向量X教師Word版

1、向量知識清單一、向量的有關概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的有向線段的長度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.坐標表示法:在平面直角坐標系中,設向量的起點O為在坐標原點,終點A坐標為,則稱為的坐標,記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量:長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因為方向沒有大小.4.零向量:長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個,其方向是任意的.5.單位向量:長度等于1個單

2、位的向量.單位向量有無數(shù)個,每一個方向都有一個單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 長度相等且方向相反的向量.二、向量的運算(一)運算定義向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積,這些運算的定義都是 “自然的”，它們都有明顯的物理學的意義及幾何意義. 其中向量的加減法運算結果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運算結果是數(shù)量。研究這些運算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運算性質,這些運算性質為我們用向量研究問題奠定了基礎,向量確實是一個好工具.特別是向量可以用坐標表示,且可以用坐標來運算

3、,向量運算問題可以完全坐標化. 刻劃每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。主要內容列表如下：運 算圖形語言符號語言坐標語言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個向量的數(shù)量積記則=x1x2+y1y2(二)運算律加法：(交換律); (結合律)1 / 9實數(shù)與向量的乘積：; ;兩個向量的數(shù)量積: =; ()=()=();(+)=+注：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足實數(shù)多項式乘積的運算法則，正確遷移實數(shù)的運算性質可以簡化向量的運算，例如()2=(

4、三)運算性質及重要結論平面向量基本定理:如果是同一平面內兩個不共線的向量,那么對于這個平面內任一向量,有且只有一對實數(shù),使，稱為的線性組合。其中叫做表示這一平面內所有向量的基底;平面內任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和,并且這種分解是唯一的.這說明如果且,那么.當基底是兩個互相垂直的單位向量時,就建立了平面直角坐標系,因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎.向量坐標與點坐標的關系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A(x，y)，則=（x,y）；當向量起點不在原點時，向量坐標為終點坐標減去起點坐標，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-

5、x1,y2-y1)兩個向量平行的充要條件符號語言：坐標語言為：設非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在這里,實數(shù)是唯一存在的,當與同向時,0；當與異向時,0。|=,的大小由及的大小確定。因此,當,確定時，的符號與大小就確定了.這就是實數(shù)乘向量中的幾何意義。兩個向量垂直的充要條件符號語言：坐標語言：設非零向量，則兩個向量數(shù)量積的重要性質： 即 (求線段的長度);(垂直的判斷); (求角度)。以上結論可以(從向量角度)有效地分析有關垂直、長度、角度等問題,由此可以看到向量知識的重要價值.注:兩向量,的數(shù)量積運算結果是一個數(shù)(其中),這個數(shù)的大小與兩個向量的長

6、度及其夾角的余弦有關. 叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則=,這就是平面內兩點間的距離公式.課前預習1在中，2.平面內三點,若，則x的值為13. 設， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：()()=0|-|()()不與垂直(3+2)(32)=9|2- 4|2中，真命題是4. OAB中,=,=,=,若=，tR，則點P在AOB平分線所在直線上5.已知,則實數(shù)x=_6_.6.已知則_(-2,-6)_, _(4,-2)_,與的夾角的余弦值是_.7在中, ,若,則= .； 8. 已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），

7、BC邊上的高為AD，求點D和向量坐標。D(1,1) =(-1,2) B AC O F D E典型例題一、平面向量的實際背景與基本概念例1.如圖，設O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與的模相等的向量以及方向相同的向量。解：, D CA B二、平面向量的線性運算例2.如圖，在平行四邊形ABCD中，a ，b ，你能用a，b表示向量 ，嗎？=a+b, = a-b D E C A B 變式1：如圖，在五邊形ABCDE中，a ，b ，c ，d ，試用a ，b ， c ， d表示向量和.=a+b+d =-a-b-c-d變式2：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形，則ab+cd=0變式3

8、：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是梯形變式4：已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(ab)垂直的充要條件變式5：在四邊形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為梯形例3如圖，已知任意兩個非零向量a 、b ，試作a + b，a + 2b， baa + 3b，你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？A、B、C三點共線 變式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是兩個任意非零向量) ，證明：A、B、C三點共線證明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三點共線變式2：已知點A、B、C在同一直

9、線上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是兩個任意非零向量) ，試求m、n之間的關系n=2m-6例4.已知四邊形ABCD，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，求證： D C E F A B 變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F，求證：.三、平面向量的基本定理及坐標表示例5.已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求 y 3變式1：與向量a = (12，5) 平行的單位向量為 或變式2：已知a，b，當a+2b與2ab共線時，值為變式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 與方向相反的單位向量是(0

10、,1)變式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) 試問：當k為何實數(shù)時， kab與a+3b平行, 平行時它們是同向還是反向？ k=- 反向例6.設點P是線段上的一點，、的坐標分別為，(1) 當點P是線段上的中點時，求點P的坐標；（）(2) 當點P是線段的一個三等分點時，求P的坐標（）OAPQBab變式1：已知兩點，則P點坐標是變式2：如圖，設點P、Q是線段AB的三等分點，若a，b，則，(用a、b表示)四、平面向量的數(shù)量積例7.已知|a|6，|b| 4且a與b的夾角為，求 (a + 2b)(ab) -72變式1：已知那么與夾角為變式2：已知向量a和b的夾角為60，| a | 3，| b

11、| 4，則（2a b）a等于12變式3：在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則等于2變式4：設向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.t0且t例8.已知|a|3，|b| 4且a與b不共線，k為何實數(shù)時，向量a + kb 與ab互相垂直？ k=變式1：已知ab ，|a|2，|b| 3，且向量3a + 2b與kab互相垂直，則k的值為變式2：已知|a|1，|b| 且（ab）a，則a與b夾角的大小為 例9.已知a = (4，2)，求與向量a 垂直的單位向量的坐標（-）（）變式1：若i = (1,0), j =(0,1)，則與2i+3j垂直的向量是3i+2j 或3i2j 變式2：已知向量，若與垂直，則實數(shù)=1變式3：若非零向量互相垂直，則下列各式中一定成立的是（ B ）ABCD變式4：已知向量a（3，4），b（2，x）， c（2，y）且ab，ac求|bc|的值例10.已知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明直角三角形變式1：是所在的平面內的一點，且滿足，則 一定為直角三角形變式2：已知A、B、C三點不共線，O是AB