文科導數(shù)講義

1、導數(shù)專題一、導數(shù)的基本概念1.平均變化率和瞬時變化率（1）平均變化率：函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=（2）瞬時變化率：當時，此時的就叫做瞬時變化率2.導數(shù)的定義如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f（x）在點x處的導數(shù)，記作f(x)或y|。即f（x）=。說明：（1）函數(shù)f（x）在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x處不可導，或說無導數(shù)。（2）是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)

2、y=f（x）在點x處的導數(shù)的步驟： 求函數(shù)的增量=f（x+）f（x） 求平均變化率= 取極限，得導數(shù)f(x)=例1 在處可導，則 2 -1 例2已知f(x)在x=a處可導，且f(a)=b，求下列極限：（1）； （2）例3設f(x)= x|x|, 則f( 0)= 習題精煉：1. 在內(nèi)的平均變化率為（ ）A3 B2 C1 D02. 設函數(shù)，當自變量由改變到時，函數(shù)的改變量為（ ）A BC D3. 質(zhì)點運動動規(guī)律，則在時間中，相應的平均速度為（ ）A BC D4. 在附近的平均變化率是_5. 一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為（ ）從時間到時，物體的平均速度； 在時刻時該物體的瞬時速

3、度； 當時間為時物體的速度； 從時間到時物體的平均速度6. 在 =1處的導數(shù)為（ ）A2 B2 C D17. 函數(shù)的圖像是折線段ABC,其中A.B.C的坐標分別為,則 ， .8. 在高臺跳水運動中,t秒時運動員相對于水面的高度為,則運動員在1秒時的瞬時速度為 ,此時運動狀態(tài)是 3.導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。例1：在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是( )A3B2C1D0例

4、2：求函數(shù)過點（1,1）的切線例3：已知直線與相切，求K的值例4：求在點和處的切線方程。4.導數(shù)的運算1 基本函數(shù)的導數(shù)公式: （C為常數(shù)） ; ; ; ; 例1：下列求導運算正確的是 ( B )A(x+ B(log2x)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx 例2：設f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，則f2005(x)( C )A B C D 2 導數(shù)的運算法則 若的導數(shù)都存在，則 ： 為常數(shù)）； 例1：求下列函數(shù)的導數(shù)（1） (2）例2：設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x0

5、時,0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)(3,+) D (-,- 3)(0, 3)解析：當x0時,0 ，即 當x0時，f(x)g(x)為增函數(shù)，又g(x)是偶函數(shù)且g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0故當時，f(x)g(x)0，又f(x)g(x)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)g(x)為減函數(shù)，且f(3)g(3)=0故當時，f(x)g(x)0故選D習題精煉：1.已知曲線求 (1).曲線在P(1,1)處的切線方程. (2).曲線過點Q(1,0)的切線方程. (3).滿足斜率

6、為-的切線的方程.2.求在點和處的切線方程。3.【2012高考真題陜西理7】設函數(shù)，則（ ）A. 為的極大值點 B.為的極小值點C. 為的極大值點 D. 為的極小值點4.【2012高考真題遼寧理12】若，則下列不等式恒成立的是(A) (B) (C) (D)5.【2012高考真題全國卷理10】已知函數(shù)yx²-3x+c的圖像與x恰有兩個公共點，則c（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或16.（福建理10）已知函數(shù)，對于曲線上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ABC一定是鈍角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形ABC不可能是等腰三角形其

7、中，正確的判斷是ABCD7.（湖南文8）已知函數(shù)若有則的取值范圍為A B C D8.（全國文4）曲線在點（1,0）處的切線方程為 （A） （B） （C） （D）二、導數(shù)的應用（1）設函數(shù)在某個區(qū)間（a，b）可導，如果，則在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果，則在此區(qū)間上為減函數(shù)。（2）如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)。1.函數(shù)單調(diào)性（1） 簡單函數(shù)單調(diào)性例1. 已知函數(shù)的圖象如圖所示（其中 是函數(shù)的導函數(shù)），下面四個圖象中的圖象大致是 ( ) 解析：由函數(shù)的圖象可知：當時， <0，>0，此時增當時，>0，<0，此時減當時，<0，<0，此時減當時，>0，>0，此時

8、增故選C例2.設恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解：若，對恒成立，此時只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾若， ，也只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾若 ，此時恰有三個單調(diào)區(qū)間 且單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為例3. 已知函數(shù)的圖象過點P（0,2）,且在點M處的切線方程為. （）求函數(shù)的解析式； （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（）由的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的解析式是 （）解得 當當故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù).（2） 含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性例1：已知函數(shù)，其中 ()討論的單調(diào)性；()求證：對，都有。（3） 定區(qū)間上函數(shù)單調(diào)性例1：已知，若函數(shù)在（-1,

