）中心對(duì)稱）3、復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱性性質(zhì) 3 復(fù)合函數(shù) yf(a x) 與 y f(b x) 關(guān)于直線 x（ ba）/2 軸對(duì)稱性質(zhì) 4、復(fù)合函數(shù) yf(a x) 與 y f(b x) 關(guān)于點(diǎn)（ ba）/2 ，0）中心對(duì)稱推論 1、 復(fù)合函數(shù) yf(a x) 與 yf(a x) 關(guān)于 y 軸軸對(duì)稱推論 2、 復(fù)合函數(shù) yf(a x) 與 y f(a x) 關(guān)于原點(diǎn)中

11、心對(duì)稱4、函數(shù)的周期性若 a 是非零常數(shù)，若對(duì)于函數(shù) yf(x) 定義域內(nèi)的任一變量 x 點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù) yf(x) 是周期函數(shù)，且 2|a| 是它的一個(gè)周期。f(x a) f(x a) f(x a) f(x) f(x a) 1/f(x) f(x a) 1/f(x) 5、函數(shù)的對(duì)稱性與周期性性質(zhì) 5 若函數(shù) yf(x) 同時(shí)關(guān)于直線 xa 與 xb 軸對(duì)稱，則函數(shù) f(x) 必為周期函數(shù)，且T 2|a b|性質(zhì) 6、若函數(shù) yf(x) 同時(shí)關(guān)于點(diǎn)（ a， 0）與點(diǎn)（ b，0）中心對(duì)稱，則函數(shù) f(x) 必為周期函數(shù)，且 T2|a b|性質(zhì) 7、若函數(shù) yf(x) 既關(guān)于點(diǎn)（ a，

12、0）中心對(duì)稱，又關(guān)于直線 xb 軸對(duì)稱，則函數(shù) f(x) 必為周期函數(shù)，且 T 4|a b|6 、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用（ 1）若 yf ( x)關(guān)于點(diǎn)（ h, k)對(duì)稱，則 xx/2h, yy /2k , 即f ( x)f ( x/ )f (x)f (2h x)2kf ( x1 )f (x2 )f ( xn ) f (2hxn ) f (2hxn 1 )f (2hx1 ) 2nk（ 2）例題1、 f (x)a x關(guān)于點(diǎn)（11f (1x)1;a x2， ）對(duì)稱： f (x)a2f ( x)4 x1關(guān)于（ ，）對(duì)稱：f ( x)f ( x) 22x12x 10 1;.f ( x)1R, x111)1x

13、(0)關(guān)于（，）對(duì)稱： f（x)f (122x2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對(duì)稱： f ( x)f (x)0 。3、若 f ( x)f ( 2ax)或 f (ax)f (a x), 則 yf (x) 的圖像關(guān)于直線 xa 對(duì)稱。設(shè)f (x) 0有 n個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則x1 x2xnx1 (2a x1 )x2(2a x2 )xn( 2ax n ) na .22(當(dāng) n2k1時(shí)，必有 x12ax1,x1a)（四）常用函數(shù)的對(duì)稱性三、函數(shù)周期性的幾個(gè)重要結(jié)論1、 f ( xT )f( x) (T0 )y f (x) 的周期為T ， kT ( kZ ) 也是函數(shù)的周期2、 f ( xa)f(x b

14、)yf ( x) 的周期為 Tba3、 f ( xa)f (x)yf ( x) 的周期為 T2a4、 f ( xa)1yf ( x) 的周期為 T2af ( x)5、 f ( xa)1yf (x) 的周期為 T2af ( x)6、 f ( xa)1f ( x)yf (x) 的周期為 T3a1f (x)7、 f ( xa)1y f (x) 的周期為 T2af ( x)18、 f ( xa)1f (x)yf (x) 的周期為 T4a1f (x)、 f ( x2a)f ( xa)f ( x)y f ( x)的周期為T6a9;.10、若 p 0, f ( px) f ( pxp ) ,則Tp .221

15、1、 yf (x) 有兩條對(duì)稱軸 xa 和 xb (b a)yf ( x) 周期 T2(ba)推論：偶函數(shù) yf ( x) 滿足 f(ax)f (ax)yf ( x) 周期 T2a12、 yf (x) 有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0) 和(b,0)(ba)yf (x) 周期 T 2(b a)推論：奇函數(shù) yf ( x) 滿足 f(ax)f ( ax)yf ( x) 周期 T4a13、 yf (x) 有一條對(duì)稱軸 xa 和一個(gè)對(duì)稱中心(b,0) (ba)f (x) 的 T4(b a)四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對(duì)稱性解題的常見(jiàn)類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、 周期性與對(duì)稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，它對(duì)訓(xùn)練學(xué)生

