復(fù)數(shù)的乘冪與方根

1、1復(fù)變函數(shù)與積分變換2第第1 1章章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)的乘冪與方根 區(qū)域31.3.1 乘積與商乘積與商 定理定理1.11.1 兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積; 兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和。 12zz設(shè)復(fù)數(shù)和的三角形式分別為1111(cossin,zri）2222(cossin,zri）12111222(cossin)(cossin)z zriri1212121212(coscossinsin)(sincoscossin)r ri1 212Arg()ArgArg .z zzz12121212cos()sin()z zr ri1 21212z zr rzz,4 幾何

2、意義幾何意義 , 2倍倍再再把把它它的的模模擴(kuò)擴(kuò)大大到到 r從幾何上看從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為 , ,21zz , 21 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個個角角按按逆逆時時針針方方向向先先把把 z . 21zzz 就就表表示示積積所所得得向向量量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘, , 輻角相加輻角相加. .5如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù)如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù): :)(212122112121ee,eiiirrzzrzrz為則定理一可簡明地表示)4 . 3 . 1 (e)sin()cos(), 2 , 1(),sin(cos)(21212

3、1212121nkinnnnnkkkikkrrrirrrzzznkirerz則 由此逐步可證, 如果6定理定理1.21.2 兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.,1212zzzz .ArgArgArg1212zzzz 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz則則,222 ierz ,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz 則有則有71.3.2 冪與方根冪與方根(a) n次冪次冪:, , nznzzn記記作作次次冪冪的的的的乘乘積積稱稱為為個個相相同

4、同復(fù)復(fù)數(shù)數(shù). 個個nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有對于任何正整數(shù)對于任何正整數(shù).1 , nnzzn 有有為負(fù)整數(shù)時為負(fù)整數(shù)時.ArgArg,znzzznnn 因因而而有有8.sincos)sin(cos ninin . , (c)為為已已知知復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)其其中中的的根根計計算算方方程程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)(b)棣莫佛棣莫佛( (De Moivre)公式公式 特別，當(dāng)特別，當(dāng)Z=(cosZ=(cos+ +i isinsin) )時，時，9設(shè)irez 為已知復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，則稱滿足方程zwn的所有

5、w值為z的n次方根，并且記為nzw 設(shè),iew 則iinnreerniinee,nr,2kn, 2, 1, 0k10即,nr,2nk, 2, 1, 0k)2sin2(cos12nkinkrerwnnkin當(dāng)k0，1，2，n1時，得到n個相異的根：)sin(cos10ninrwn11)2sin2(cos11ninrwn) 1(2sin) 1(2(cos11nninnrwnn)4sin4(cos12ninrwn.,個頂點邊形的的圓的內(nèi)接正為半徑個值就是以原點為中心的結(jié)論：在幾何上nnrnznn12例：例： 求 解：解： 因為 所以 例例 ：已知 ， 求 解：解： 因為 4)1 (i12cos()s

6、in()44ii 4)sin()cos(4)1 (4iiiz31iz324281zziz312 cos()sin()66iiz32552 cos()sin()66i13)620sin()620cos(2)68sin()68cos(2484281iizz所以)628sin()628cos(24i)31 (8i14例：求38解：233388,0,1,2kiek 3330882 cossin1333ieii 23331882 cossin2iei4333255882 cossin1333ieii 15例：求41. i12 cossin,44ii 解： 因為84224412 cossin,(0,1 ,

7、2,3)44kkiik 所以16808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwi即2821+iw0w1w2w3Oxy結(jié)論：四個根是內(nèi)接于中心在原點半徑為的圓的正方形的四個頂點.8217例解方程016zsincos16iz解：因為所以)5, 4, 3, 2, 1, 0(62sin62cos16kkik可求出個根，分別是：iziziz2123,2123210iziziz2123,2123543181.4.1 區(qū)域區(qū)域(函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域)的概念的概念. : )( , 000的的鄰鄰域域

8、內(nèi)內(nèi)部部的的點點的的集集合合稱稱為為的的圓圓為為半半徑徑任任意意的的正正數(shù)數(shù)為為中中心心平平面面上上以以zzzz （1 1）鄰域）鄰域. 0 00的的去去心心鄰鄰域域所所確確定定的的點點的的集集合合稱稱為為不不等等式式zzz Z019（2 2）內(nèi)點）內(nèi)點. , , . , 000的的內(nèi)內(nèi)點點稱稱為為那那末末于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的所所有有點點都都屬屬的的一一個個鄰鄰域域存存在在如如果果中中任任意意一一點點為為為為一一平平面面點點集集設(shè)設(shè)GzGzGzG（3 3）開集）開集 如果如果 G 內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點, ,那末那末G 稱為稱為開集開集. .G20（4 4）區(qū)域）區(qū)域 如

9、果平面點集如果平面點集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件, , 則稱則稱它為一個區(qū)域它為一個區(qū)域. . (a) D D是一個是一個開集開集； (b)(b)D D是是連通的連通的, ,即即D D中任何兩點都可以用完全中任何兩點都可以用完全 屬于屬于D D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來. .z2z1D不連通z1z221（5 5）邊界點、邊界）邊界點、邊界 設(shè)設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域是復(fù)平面內(nèi)的一個區(qū)域, ,如果點如果點P P 不屬不屬于于D, 但在但在P P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點中的點,這這樣的樣的P P點我們稱為點我們稱為D的的邊界點邊界點.D的所有邊界點組成的

