函數(shù)的概念Word版

1、“函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)南京師大附中陶維林一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 “函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念 在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)概念初中建立的函數(shù)概念是： 一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么，我們就說(shuō)y是x的函數(shù)其中x稱為自變量 這個(gè)定義從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系從歷史上看，初中給出的定義來(lái)源于物理公式，最初的函數(shù)概念幾乎等同于解析式后來(lái)，人們逐漸意識(shí)到定義域與值域的重要性，而要說(shuō)清楚變量以及兩個(gè)變量間變化的依賴關(guān)系，往往先要弄清各個(gè)變量的物理意義，這就使研究受到了一

2、定的限制如果只根據(jù)變量觀點(diǎn)，那么有些函數(shù)就很難進(jìn)行深入研究例如                                        對(duì)這個(gè)函數(shù)，如果用變量觀點(diǎn)來(lái)解釋，會(huì)顯得十分勉強(qiáng)，也說(shuō)不出x的物理意

3、義是什么但用集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)解釋，就十分自然 進(jìn)入高中，學(xué)生需要建立的函數(shù)概念是： 設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作 yf（x），xA 其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）|xA叫做函數(shù)的值域 這個(gè)概念與初中概念相比更具有一般性 實(shí)際上，高中的函數(shù)概念與初中的函數(shù)概念本質(zhì)上是一致的不同點(diǎn)在于，表述方式不同高中明確了集合、對(duì)應(yīng)

4、的方法初中雖然沒(méi)有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經(jīng)滲透了集合與對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn) 與初中相比，高中引入了抽象的符號(hào)f（x）f（x）指集合B中與x對(duì)應(yīng)的那個(gè)數(shù)當(dāng)x確定時(shí)，f（x）也唯一確定 另外，初中并沒(méi)有明確函數(shù)值域這個(gè)概念1 / 8 函數(shù)概念的核心是“對(duì)應(yīng)”，理解函數(shù)概念要注意： 兩個(gè)數(shù)集間有一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，即對(duì)于數(shù)集A中每一個(gè)x，數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對(duì)應(yīng) 涉及兩個(gè)數(shù)集A，B，而且這兩個(gè)數(shù)集都非空； 這里的關(guān)鍵詞是“每一個(gè)”“唯一確定”也就是，對(duì)于集合A中的數(shù)，不能有的在集合B中有數(shù)與之對(duì)應(yīng)，有的沒(méi)有，每一個(gè)

5、都要有而且，在集合B中只能有一個(gè)與其對(duì)應(yīng)，不能有兩個(gè)或者兩個(gè)以上與其對(duì)應(yīng) 函數(shù)概念中涉及的集合A，B，對(duì)應(yīng)關(guān)系f是一個(gè)整體，是集合A與集合B之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，應(yīng)該從整體的角度來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù) 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 （1）通過(guò)豐富實(shí)例，建立函數(shù)概念的背景，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型能用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素 （2）會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域 （3）通過(guò)從實(shí)例中抽象概括函數(shù)概念的活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力 教學(xué)的重點(diǎn)是，在研究已有函數(shù)實(shí)例（學(xué)生舉出的例子）

6、的過(guò)程中，感受在兩個(gè)數(shù)集A，B之間所存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，進(jìn)而用集合、對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)這一關(guān)系，獲得函數(shù)概念然后再進(jìn)一步理解它 三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析 （1）對(duì)函數(shù)概念中的“每一個(gè)”、“唯一確定”等關(guān)鍵詞關(guān)注不夠，領(lǐng)會(huì)不深教學(xué)中，可以通過(guò)反例讓學(xué)生加以認(rèn)識(shí)比如 有一位學(xué)生的考試情況是這樣的      集合A1，2，3，4，5，6，B90，93，98，92，f：每次考試成績(jī) 就不能表示一個(gè)函數(shù)因?yàn)閷?duì)于集合A中的元素“4”，在集合B中就沒(méi)有元素與它對(duì)應(yīng) （2）忽視“數(shù)集”二字，把一般的映射關(guān)系理解為函數(shù)比如

