數(shù)列與極限1-2ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)三、小結(jié)三、小結(jié)“割之彌細(xì)，所割之彌細(xì)，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無(wú)所失矣體而無(wú)所失矣”1.1.割圓術(shù)：割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2.2.截丈問(wèn)題：截丈問(wèn)題：“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”11;2X 第第一一天天截截下下的的杖杖長(zhǎng)長(zhǎng)為為;2

2、12122 X為為第二天截下的杖長(zhǎng)總和第二天截下的杖長(zhǎng)總和;2121212nnXn 天截下的杖長(zhǎng)總和為天截下的杖長(zhǎng)總和為第第nnX211 1按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號(hào)依次排列的一列數(shù)編號(hào)依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1) 稱為稱為無(wú)窮數(shù)列無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的的項(xiàng)項(xiàng),nx稱為稱為通項(xiàng)通項(xiàng)(一般項(xiàng)一般項(xiàng)).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx. 例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依

3、次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11時(shí)時(shí)的的變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn播放播放問(wèn)題問(wèn)題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 問(wèn)題問(wèn)題: “無(wú)限接近意味著什么無(wú)限接近意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它刻劃它. 1nx

4、nnn11)1(1 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只只要要 n,100011 nx有有定義定義1 設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 ，假如，假如 時(shí)，時(shí)， 無(wú)限接近于無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù)某個(gè)確定的常數(shù) ，那么就稱數(shù)列，那么就稱數(shù)列 收斂，稱收斂，稱是數(shù)列是數(shù)列 的極限?；蛘叻Q數(shù)列的極限?；蛘叻Q數(shù)列 收斂于收斂于 ，記為，記為 nx nnxa nxa nx nxa naxaxnnn或或者者lim 如果

5、這樣的常數(shù)如果這樣的常數(shù) 不存在，就稱數(shù)列不存在，就稱數(shù)列 沒(méi)有極沒(méi)有極限，或者稱數(shù)列限，或者稱數(shù)列 發(fā)散，習(xí)慣上也常常表達(dá)為發(fā)散，習(xí)慣上也常常表達(dá)為不存在不存在a nx nxnnx lim例例1 給出數(shù)列的一般項(xiàng)如下，觀察它們的變化趨勢(shì)，給出數(shù)列的一般項(xiàng)如下，觀察它們的變化趨勢(shì)，判斷哪些數(shù)列收斂，哪些數(shù)列發(fā)散；如果收斂，判斷哪些數(shù)列收斂，哪些數(shù)列發(fā)散；如果收斂，指出其極限：指出其極限： ;111nnxnn ;212222nnnnxn ;11)3(1 nnx.)4(2nxn 解解 （1因?yàn)橐驗(yàn)?，而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 無(wú)限接近于無(wú)限接近于0，從而，從而 無(wú)無(wú)限接近于限接近于1，所以，所以 nnn

6、xnnn11111 n nn 11 nx 11lim1 nnnn（2因?yàn)?nnnnnnnnnnxn2121121212122222 當(dāng) 時(shí)， 無(wú)限接近于 。所以 nn2121;2121lim222 nnnnn（3因?yàn)閿?shù)列是 2，0，2，0，, , 111 n在 時(shí)， 始終輪流地取得值2與0，并不接近于任何一個(gè)確定的常數(shù)，所以 nnx ;11lim1不存在不存在 nn（4） 因?yàn)楫?dāng) 時(shí)，這個(gè)數(shù)列的一般項(xiàng) 的值無(wú)限地增大，也不接近于任何一個(gè)確定的常數(shù)，所以 nnx.lim2不存在不存在nn 1.唯一性唯一性定理定理1 1 每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限. .二、收斂數(shù)列的性質(zhì)

7、二、收斂數(shù)列的性質(zhì)2.有界性有界性定義定義: 對(duì)數(shù)列對(duì)數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無(wú)界稱為無(wú)界.例如例如,1nnxn 數(shù)數(shù)列列2nnx 數(shù)數(shù)列列數(shù)數(shù)軸軸上上對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于有有界界數(shù)數(shù)列列的的點(diǎn)點(diǎn)nx都都落落在在閉閉區(qū)區(qū)間間,MM 上上.有界有界;無(wú)界無(wú)界.定理定理2 2 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散. .例例2.)1(1是是發(fā)發(fā)散散的的證證明明數(shù)數(shù)列列 nnx

8、證證,limaxnn 設(shè)設(shè)由定義由定義,21 對(duì)于對(duì)于,21,成立成立有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度為區(qū)間長(zhǎng)度為1.1,1,nx 而而無(wú)無(wú)休休止止地地反反復(fù)復(fù)取取兩兩個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi)的區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實(shí)上事實(shí)上nx3.收斂數(shù)列的保號(hào)性收斂數(shù)列的保號(hào)性定理定理3收斂數(shù)列的保號(hào)性）收斂數(shù)列的保號(hào)性） 假如假如(或或 N，都有，都有0,lim aaxnn且且a0 nx 0 nx或或這個(gè)性質(zhì)的一個(gè)直接推論是：如果從某一項(xiàng)起數(shù)列這個(gè)性質(zhì)的一個(gè)直接推論是：如果從某一項(xiàng)起數(shù)列 的各項(xiàng)都非負(fù)或都非正），且的各項(xiàng)都非負(fù)或都非正），且 ，那，那么么