數(shù)學(xué)競賽模擬試卷

1、2017年數(shù)學(xué)競賽模擬試卷（4） 姓名_一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分。請直接將答案寫在題中的橫線上）1若函數(shù)（）的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為 。2已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為 。3函數(shù)零點的個數(shù)為 。4如圖，在正方體中，二面角的大小為 。5在空間四邊形中，已知，則 。6已知直線過橢圓：的左焦點且交橢圓于、兩點。為坐標(biāo)原點，若，則點到直線的距離為 。7已知，若關(guān)于的方程（為虛數(shù)單位）有實數(shù)根，則復(fù)數(shù)的模的最小值為 。8將16本相同的書全部分給4個班級，每個班級至少有一本書，且各班所得書的數(shù)量互不相同，則不同的分配方法種數(shù)為 。（用數(shù)字作答）9是定義在的函數(shù)，若，且對

2、任意，滿足，則 。10當(dāng)，為正數(shù)時，的最大值為 。二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分。要求寫出解題過程）11已知數(shù)列的前項和（）。（1）求的通項公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求正整數(shù)，使得對任意均有；（3）設(shè)，是數(shù)列的前項和，若對任意均有成立，求的最小值。12已知（）。（1）若曲線在點處的切線方程為，求，的值；（2）若恒成立，求的最大值。13如圖，、為雙曲線：的左、右焦點，動點（）在雙曲線上的右支上。設(shè)的角平分線交軸于點，交軸于點。（1）求的取值范圍；（2）設(shè)過，的直線交雙曲線于點，兩點，求面積的最大值。14求滿足下列條件的最小正整數(shù)：若將集合任意劃分為63個兩兩不相交的子集（

3、它們非空且并集為集合），則總存在兩個正整數(shù)，屬于同一個子集（）且，。數(shù)學(xué)競賽模擬試卷（4）參考答案一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分。請直接將答案寫在題中的橫線上）1若函數(shù)（）的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為 ?！敬鸢浮?【解答】 ，且的最小正周期為。 ，。又時， ，即時，在區(qū)間上取最大值。2已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為 ?！敬鸢浮?【解答】。由，得。 時，。滿足。時，由，得，。滿足。時，由，得，。由滿足，得，。綜合得，。的取值范圍為。3函數(shù)零點的個數(shù)為 ?！敬鸢浮?1【解答】 。時，；時， 。 在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)。又時，；，。 函數(shù)的零點個數(shù)為1?；颍鹤鲌D

4、考察函數(shù)與圖像交點的個數(shù)。4如圖，在正方體中，二面角的大小為 ?！窘獯稹吭O(shè)正方體棱長為1。作于，連結(jié)。由正方體的性質(zhì)知，。 ， 為二面角的平面角，且，。 。 二面角的大小為?；颍涸O(shè)、交于點，由，得。5在空間四邊形中，已知，則 ?！敬鸢浮?7【解答】 以，為基底向量。則。 ，即 。 ， 。 。6已知直線過橢圓：的左焦點且交橢圓于、兩點。為坐標(biāo)原點，若，則點到直線的距離為 ?！敬鸢浮?【解答】 。顯然軸不符合要求。設(shè)直線方程為。由，得 的判別式大于0。設(shè)，則，。由，得。 ，。 點到直線的距離為。7已知，若關(guān)于的方程（為虛數(shù)單位）有實數(shù)根，則復(fù)數(shù)的模的最小值為 ?！敬鸢浮?1【解答】設(shè)（，），是方程

5、的一個實數(shù)根。則。 。由得，代入，得，。 ，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 的最小值為1。（，或，即）。8將16本相同的書全部分給4個班級，每個班級至少有一本書，且各班所得書的數(shù)量互不相同，則不同的分配方法種數(shù)為 。（用數(shù)字作答）【答案】 216【解答】 將16分解成4個互不相同的正整數(shù)的和有9種不同的方式：，。 符合條件的不同分配方法有種。9是定義在的函數(shù)，若，且對任意，滿足，則 ?！敬鸢浮?【解答】 對任意， 又 ， 。 。 。10當(dāng)，為正數(shù)時，的最大值為 。 【解答】 ，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。 。 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。 的最大值為。注：本題利用待定系數(shù)法。將拆成兩項和。由，

6、以及，得。由此得到本題的解法。二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分。要求寫出解題過程）11已知數(shù)列的前項和（）。（1）求的通項公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項和，求正整數(shù)，使得對任意均有；（3）設(shè)，是數(shù)列的前項和，若對任意均有成立，求的最小值?！窘獯稹浚?）由，得。兩式相減，得。 ，數(shù)列為等比數(shù)列，公比。由又，得，。 。（2）。由計算可知，。當(dāng)時，由，得當(dāng)時，數(shù)列為遞減數(shù)列。于是，時，。 時，。因此，。 對任意均有。故。 （3） 15分 。 對任意均有成立， 。的最小值為。 12已知（）。（1）若曲線在點處的切線方程為，求，的值；（2）若恒成立，求的最大值?！窘獯稹浚?）。依題意，有。

7、解得，。 ，。 5分（2）設(shè)，則，。 時，定義域，取使得，得。則與矛盾。 時，不恒成立，即不符合要求。 10分 時，（）。當(dāng)時，；當(dāng)時，。 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)。 在其定義域上有最大值，最大值為。由，得。 。 15分 。設(shè)，則。 時，；時，。 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)。 的最大值為。 當(dāng)，時，取最大值為。綜合，得，的最大值為。 20分13如圖，、為雙曲線：的左、右焦點，動點（）在雙曲線上的右支上。設(shè)的角平分線交軸于點，交軸于點。（1）求的取值范圍；（2）設(shè)過，的直線交雙曲線于點，兩點，求面積的最大值?！窘獯稹浚?）依題意，。（第14題）直線方程為；直線方程為。即直線方程

8、為；直線方程為。由點在的平分線上，得。由，以及，得。 ，。 。 結(jié)合，得。 的取值范圍為。 （2）由（1）知，直線方程為。令，得。故，點坐標(biāo)為。 直線方程為。由，消得 的判別式。設(shè)，則，。 15分 。由，得，。 ， 。設(shè)，則，。 ，即點為時，面積取最大值。 面積的最大值為。 20分14求滿足下列條件的最小正整數(shù)：若將集合任意劃分為63個兩兩不相交的子集（它們非空且并集為集合），則總存在兩個正整數(shù)，屬于同一個子集（）且，。【解答】考慮模63的剩余類，即將集合劃分為如下63個兩兩不相交的子集：，2，3，63。 5分則對每一個（）及任意的，（）都有。于是，。 。若，則，與矛盾。 時，不滿足題設(shè)條件。 10分另