函數(shù)的一致連續(xù)性Word版

1、哈爾濱師范大學(xué)學(xué)年論文題 目 關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)的探究學(xué) 生 萬鑫指導(dǎo)教師 曾偉梁 副教授年 級 2008級專 業(yè) 信息與計算科學(xué)系 別 信息系學(xué) 院 數(shù)學(xué)學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2011年6月0 / 22哈 爾 濱 師 范 大 學(xué)學(xué)士學(xué)位論文開題報告論文題目 關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)的探究學(xué)生姓名 萬鑫指導(dǎo)教師 曾偉梁 副教授年 級 2008級專 業(yè) 信息與計算科學(xué)2012年 03月課題來源：自選題目課題研究的目的和意義：（自此往后填寫10行字。讀畢須刪除此段斜體字！不可保留于稿內(nèi)。）國內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢：（自此往后填寫10行字。讀畢須刪除此段斜體字！不可保留于稿內(nèi)。）關(guān)于一致連續(xù)函數(shù)的判據(jù)萬鑫

2、摘 要：連續(xù)與一致連續(xù)是數(shù)學(xué)分析中非常重要也非常基礎(chǔ)的概念。這兩個概念來自于實際問題，現(xiàn)實問題。我們經(jīng)常觀察的自然現(xiàn)象，如生物的連續(xù)生長，反映的是事物連續(xù)不斷的變化的過程，如果用函數(shù)來刻畫即是函數(shù)的連續(xù)性。數(shù)學(xué)分析研究種種不同性質(zhì)的函數(shù)，其中有一類重要的函數(shù)就是一致連續(xù)函數(shù)。我們通過給出一致連續(xù)函數(shù)與非一致連續(xù)函數(shù)的定義，從而對函數(shù)的一致連續(xù)性進行探討。關(guān)鍵詞：一致連續(xù) 非一致連續(xù) 判別依據(jù) 比較判別法 比值判別法。一 函數(shù)一致連續(xù)的概念定義1：設(shè)函數(shù)在上有定義，若函數(shù)在點上存在極限，且極限是，即，則稱函數(shù)在點上連續(xù)，也稱是函數(shù)的連續(xù)點.用“”語言敘述：函數(shù)在上連續(xù),，：,時，有定義2： 設(shè)函

3、數(shù)在區(qū)間（開區(qū)間，閉區(qū)間，半開區(qū)間及無窮區(qū)間）上有定義，若,，,時，有可以看出，函數(shù)c在上一直連續(xù)是指：不管,在中的位置如何，只要他們的距離小于，可使，其中,都可變，依賴于而與,無關(guān)。定義3： 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若, , , 時有，則稱函數(shù)在上非一致連續(xù)。對于函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)，也就是說存在某個正數(shù)，不論任何的正數(shù)，在區(qū)間內(nèi)至少存在兩點與,雖然，但。評注1：一直連續(xù)的實在，就是當(dāng)這個區(qū)間的任意兩個彼此充分靠近的點上的值之差（就絕對值來說）可以任意小。用定義證明函數(shù)在I上一致連續(xù)，通常的方法是設(shè)法證明函數(shù)在I上滿足lipschitz條件，I，其中L為某一常值函數(shù)，此條件必成立。特別的若函

4、數(shù)在I上是有界函數(shù)，則函數(shù)在I上lipschitz條件成立。二 函數(shù)一致性連續(xù)的判斷依據(jù)（一）一致連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上一致連續(xù)，則在區(qū)間上也一致連續(xù)（為任意常數(shù)）。性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上一致連續(xù)且有界,則在區(qū)間上一致連續(xù)且有界。性質(zhì)3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間（有限或無限）上一致連續(xù)，且有正的下確界（或負的上確界），則在區(qū)間上也一致連續(xù)。性質(zhì)4 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，在區(qū)間上一致連續(xù)，且,則復(fù)合函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。 性質(zhì)5 設(shè)函數(shù)與在有限區(qū)間I上一致連續(xù)，則在有限區(qū)間I上也一致連續(xù)。必需指出，對于一致連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)的一致連續(xù)性未必成立。例如函數(shù)在上一致連續(xù)，而它的反函數(shù)在上非

