畢業(yè)論文不等式解法

1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）冊(cè)學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)班級(jí)：2010級(jí)B班學(xué)生：指導(dǎo)教師：河北師范大學(xué)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書(shū)論文（設(shè)計(jì)）題目：關(guān)于不等式證明方法的探討 學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí)：2010級(jí)B班 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)：2010011239 指導(dǎo)教師： 職稱(chēng)：副教授 1、論文（設(shè)計(jì)）研究目標(biāo)及主要任務(wù)本文對(duì)比較法、分析綜合法、反證法、放縮法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法、函數(shù)單調(diào)性法、幾何證法、面積體積比較法等較常見(jiàn)的不等式證明方法進(jìn)行總結(jié)，意在引發(fā)我們對(duì)不等式證明方法及其他問(wèn)題證明方法的注意和思考，以致對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考，并希望能為

2、讀者全面系統(tǒng)的總結(jié)不等式證明方法提供幫助和借鑒。學(xué)習(xí)不等式的對(duì)證明方法，可以幫助我們解決一些實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)對(duì)邏輯推理能力、抽象思維和思維能力的培養(yǎng)，并養(yǎng)成善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，并為以后的教學(xué)奠定扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。2、論文（設(shè)計(jì)）的主要內(nèi)容對(duì)比較法、分析綜合法、反證法、放縮法、換元法、數(shù)學(xué)歸納法、判別式法、函數(shù)單調(diào)性法、幾何證法、面積體積比較法等較常見(jiàn)的不等式證明方法的概念、歷史背景、書(shū)寫(xiě)步驟、運(yùn)用情形、和基本分類(lèi)等進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹，并對(duì)一些情況加以舉例說(shuō)明。3、論文（設(shè)計(jì)）的基礎(chǔ)條件及研究路線在不等式證明方法的研究不斷改進(jìn)和發(fā)展的形勢(shì)下，總結(jié)前人的經(jīng)驗(yàn)和研究成果，對(duì)幾種常見(jiàn)證明方法進(jìn)行探討，同時(shí)對(duì)

3、其進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新，發(fā)表自己獨(dú)特的見(jiàn)解，并舉例加以解釋和說(shuō)明。4、主要參考文獻(xiàn)1匡繼昌.常用不等式M.濟(jì)南：山東科技出版社，2004：23-34.2李長(zhǎng)明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究M.北京：高等教育出版社，1995:252-263.3葉惠萍.反思性教學(xué)設(shè)計(jì)-不等式證明綜合法J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2005,10(3):89-91.4胡炳生，吳俊.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)M.北京：高等教育出版社，1998:45-50.5Gao Mingzhe. On Heisenbergs InequalityJ. J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.5、

4、計(jì)劃進(jìn)度階段起止日期1畢業(yè)論文背景調(diào)查及資料收集2014/12/20-2014/3/102完成論文開(kāi)題報(bào)告2014/3/11-2014/3/203完成論文初稿并提交2014/3/21-2014/3/314論文初稿修改并提交2014/4/1-2014/4/205畢業(yè)論文定稿及答辯準(zhǔn)備2014/4/21-2014/5/20指導(dǎo)教師: 年 月 日教研室主任: 年 月 日河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）開(kāi)題報(bào)告書(shū)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè) 2014屆學(xué)生姓名論文（設(shè)計(jì)）題目關(guān)于不等式證明方法的探討指導(dǎo)教師專(zhuān)業(yè)職稱(chēng)副教授所屬教研室學(xué)科教研室研究方向數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)建模教育課題論證：見(jiàn)附頁(yè)1.

5、方案設(shè)計(jì)：首先，介紹不等式的應(yīng)用價(jià)值以及其證明方法在現(xiàn)實(shí)生活和教育教學(xué)工作中的重要性，不等式及其證明方法發(fā)展的現(xiàn)狀和教師與學(xué)生們對(duì)于它們存在和面臨問(wèn)題，并提出自己的建議和意見(jiàn)。然后，對(duì)常用不等式的證明方法做進(jìn)一步更加細(xì)致周密廣泛普及的總結(jié)，總結(jié)了諸如比較法，分析綜合法，反證法，放縮法，換元法，數(shù)學(xué)歸納法，判別式法，函數(shù)單調(diào)性法，幾何證法，面積體積比較法等較常見(jiàn)的證明方法。最后，按照總分總的經(jīng)典模式，對(duì)各方法之間的區(qū)別和聯(lián)系加以較詳細(xì)的分析和解釋說(shuō)明，強(qiáng)調(diào)各方法與方法之間存在的共融性以各方法并不是單純的孤立存在和盲目使用的；并提出本文的不足之處，讓讀者更容易進(jìn)行更加深層次的歸納總結(jié)。進(jìn)度計(jì)劃：1