7、 高一（2）班的同學(xué)組成集合A，教室里的座椅組成集合B，每一位同學(xué)都有唯一的一個(gè)座椅，班上還有空椅子這能否算作一個(gè)函數(shù)的例子，為什么？   （3）對(duì)為什么集合B不是函數(shù)的值域不理解讓學(xué)生感受到，有時(shí)，為了研究方便或者確定一個(gè)函數(shù)的值域暫時(shí)有困難，使得Cf（x）|xAB更加合理 （4）當(dāng)函數(shù)關(guān)系具有解析式表示時(shí)，f（x）當(dāng)然可以用x的解析式表示出來(lái)學(xué)生會(huì)因此而誤以為對(duì)應(yīng)關(guān)系f都可以用解析式表示 可以通過(guò)所舉實(shí)例的類型，引導(dǎo)學(xué)生，明確表示對(duì)應(yīng)關(guān)系f并非解析表達(dá)式不可但這不是本節(jié)課的重點(diǎn)，應(yīng)該放在下一節(jié)課“函數(shù)的表示”中解決只要注意所列舉的例子不光是

8、有解析式的即可   （5）本課的難點(diǎn)是：對(duì)抽象符號(hào)y f（x）的理解 可以通過(guò)具體函數(shù)讓學(xué)生理解抽象的f（x）比如函數(shù) f（x）x2，Ax|2x2 f(1)1，f(1.5)2.25，f(2)4，f（2）無(wú)定義f（x）x2，xA 最終，讓學(xué)生明白，f（x）是集合B中的一個(gè)數(shù)，是與集合A中的x對(duì)應(yīng)的那個(gè)數(shù)當(dāng)x取具體數(shù)字時(shí)，f（x）也是一個(gè)具體的數(shù) 四、教學(xué)基本流程      五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1用集合、對(duì)應(yīng)定義函數(shù) 問(wèn)題1  同學(xué)們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“

9、函數(shù)”，請(qǐng)你舉幾個(gè)函數(shù)的具體例子 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體例子，讓學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)概念，把握內(nèi)涵 教師根據(jù)所舉例子的具體情況，引導(dǎo)學(xué)生列舉分別用解析式、圖象、表格表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù) 如果學(xué)生所列舉的例子都是用解析式表示的，教師則問(wèn)：“函數(shù)關(guān)系都是可以用解析式表示的嗎？”引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)闊思路，再列舉些用圖象、表格表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù) 教師可以舉例（教科書(shū)第15頁(yè)的例2） 例1 圖1的蘭色曲線記錄的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海證券交易所的股票指數(shù)的情況股票指數(shù)是時(shí)間的函數(shù)嗎？    &#

10、160;   圖1例2  國(guó)際上常用恩格爾系數(shù)反映一個(gè)國(guó)家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高下表中恩格爾系數(shù)隨時(shí)間的變化而變化的情況表明，“八五”計(jì)劃以來(lái)，我國(guó)城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化  城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)（%）是時(shí)間（年）的函數(shù)嗎？ 教師也可以參與舉例（例3，備用），以說(shuō)明函數(shù)概念中的x的取值范圍構(gòu)成一個(gè)集合，對(duì)應(yīng)關(guān)系、以及y的取值構(gòu)成的集合 例3 （教科書(shū)第15頁(yè)例1）一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)26s落到地面擊中目標(biāo)炮彈的射高為845m，且炮彈距地面高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是&#

11、160;  h130t5t2（*） 炮彈距地面高度h是時(shí)間t的函數(shù)嗎？為什么？ 教師利用教科書(shū)第15頁(yè)例1中的函數(shù)圖象（圖2）解釋： 隨著點(diǎn)P位置的改變，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y都在變化，但無(wú)論點(diǎn)P在哪個(gè)位置，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x總對(duì)應(yīng)唯一的縱坐標(biāo)y由此，使學(xué)生體會(huì)到，函數(shù)中的函數(shù)值y的變化總是依賴于自變量x的變化，而且由x的值唯一確定   圖2炮彈飛行時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A=t|0t26，炮彈距地面的高度的變化范圍是數(shù)集B=h|0h845，從問(wèn)題的實(shí)際意義可知，對(duì)于數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系（*），在數(shù)集B中都有唯