5、一致連續(xù)。但可以證明在有限區(qū)間上此結(jié)論為真。例1 若函數(shù)是有限區(qū)間上的一直連續(xù)函數(shù)，在上非一致連續(xù)，問：在區(qū)間上一致連續(xù)性？解：假設(shè)在區(qū)間上一致連續(xù)，又是有限上的一直連續(xù)函數(shù)，由性質(zhì)1可得在的一致連續(xù)，這與條件矛盾！所以在區(qū)間上非一致連續(xù)，同理在區(qū)間上非一致連續(xù)，所以在區(qū)間上非一致連續(xù)性.（二）一致連續(xù)的判斷依據(jù)命題1 若函數(shù)在區(qū)間上滿足lipschitz條件，即,有,其中為常數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。證明：因為函數(shù)在區(qū)間I上滿足lipschitz條件，即,有，于是，,由于,有,取,且與無關(guān)，從而, ，：,有，故函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。命題2（康托定理）若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上也一致

6、連續(xù).證明（反證法） 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間非一致連續(xù)，取，,則在區(qū)間內(nèi)存在兩點,，有,但.根據(jù)魏斯特拉斯定理知，在有界數(shù)列中存在一個收斂的子列 ,其中,又由于即,因為，并且對一切都成立。另外函數(shù)在點連續(xù)，根據(jù)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，有,于是，.所以函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上也一致連續(xù).評注：命題2對開區(qū)間不成立。例如函數(shù)在在區(qū)間上的每一個點都連續(xù)，但并非一致連續(xù)，事實上，對于任意小的，令，則，則，這時可以任意小，而可以任意大。函數(shù)在也有類似的情況，以上兩類討論的都是無界函數(shù)，而在內(nèi)的沒一點都連續(xù)，且顯然在這個區(qū)間內(nèi)有界，然而它也沒有一直連續(xù)性在這個區(qū)間內(nèi)，因為有任意小（因而也就彼此任意接近）

7、的數(shù)與存在，使得1，-1命題3 若函數(shù)在區(qū)間（有限或無限）上存在有界導(dǎo)數(shù)，即.,有,則函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).證明 因為函數(shù)在區(qū)間上存在導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)又由于,函數(shù)在上滿足拉格朗日定理的條件，即在上存在一點，使，而在區(qū)間上有界,即，,有，于是,則由命題2可知函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).命題4 若函數(shù)在開區(qū)間一致連續(xù)若函數(shù)在開區(qū)間連續(xù)，且與都存在且有限。證明 充分性：與都存在且有限，對做連續(xù)性開拓。定義：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，易知在上一致連續(xù)，從而函數(shù)在開區(qū)間一致連續(xù)。 必要性：若函數(shù)在開區(qū)間一致連續(xù)，, ,當(dāng)，且時有，將取在內(nèi)或內(nèi)，則由柯西收斂準(zhǔn)則知與都存在且有限。命題5 函數(shù)在區(qū)間上一致連

8、續(xù)對區(qū)間上任意兩個數(shù)列與，當(dāng)時，有。證明 必要性.若函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，即,，時，有。也即對區(qū)間I上的任意兩個數(shù)列與，當(dāng)時，有，則。充分性.（反證法）若兩個數(shù)列與，當(dāng)時，有，且，而函數(shù)在區(qū)間上非一致連續(xù)，, :時，。取，得兩數(shù)列與，當(dāng)時，但與假設(shè)矛盾，從而函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)。命題6 若函數(shù)在上連續(xù)，而存在且有限，則函數(shù)在上一致連續(xù)。證明 設(shè)，即，時，有所以函數(shù)在上一致連續(xù)，又由于函數(shù)在連續(xù)，從而函數(shù)在一致連續(xù)，故函數(shù)在上一致連續(xù)。 命題7 函數(shù) 在有界實數(shù)集上一直連續(xù) 函數(shù)將中的柯西列變?yōu)橹械目挛髁小?證明 必要性.若函數(shù)在上一直連續(xù)，即,，且時，有設(shè)為中的柯西列，對于上述，使得當(dāng)，時，有