6、畢業(yè)論文背景調(diào)查及資料收集 2014/2/15-2014/3/102完成論文開(kāi)題報(bào)告 2014/3/11-2014/3/203完成論文初稿并提交 2014/3/21-2014/3/314論文初稿修改并提交 2014/4/1-2014/4/205畢業(yè)論文定稿及答辯準(zhǔn)備 2014/4/21-2014/5/10指導(dǎo)教師意見(jiàn)：指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日教研室意見(jiàn)：教研室主任簽名： 年 月 日附1：課題論證關(guān)于不等式證明方法的探討不等式是高中數(shù)學(xué)階段一個(gè)極為重要的內(nèi)容，幾乎貫穿與整個(gè)高中數(shù)學(xué)的任何一個(gè)章節(jié)，是一種應(yīng)用普遍的技巧性工具。在現(xiàn)實(shí)日常生活中，不等式的應(yīng)用是非常普遍的應(yīng)用在社會(huì)生產(chǎn)和生活的各個(gè)方

7、面的應(yīng)用，例如，經(jīng)常面臨的采購(gòu)批發(fā)方案設(shè)計(jì)，房屋租賃方案設(shè)計(jì)，消費(fèi)娛樂(lè)方案設(shè)計(jì)等。然而，對(duì)一些不等式的證明又為我們?cè)谏钪欣貌坏仁教峁┝擞辛ψC據(jù)。隨著上世紀(jì)七八十年代大量新型不等式的發(fā)現(xiàn)和對(duì)已知不等式的改進(jìn)，以及發(fā)現(xiàn)在更多的領(lǐng)域都廣泛都涉及到不等式的應(yīng)用，這讓現(xiàn)有的不等式內(nèi)容及界限難以滿(mǎn)足社會(huì)時(shí)代和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，促使科學(xué)家們不得不開(kāi)始著眼于研究更多特殊情況下不等式的證明及其方法。因此，上世紀(jì)末新世紀(jì)初，不等式在形式要求下，得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展和開(kāi)拓，打破了原有的局限，在更多領(lǐng)域得到了更加廣泛更加深層的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，由特殊到一般，就迫切要求我們進(jìn)一步更加細(xì)致周密廣泛普及的總結(jié)更多的更廣泛統(tǒng)一

8、性證法。另一方面，不等式的證明在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也是一個(gè)非常重要的教學(xué)內(nèi)容，他可以多方面訓(xùn)練學(xué)生的綜合能力，有效的培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法和分析法解決問(wèn)題的能力。與此同時(shí)，不等式的證明的內(nèi)容靈活多變，可以從多個(gè)角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中一個(gè)多可多得的好素材。但是，我們現(xiàn)在面臨的現(xiàn)狀是學(xué)生無(wú)法掌握變化多樣的不等式證明方法，遇到問(wèn)題時(shí)，不知如何選用合適的方法，這是很多老師和學(xué)生們都遇到的共性問(wèn)題。然而，萬(wàn)千事物萬(wàn)變不離其宗，遇事抓住其根本，總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗(yàn)，舉一反三，必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破，獨(dú)樹(shù)一幟。在這樣的形勢(shì)下，本文更多的是從一般普遍的情況下進(jìn)行研究，查閱了各方面關(guān)