16、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力有重要作用. 下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明其應(yīng)用類型。1. 求函數(shù)值例 1. （ 1996 年高考題）設(shè)f ( x) 是 (,) 上的奇函數(shù)，f (2x)f ( x), 當(dāng)0 x 1 時(shí)， f (x)x ，則 f (7.5)等于（ -0.5 ）（ A） 0.5;（B） -0.5;（ C） 1.5;（D） -1.5.例 2（ 1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知f ( x) 是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f ( x 2) 1 f (x) 1f (x) ， f (1) 23, 求 f(1989) 的值 . f (1989)32 。2、比較函數(shù)值大小1例 3. 若 f ( x)( xR)

17、是以 2 為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x 0,1 時(shí)，f( )x1998,試比較xf ( 98) 、 f (101) 、 f (104) 的大小 .1917151解：f ( x)( x R) 是以 2 為周期的偶函數(shù)，又f ( x) x1998 在 0,1 上是增函數(shù)，且0116141， f ( 1 )f (16)f (14 ),即f (101f ( 98)f (104).1719151719151719153、求函數(shù)解析式例4. （ 1989 年高考題）設(shè)f (x) 是定義在區(qū)間(,)上且以 2為周期的函數(shù)，對(duì)kZ ，用 I k 表示區(qū)間 ( 2k1,2k1), 已知當(dāng) xI 0 時(shí)， f ( x)x

18、2 . 求 f (x) 在 I k 上的解析式 .解：設(shè) x( 2k1,2k1),2k1x2k11x2k 1x I 0 時(shí)，有 f ( x)x2 ,由 1x2k1得 f (x2k)( x2k) 2;.f (x) 是以 2 為周期的函數(shù)，f (x2k )f ( x),f ( x)( x2k) 2 .例 5設(shè) f ( x) 是定義在 (,) 上以 2 為周期的周期函數(shù)，且f ( x) 是偶函數(shù)，在區(qū)間 2,3 上， f (x)2( x3)24. 求 x1,2 時(shí)， f ( x) 的解析式 .解：當(dāng) x3, 2 ，即x2,3 ，f ( x)f (x)2(x3) 242( x3) 24又 f (x)

19、是以 2 為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)x1,2 ，即3x42 時(shí)，有f ( x)f (x4)f ( x)2 ( x4)3 242(x1)24(1x2).f ( x)2( x1)24(1x2).4、判斷函數(shù)奇偶性例 6. 已知 f (x) 的周期為4，且等式f (2x)f ( 2x) 對(duì)任意 xR 均成立，判斷函數(shù)f ( x) 的奇偶性 .解：由 f ( x) 的周期為 4，得 f ( x)f (4x) ，由 f (2x)f (2x) 得f (x)f ( 4x) ，f (x)f ( x), 故 f ( x) 為偶函數(shù) .5、確定函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)例 7. 設(shè)函數(shù)f ( x) 對(duì)任意實(shí)數(shù)x 滿

20、足 f (2x)f (2x) ， f (7x)f (7x)且 f (0)0, 判斷函數(shù)f ( x) 圖象在區(qū)間30,30 上與 x 軸至少有多少個(gè)交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)f (x) 圖象關(guān)于直線x2 和 x7 對(duì)稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得f (x) 是以 10 為周期的函數(shù) . 在一個(gè)周期區(qū)間0,10 上，f (0)0, f (4)f (22)f (22)f (0)0且 f (x)不能恒為零 ,故 f (x) 圖象與 x 軸至少有 2 個(gè)交點(diǎn) .而區(qū)間30,30 有 6 個(gè)周期，故在閉區(qū)間30,30 上 f (x) 圖象與 x 軸至少有 13 個(gè)交點(diǎn).6、在數(shù)列中的應(yīng)用;.例 8.在數(shù)列an 中， a

21、13, an1an 1 (n2) ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并計(jì)算1an 1a1 a5a9a1997 .分析：此題的思路與例2 思路類似 .解：令 a1tg1a11tgtg (), 則 a2a11tg14a31a21tg (4)tg (2)1a21tg ()44an 1tg(n1),于是 an1an1tg (n 1)41an14不難用歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)為：antg (n) ，且以4為周期.44于是有 1， 5， 91997 是以 4 為公差的等差數(shù)列，a1a5a9a1997 ，由 19971(n1)4 得總項(xiàng)數(shù)為500 項(xiàng)，a1a5a9a1997500a15003.7、在二項(xiàng)式中的應(yīng)用例 9.今天