9、,因而。即為柯西列。充分性（反證法）. 若函數(shù)在上非一直連續(xù)，即，取，雖然，但因為有界，故存在著收斂子列，.于是有，且，是中的柯西列，但，發(fā)散，不是柯西列，矛盾.從而函數(shù)在上一直連續(xù). 命題8 若函數(shù)在連續(xù)，且，其中b是非零常數(shù)，則函數(shù)在一致連續(xù). 證明 設(shè).有題設(shè)函數(shù)在連續(xù)，且為線性函數(shù)，在連續(xù).而連續(xù)函數(shù)之差為連續(xù)函數(shù)，從而函數(shù)在連續(xù).又由題意知，因此，根據(jù)命題6可知，函數(shù)在一致連續(xù).易知線性函數(shù)在一致連續(xù)，由，故函數(shù)在一致連續(xù). 命題9 若單調(diào)有界函數(shù)在有限或者是無窮區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).證明 不妨假設(shè).由于函數(shù)在上單調(diào)有界，則函數(shù)在也有界，從而與都存在，根據(jù)命題4可知，函

10、數(shù)在上一致連續(xù).命題10 函數(shù)在有限區(qū)間上有定義，若對于中的任意收斂子列，都存在，則函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù). 若，則不整除，所以. 若，則 令，因為，所以 ，且，代入，得.上式后“”的值通過變換，知其值與前“”的值相等，故簡化得到，故成立。 當(dāng)m,t為奇數(shù)時，由.代入，并注意到右端虛部為0，求其實部，通過類似2的“”的變換，化簡即得到，故成立.上述定理中，時情節(jié)和，換成時的情景，即問定理1，若適當(dāng)?shù)倪x取，的值，則可衍生出許多公式. 證明（反正法）設(shè)函數(shù)在上非一致連續(xù),即, , , 時有，,則存在，且滿足，但.由于從中可以選出收斂的子列，又從中選出與有相同下標(biāo)的子列，而.故.從而.即子列也是收斂的

11、，且與子列有相同的極限.那么對于中的這兩個收斂數(shù)列：一方面滿足；另一方面，這與條件相矛盾.因此函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù).必需指出:關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性的判斷，是由函數(shù)所滿足的條件或定義的范圍所決定的，上述所給出的9種函數(shù)的情況具體但不全面，還可以進行更深入的討論和研究.例1 當(dāng)常數(shù)時，冪函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)證：，有不等式，即.所以其滿足定理1故，令，則當(dāng)，時總成立.冪函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù).例2 設(shè)區(qū)間的右端點為，區(qū)間的左端點為（，可分別有限或無限區(qū)間）.試證明：若分別在,上連續(xù)，則在上也一致連續(xù).證 ,有在,上的連續(xù)性，分別存在正數(shù)和,使得，只要，就有；因此有對任何，只要，也有成立.點作為的右端點，在點

12、左連續(xù)，作為的左端點，在點左連續(xù)，所以在點連續(xù)，因為在,上的連續(xù)性，同時在點連續(xù)，所以在上連續(xù)，所以由命題2可知，函數(shù)在上一致連續(xù).例3 證明函數(shù)在上一致連續(xù).證 在上連續(xù)，從而一致連續(xù)又時，有，根據(jù)命題3可知函數(shù)在上一致連續(xù)，所以在上一致連續(xù).例4 證明函數(shù)在上一致連續(xù).證 .由于函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，故在閉間上一致連續(xù)，由定義可知,，使得,只要 時，就有.當(dāng)時， ，顯然取.現(xiàn)在考慮當(dāng)，時，由于在點連續(xù)，按照定義對上述給定的,，使得當(dāng)時， .從而當(dāng)時，有.取，則只要，就有.因此函數(shù)在上一致連續(xù).三 函數(shù)一致性連續(xù)的判斷方法（一） 一致連續(xù)函數(shù)的比較判別法定理1函數(shù)，I=，若滿足=B成立（其中：