12、一確定的高度h和它對(duì)應(yīng) 在學(xué)生舉例后，與學(xué)生共同研究問(wèn)題2 問(wèn)題2  你憑什么說(shuō)，你舉出的例子表示一個(gè)函數(shù)呢？請(qǐng)說(shuō)給我們大家聽(tīng)聽(tīng)大家也思考一下，他們所舉的是函數(shù)的例子嗎？為什么？ 設(shè)計(jì)意圖：讓舉例的同學(xué)分別解釋他們所舉例子的含義，為什么用這個(gè)例子來(lái)說(shuō)明函數(shù)挖掘背后的思維過(guò)程，暴露學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解狀況 函數(shù)是初中已有過(guò)的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用初中的定義解釋所列舉的例子，可以了解學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的掌握情況突出“兩個(gè)變量x，y”，對(duì)于變量x的“每一個(gè)”確定的值，另一個(gè)變量y有“唯一”確定的值與x對(duì)應(yīng)，“y是x的函數(shù)”并要求學(xué)生指出對(duì)應(yīng)關(guān)系f是什么？x取哪

13、些數(shù)？即取值范圍，感受數(shù)集A的存在，y值的構(gòu)成情況，為引入兩個(gè)集合做準(zhǔn)備 問(wèn)題3 前面我們學(xué)習(xí)了“集合”，你能用“集合”以及對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)概念嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生把初中學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)概念與高一剛學(xué)習(xí)的過(guò)的集合知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，用集合的觀點(diǎn)解釋過(guò)去的概念，獲得對(duì)函數(shù)概念的新認(rèn)識(shí) 獲得新的函數(shù)定義方式： 設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng) f：AB 為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作    yf（x），xA&

14、#160;其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）| xA叫做函數(shù)的值域 若Cf（x）| xA，則CB 師生共同就每一個(gè)例子，找出集合A，B分別是什么，對(duì)應(yīng)關(guān)系f指什么？突出“三要素” 問(wèn)題4  在這個(gè)定義中，你認(rèn)為哪些是關(guān)鍵詞？怎樣理解這個(gè)概念呢？ 設(shè)計(jì)意圖：促使學(xué)生抓住概念中的關(guān)鍵詞，多方面理解概念，抓住本質(zhì)同時(shí)，指出函數(shù)的要素為定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域由于對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)定義域確定、對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，值域也隨之確定，因此，兩個(gè)函數(shù)相等的條件是定義域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系相同 2認(rèn)

15、識(shí)函數(shù)的定義域，值域，對(duì)應(yīng)關(guān)系 小練習(xí)： （1）填寫(xiě)下列表格：  （2）能否說(shuō)f（x）x24x是實(shí)數(shù)集R到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)？ （3）已知函數(shù)f（x）求   f（）；   f（x4）的定義域； （4）下列函數(shù)中哪個(gè)是與yx相同的函數(shù)，為什么？   y（）2；    y（）3；               

16、0;  y（）；    y 你能否舉一個(gè)看起來(lái)相似，實(shí)質(zhì)是兩個(gè)不同的函數(shù)的例子 設(shè)計(jì)意圖：感受定義域的重要性，體驗(yàn)函數(shù)的三個(gè)要素兩函數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)三要素相同  再問(wèn)：你舉這個(gè)例子想說(shuō)明什么？ 3介紹區(qū)間的概念 在研究函數(shù)時(shí)，常常需要表示它的定義域、值域這些實(shí)數(shù)的集合我們把集合 x|axb寫(xiě)成a，b，即x|axba，b  a，b稱為左閉右開(kāi)的區(qū)間 以下教師問(wèn)學(xué)生該如何表示，叫做什么區(qū)間（不是教師直接告訴）： x|axb寫(xiě)成a，b，稱為閉區(qū)間 x|axb寫(xiě)成（a，b），稱為開(kāi)區(qū)間 x|axb寫(xiě)成a，b，稱為右閉左開(kāi)的區(qū)間 實(shí)數(shù)a，b都叫做區(qū)間的端點(diǎn) 實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為（，） x| xa可以用區(qū)間表示為a，x| xa可以用區(qū)間表示為（a，）； x| xa可以用區(qū)間表示為（，a，x| xa可以用區(qū)間表示為（，a） 區(qū)間可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示 問(wèn)：若有人問(wèn)“你區(qū)間什么？”你怎么回答？區(qū)間是實(shí)數(shù)的集合 4練習(xí) （1）教科書(shū)第19頁(yè)“練習(xí)” （2）教科書(shū)第24頁(yè)，習(xí)題1.2，