9、1）內(nèi)是減函數(shù)，求的范圍。例2：已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1。（）設a=2，求f（x）的單調(diào)期間；（）設f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍。例3：已知函數(shù)設在區(qū)間（2,3）中至少有一個極值點，求的范圍。例4已知函數(shù)，x其中a>0.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；（III）當a=1時，設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間上的最小值。【答案】2.極值與最值在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)

10、函數(shù)f（x）不一定有最大值，例如。（1）函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（2）函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。（1） 簡單的求極值最值例1：函數(shù)在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是 .解析：由=0，得，當時，>0，當時，<0，當時，>0，故的

11、極小值、極大值分別為， 而故函數(shù)在-3，0上的最大值、最小值分別是3、-17。例2：設，集合，.（1）求集合（用區(qū)間表示）（2）求函數(shù)在內(nèi)的極值點.【答案】【解析】（1）令，。 當時，方程的兩個根分別為，所以的解集為。因為，所以。 當時，則恒成立，所以，綜上所述，當時，；當時，。（2）， 令，得或。 當時，由（1）知，因為，所以，所以隨的變化情況如下表：0極大值所以的極大值點為，沒有極小值點。 當時，由（1）知，所以隨的變化情況如下表：00極大值極小值所以的極大值點為，極小值點為。綜上所述，當時，有一個極大值點，沒有極小值點；當時，有一個極大值點，一個極小值點。例3：已知函數(shù)其中 (1)當時，

12、求曲線處的切線的斜率； (2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（I）（II）以下分兩種情況討論。（1），則.當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值（2），則，當變化時，的變化情況如下表：+00+極大值極小值（2） 恒成立與能成立問題例1：已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a0.（1）若對一切xR，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2)(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0（x1,x2）,使恒成立.【答案】解：令.當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增，故當時，取最小值于是對一切恒成立，當且僅當.

13、令則當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.故當時，取最大值.因此，當且僅當時，式成立.綜上所述，的取值集合為.（）由題意知，令則令，則.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.故當，即從而，又所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.例2：設函數(shù)在及時取得極值（）求a、b的值；（）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍例3：已知函數(shù).()當時，討論的單調(diào)性；（）設當時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.例4：設函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求的取值范圍；（3）若對任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍。（3） 交點個數(shù)的問題例1：已知是函數(shù)的一個極值點。（

14、）求；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。例2：已知函數(shù)（1） 求的單調(diào)區(qū)間（2） 在處取得極值，直線與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍。習題精煉：1.【2012高考真題廣東理21】（本小題滿分14分）設a1，集合，。（1）求集合D（用區(qū)間表示）；（2）求函數(shù)在D內(nèi)的極值點2.【2012高考真題安徽理19】（本小題滿分13分）設。（I）求在上的最小值；（II）設曲線在點的切線方程為；求的值?！窘馕觥浚↖）設；則，當時，在上是增函數(shù)，得：當時，的最小值為。當時，當且僅當時，的最小值為。（II），由題意得：。3.【2012高考重慶文17】（本小題滿分13分）已

15、知函數(shù)在處取得極值為（1）求a、b的值；（2）若有極大值28，求在上的最大值 【解析】（）因 故 由于 在點 處取得極值故有即 ，化簡得解得（）由（）知 ，令 ，得當時，故在上為增函數(shù)；當 時， 故在 上為減函數(shù)當 時 ，故在 上為增函數(shù)。由此可知 在 處取得極大值， 在 處取得極小值由題設條件知 得此時，因此 上的最小值為4.【2012高考湖北文22】（本小題滿分14分）設函數(shù)，n為正整數(shù)，a,b為常數(shù)，曲線y=f(x)在（1，f(1)）處的切線方程為x+y=1.（1）求a,b的值；（2）求函數(shù)f(x)的最大值（3）證明：f(x)< .【答案】5.（江西理19）設.（1）若在上存在單調(diào)

16、遞增區(qū)間，求的取值范圍；（2）當時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.6.【2012高考安徽文17】（本小題滿分12分）設定義在（0，+）上的函數(shù)（）求的最小值；（）若曲線在點處的切線方程為，求的值。【解析】（I）（方法一），當且僅當時，的最小值為。（II）由題意得：， ， 由得：。7.（全國文21）設函數(shù)（）若a=，求的單調(diào)區(qū)間；（）若當0時0，求a的取值范圍8.（天津文20）已知函數(shù)，其中（）若，求曲線在點處的切線方程；（）若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍9.【2012高考遼寧文21】(本小題滿分12分)設，證明： ()當x1時， （ ） ()當時，【答案】10.【2012高考真題重慶理16】（本小題滿分13分，（）小問6分，（）小問7分.）設其中，曲線在點處的切線垂直于軸.（） 求的值；（）求函數(shù)的極值. 【答案】11.已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調(diào)