9、于不等式的習(xí)題相應(yīng)的解題方法，并對(duì)這些習(xí)題和方法進(jìn)行了細(xì)致全面的歸納總結(jié)，總結(jié)了諸如比較，分析綜合，反證，放縮，換元，數(shù)學(xué)歸納，判別式，函數(shù)單調(diào)性，幾何，面積體積法等較常見(jiàn)的證明方法，希望給讀者們進(jìn)行進(jìn)一步總結(jié)提供一些借鑒和幫助。河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）文獻(xiàn)綜述不等式證明方法研究的文獻(xiàn)綜述不等式的發(fā)展現(xiàn)狀和趨勢(shì)如所熟知，各種不等式實(shí)質(zhì)就是各種形式的數(shù)量或變量之間的互相比較或互相制約關(guān)系，因此，不等式很自然地成為分析數(shù)學(xué)和離散數(shù)學(xué)諸分支中極為重要的工具，而且早已成為國(guó)際上一個(gè)專(zhuān)門(mén)的研究對(duì)象。例如，現(xiàn)今國(guó)際上已有多種不等式研究性刊物，既可見(jiàn)其受重視之程度。不等式的研究文獻(xiàn)中，一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)

10、象是，許多基本重要而又十分重要的不等式，經(jīng)過(guò)多次拓廣后其結(jié)構(gòu)形式往往會(huì)變得越來(lái)越復(fù)雜，以致失去了由簡(jiǎn)單性和對(duì)稱(chēng)性來(lái)保證的優(yōu)美性。對(duì)此，數(shù)學(xué)界的普遍觀點(diǎn)是，如果拓廣后沒(méi)有增加新的應(yīng)用面，則這些結(jié)果雖然也能夠在一些刊物上發(fā)表出來(lái)，但其真正價(jià)值價(jià)值并不大。真正很有價(jià)值的不等式理應(yīng)具備三個(gè)條件，即普適性、優(yōu)美性（簡(jiǎn)單性）、和精確性（不可改進(jìn)性）。不等式證明方法的發(fā)展現(xiàn)狀和趨勢(shì)上世紀(jì)初以前，在不等式的證明中，除了如等及其一般的原理外，統(tǒng)一的方法并不多，而對(duì)同一個(gè)不等式能用幾種方法證明的情況較多，直至20世紀(jì)70年代以來(lái)大量新不等式的涌現(xiàn)和原有不等式的改進(jìn)，自然伴隨著不等式不等式證明方法的增多。以及發(fā)現(xiàn)在

11、更多的領(lǐng)域都廣泛都涉及到不等式的應(yīng)用，這讓現(xiàn)有的不等式內(nèi)容及界限難以滿(mǎn)足社會(huì)時(shí)代和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，促使科學(xué)家們不得不開(kāi)始著眼于研究更多特殊情況下不等式的證明及其方法。因此，上世紀(jì)末新世紀(jì)初，不等式在形式要求下，得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展和開(kāi)拓，打破了原有的局限，在更多領(lǐng)域得到了更加廣泛更加深層的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，由特殊到一般，。就迫切要求我們進(jìn)一步更加細(xì)致周密廣泛普及的總結(jié)更多的更廣泛統(tǒng)一性證法。如今，各種不等式的新證明方法層出不窮，在這種形式下，迫切需要對(duì)他們的類(lèi)別和通用過(guò)程做出總結(jié)歸納，以保證他們的規(guī)范性，減輕使用它們的繁瑣性。目前，不等式的證明在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也是一個(gè)非常重要的教學(xué)內(nèi)容，他可以多方

12、面訓(xùn)練學(xué)生的綜合能力，有效的培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法和分析法解決問(wèn)題的能力。與此同時(shí)，不等式的證明的內(nèi)容靈活多變，可以從多個(gè)角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中一個(gè)多可多得的好素材。但是，我們現(xiàn)在面臨的現(xiàn)狀是學(xué)生無(wú)法掌握變化多樣的不等式證明方法，遇到問(wèn)題時(shí)，不知如何選用合適的方法，這是一個(gè)很多老師都遇到的共性問(wèn)題。所以不等式的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)正確應(yīng)用不等式的性質(zhì)，提高解體和歸納能力，學(xué)生需重點(diǎn)掌握的證明方法比如比較法、分析綜合法、數(shù)學(xué)歸納法，它們是不等式證明的最基本、最常用的方法。除此之外，教學(xué)過(guò)程，也要提供多種其他的難度適中的不等式證明方法。參考文獻(xiàn)1匡繼昌.常用不等式M.濟(jì)南：山東科技出版社，2