22、是星期三，試求今天后的第92 92 天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開(kāi)式后，利用一周為七天這個(gè)循環(huán)數(shù)來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可.解：92 92(91 1) 92C 920 9192C921 9191C9290 912C 9291 9119292(7 13 1)92C920(7 13)92C921 (7 13)91C9290 (7 13)2C9291 (7 13) 1因?yàn)檎归_(kāi)式中前 92 項(xiàng)中均有7 這個(gè)因子，最后一項(xiàng)為1，即為余數(shù)，故 9292天為星期四 .8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例 10.（上海市1994 年高考題） 設(shè) z13 i(i 是虛數(shù)單位 ) ，則滿足等式 zn z,22且大于 1 的正整數(shù) n 中

23、最小的是（A） 3；（ B）4；（C）6；（D）7.;.分析：運(yùn)用 z13 i 方冪的周期性求值即可 .22解：znz,(n 11) 0zn 11，z zz31,n1必須是 3的倍數(shù) ,即 n 13k (k N ),n3k1(kN ).k1時(shí) , n最小 , (n)min4.故選擇 ( B)9、解“立幾”題例 11.ABCD A1 B1C1 D1 是單位長(zhǎng)方體，黑白二蟻都從點(diǎn)A 出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是AA1A1D1, 黑蟻爬行的路線是ABBB1. 它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i2 段所在直線與第i 段所在直線必須是異面直線（其中iN ) . 設(shè)黑白二

24、蟻?zhàn)咄甑?990 段后，各停止在正方體的某個(gè)頂點(diǎn)處，這時(shí)黑白蟻的距離是（A）1； （B） 2 ；（C） 3；（D）0.解：依條件列出白蟻的路線AA1A1 D1D1C1C1C CBBAAA1, 立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻?zhàn)咄炅魏笥只氐搅薃 點(diǎn) . 可驗(yàn)證知： 黑白二蟻?zhàn)咄炅魏蟊鼗氐狡瘘c(diǎn)，可以判斷每六段是一個(gè)周期.1990=6 331 4 ，因此原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻?zhàn)咄晁亩魏蟮奈恢?，不難計(jì)算出在走完四段后黑蟻在D1 點(diǎn)，白蟻在 C 點(diǎn)，故所求距離是2.例題與應(yīng)用例 1：f(x)是 R 上的奇函數(shù) f(x)= f(x+4)，x 0 ，2 時(shí) f(x)=x，求 f(2007)的值例 2：已知 f(x)

25、是定義在 R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)1 f(x)=1+f(x)， f(1)=2，求f(2009)的值 。故 f(2009)= f(251 8+1)=f(1)=2例 3：已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， f(x)= f(4-x)，且當(dāng) x2,0 時(shí)， f(x)= 2x+1，則當(dāng) x4,6時(shí)求 f(x) 的解析式例 4：已知 f(x)是定義在 R上的函數(shù)，且滿足 f(x+999)=1x) ， f(999+x)=f(999f ( x)試判斷函數(shù) f(x)的奇偶性 .例 5：已知 f(x)是定義在 R 上的偶函數(shù)， f(x)=f(4-x)，且當(dāng) x2,0 時(shí)， f(x) 是減;.函數(shù)，求證

26、當(dāng)x4,6 時(shí) f(x)為增函數(shù)例 6：f(x)滿足 f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若 f(a)=-f(2000)，a 5 ，9 且 f(x)在5 ， 9 上單調(diào) . 求 a 的值 .例 7：已知 f(x) 是定義在 R 上的函數(shù)， f(x)= f(4x) ， f(7+x)= f(7x),f(0)=0 ，求在區(qū)間 1000， 1000 上 f(x)=0 至少有幾個(gè)根？解：依題意 f(x) 關(guān)于 x=2， x=7 對(duì)稱，類比命題2（ 2）可知 f(x)的一個(gè)周期是 10故 f(x+10)=f(x) f(10)=f(0)=0又 f(4)=f(0)=0即在區(qū)間 (0 ， 10上，方程 f(x)=0至少兩個(gè)根又 f(x) 是周期為10 的函數(shù)，每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根，因此方程 f(x)=0在區(qū)間 1000，1000 上至少有 1+ 22000=401 個(gè)根 .10例 1