13、A為非0定值，B為定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。定理2 設(shè)函數(shù)，函數(shù)，I=，若滿足=B成立（其中：A為非0定值，B為定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。 定理3設(shè)函數(shù)，I=，若滿足=B成立（其中:A為非0定值，B為定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。 定理4設(shè)函數(shù)，I=，若滿足=b, =B成立（其中:A為非0定值，B為定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。（二） 函數(shù)一致連續(xù)的比值判別法函數(shù)一致連續(xù)的比值判定定理。定理5設(shè)函數(shù)，I=，且函數(shù)，滿足：（1）;(2) ，在I上可導(dǎo)，且；（3）存在，若（A為非0定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。 定理6函數(shù)，I=，且函數(shù)，滿足：（1）

14、;(2) ，在I上可導(dǎo)，且；（3）存在，若（A為非0定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。定理7函數(shù)，I=，且函數(shù)，滿足：（1）;(2) ，在I上可導(dǎo)，且；（3）存在，若（A為非0定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。定理8函數(shù)，I=，且函數(shù)，滿足：（1）;(2) ，在I上可導(dǎo)，且；（3）存在，若（A為非0定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。定理9函數(shù)，I=，且函數(shù)，滿足：（1）;(2) ，在I上可導(dǎo)，且；（3）存在，若（A為非0定值），則函數(shù)，具有相同的一致連續(xù)性。定理10函數(shù)，I=，且函數(shù)，滿足：（1）;(2) ，在I上可導(dǎo)，且；（3）,存在，若,=B（A為非0定值），則函數(shù)，具有相同的

15、一致連續(xù)性。例1 判定函數(shù)=的一直連續(xù)性.解 取函數(shù)x作為比較函數(shù)，有，函數(shù)在區(qū)間上一致連續(xù)，由定理5可知，函數(shù)=在區(qū)間上一致連續(xù)。例2 討論函數(shù)=的一致連續(xù)性。解 取函數(shù)作為比較函數(shù)，則由，而在不一致連續(xù)，由定理5，函數(shù)=在區(qū)間上不一致連續(xù)。例3 判定函數(shù)=在上的一致連續(xù)性.解 構(gòu)造函數(shù)=，則有=1,函數(shù)=在定義上非一致連續(xù)，而由定理5，函數(shù)=在上的不一致連續(xù)。三 結(jié)論對于函數(shù)的一致連續(xù)性問題，我們給出了以上的判別方法和證明，加深了我們對一致函數(shù)的理解與應(yīng)用，也為我們以后對一致連續(xù)函數(shù)進行更加深入的研究打下了基礎(chǔ)。參考文獻：劉玉璉，傅沛仁:數(shù)學(xué)分析講義，北京高等教育出版社1989年第8版.胡

16、雁軍，李育生,鄧聚成:數(shù)學(xué)題中的證明方法與難題選解，開封，河南大學(xué)出版社1989年第8版.宋國棟，龐學(xué)成，毛羽輝:數(shù)學(xué)分析，上海華東師范大學(xué)1985年第9版.李 杰:關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性問題，煙臺師范學(xué)院學(xué)報2001年.常庚哲，史濟懷:數(shù)學(xué)分析教程：上冊，北京高等教育出版社2008年. CONDITIONS OF UIFORM CONTINUITYYU GUI-DONG Abstract: setting out from uniform continuity theorem and definition of uniform continuity,this paper discusses conditions of uniform continuity of function and has got some consequences to distinguish uniform continuity.Key words: continuity; uniform continuity; uniform continuity theorem.學(xué)年論文（設(shè)計）成績表論文題目關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)的探究作者萬鑫指導(dǎo)教師曾偉梁職稱副教授指導(dǎo)教師評語連續(xù)與一