10、所有邊界點組成D的的邊界邊界. .（6 6）閉區(qū)域）閉區(qū)域區(qū)域區(qū)域D D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域. .22說明說明 (2) 區(qū)域的邊界可能是區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立由幾條曲線和一些孤立的點所組成的的點所組成的.z 1C2C3Cz 1C2C3C (1) 區(qū)域都是開的區(qū)域都是開的.以上基以上基本概念本概念的圖示的圖示1z 2z 區(qū)域區(qū)域 0z 鄰域鄰域P 邊界點邊界點邊界邊界不包含邊界！不包含邊界！23 （7 7）有界區(qū)域和無界區(qū)域）有界區(qū)域和無界區(qū)域. , , 0, , 界的界的否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點都滿足點都滿足使區(qū)域的每一個使區(qū)

11、域的每一個即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點點可以被包含在一個以原可以被包含在一個以原如果一個區(qū)域如果一個區(qū)域DMzMD z zxo有界！有界！y24(1) 圓環(huán)域圓環(huán)域:;201rzzr 0z 2r1r課堂練習(xí)課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 帶形域帶形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)無界無界.xyo251.4.2 1.4.2 單連通域與多連通域單連通域與多連通域. , )( ),( , )( , )( )( 稱稱為為連連續(xù)續(xù)曲曲線線表表一一條條平平面

12、面曲曲線線代代那那末末方方程程組組是是兩兩個個連連續(xù)續(xù)的的實實變變函函數(shù)數(shù)和和如如果果 ttyytxxtytx平面曲線平面曲線C C的復(fù)數(shù)表示的復(fù)數(shù)表示: :)().()()( ttiytxtzzC C的實參數(shù)方程的實參數(shù)方程C C的復(fù)參數(shù)方程的復(fù)參數(shù)方程起點起點z z( ( ) )C C終點終點z z( ( ) )zxyCC C的正向：起點的正向：起點終點終點o26. )( , )()( , , 121212121的的重重點點稱稱為為曲曲線線點點時時而而有有當(dāng)當(dāng)與與的的對對于于滿滿足足Ctztztztttttt 沒有重點的曲線沒有重點的曲線 C 稱為稱為簡單曲線簡單曲線( (或若爾當(dāng)曲線或若

13、爾當(dāng)曲線).).重點重點重點重點重點重點. , )( )( , 為為簡簡單單閉閉曲曲線線那那末末稱稱即即的的起起點點和和終終點點重重合合如如果果簡簡單單曲曲線線CzzC 換句話說換句話說, 簡單曲線自身不相交簡單曲線自身不相交. 27簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì)約當(dāng)定理約當(dāng)定理 任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線 C C 將復(fù)平面唯一地分成將復(fù)平面唯一地分成C C, ,I I( (C C), ),E E( (C C) ) 三個互不相交三個互不相交的點集的點集. .滿足：滿足：xyoI(C)E(C)邊界邊界（1）I I( (C C) ) 是一個有界區(qū)域是一個有界區(qū)域（稱為（稱為C C的內(nèi)部

14、）的內(nèi)部）. .（2）E E( (C C) ) 是一個無界區(qū)域（稱為是一個無界區(qū)域（稱為C C的外部）的外部）. .（3）若簡單折線）若簡單折線P的一個端點屬于的一個端點屬于I(C)，另一個，另一個端點屬于端點屬于E(C) ，則，則P必與必與C相交相交. . （4）C是是I(C)，E(C) 的公共邊界的公共邊界. .28課堂練習(xí)課堂練習(xí) 判斷下列曲線是否為簡單曲線判斷下列曲線是否為簡單曲線?答答案案簡簡單單閉閉簡簡單單不不閉閉不不簡簡單單閉閉不不簡簡單單不不閉閉 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 294. 單連通域與多連通域的定義單連通域與多連通域的定義:

15、 復(fù)平面上的一個區(qū)域復(fù)平面上的一個區(qū)域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一條簡單閉曲線條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為就稱為單連通域單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為就稱為多連通域多連通域.單連通域單連通域多連通域多連通域30三、典型例題三、典型例題例例1 1 指明下列不等式所確定的區(qū)域指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是有界的還是無界的是無界的,單連通的還是多連通的單連通的還是多連通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(時時當(dāng)當(dāng)iyxz

16、,)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).313arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 無界的單連通域無界的單連通域(如圖如圖).31)3( z,3131 zz, 31 ,的的圓圓的的外外部部半半徑徑為為是是以以原原點點為為中中心心無界的多連通域無界的多連通域. 32411)4( zz表示到表示到1, 1的距離之的距離之和為定值和為定值4的點的軌跡的點的軌跡, 是橢圓是橢圓,411 zz ,411表表示示該該橢橢圓圓內(nèi)內(nèi)部部 zz有界的單連通域有界的單連通域.在平面內(nèi)，與兩個定點的距離之和等于常數(shù)的軌跡叫做橢圓。 33

17、111)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz邊邊界界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也也稱稱雙雙紐紐線線是是雙雙葉葉玫玫瑰瑰線線 r ,111是其內(nèi)部是其內(nèi)部 zz有界的單連通域有界的單連通域.34例例2 2解解 滿足下列條件的點集是什么滿足下列條件的點集是什么, 如果是區(qū)域如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域指出是單連通域還是多連通域?, 3Im)1( z是一條平行于實軸的直線是一條平行于實軸的直線, -3-2-1123x123456y不是區(qū)域不是區(qū)域., 2Re)2(), 2Re ( 2Re zz不不包包括括直直線線為為左左界界的的半半平平面面以以單連通域單連通域.35, 210)3( iz, 2 , )1( 的的去去心心圓圓盤盤為為半半徑徑為為圓圓心心以以i 是多連通域是多連通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端點不包括端點的半射線的半射線斜率為斜率為為端點為端點以以