13、004：23-34.2徐利治.評(píng)匡繼昌著常用不等式第三版J.數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,2004,24(3):569-572.3楊帆.淺談不等式證明方法的綜合運(yùn)用M.理工科研,2008,08(01):269-272.4Kazarinoff.N.D. Geometric InequalitiesM. JR Statist Soc.(Series B),1986,:23-26.5Gao Mingzhe. On Heisenbergs InequalityJ. J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文（

14、設(shè)計(jì)）翻譯文章幾何不等式及其證明卡扎里諾夫1986.幾何不等式M在數(shù)學(xué)中，算術(shù)與幾何均值不等式，或者更簡(jiǎn)單的說(shuō)是不等式，指出非負(fù)實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，若干個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于他們自己的幾何平均值，更進(jìn)一步地說(shuō)就是，這兩個(gè)平均值相等相等的情況只能是當(dāng)且僅當(dāng)他們中的每個(gè)數(shù)字是相等的。最簡(jiǎn)單的非平凡的情況下-即具有多個(gè)變量-兩個(gè)非負(fù)數(shù)，就是聲明,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。這種情況下，可以從一個(gè)事實(shí)，即一個(gè)實(shí)數(shù)的平方總是正的，并從基本情況二項(xiàng)式公式可以看出，同樣的，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。這種情況下，可以從一個(gè)事實(shí)，即一個(gè)實(shí)數(shù)的平方總是非負(fù)的，并從基本情況二項(xiàng)式公式可以看出,換句話說(shuō)就是，等號(hào)成立的時(shí)候也就是的時(shí)候

15、，即?，F(xiàn)在用一個(gè)幾何的方法來(lái)解釋?zhuān)O(shè)一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為的邊的矩形，因此，它具有。相似的，一個(gè)邊長(zhǎng)為正方形有著周長(zhǎng)=4和與之前的矩形相同面積。在這種最簡(jiǎn)單的情況下，不等式的就能寫(xiě)成，這就意味著只有在所成區(qū)域是正方形的情況下才能使面積不變的矩形的周長(zhǎng)最小。一般的，不等式對(duì)應(yīng)于一個(gè)事實(shí)，即自然對(duì)數(shù)，用不等式關(guān)于不等式所示的一般的證明過(guò)程，它轉(zhuǎn)換乘法到加法，是一個(gè)嚴(yán)格凹函數(shù)。被推廣的不等式，可在包括重力學(xué)或更廣義的層次上運(yùn)用。算術(shù)平均值，或稱(chēng)準(zhǔn)確平均數(shù)，指的是個(gè)實(shí)數(shù)，記作，并且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。幾何平均數(shù)和算術(shù)平均數(shù)是相似的，不同之處在于它只是定義為在非負(fù)實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，并使用乘法和根號(hào)代替了算術(shù)平均

16、值之中的加法和除法，記作.如果，那么他就等價(jià)于以自然對(duì)數(shù)為底數(shù),以算術(shù)平均值為指數(shù)的指數(shù)函數(shù)的值： .最后重申總結(jié)這個(gè)使用數(shù)學(xué)符號(hào)的不等式：我們有，對(duì)于個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，必，并且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。幾何解釋?zhuān)涸趦删S空間里，就是以為長(zhǎng)和寬的矩形的周長(zhǎng)。相似的，是與此矩形具有相同面積的正方形的周長(zhǎng)。因此，不等式在的情況下，就等價(jià)于在所有的面積一定的矩形中，當(dāng)且僅當(dāng)他正好是正方形的時(shí)候，它的周長(zhǎng)達(dá)到最小值。這個(gè)不等式的廣義的概念就是這一理念到維空間的延伸運(yùn)用。假設(shè)存在一個(gè)維的空間，在其中的任意一個(gè)維盒子，那么他就是每個(gè)頂點(diǎn)出鏈接有條邊。我們假設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)處的這條邊的長(zhǎng)度分別為，那么就是鏈接到這個(gè)頂點(diǎn)的個(gè)邊的

17、總長(zhǎng)度。我們知道，一個(gè)維盒子有個(gè)頂點(diǎn)，所以我們用乘，但是因?yàn)槊織l邊兩端分別鏈接兩個(gè)頂點(diǎn)，也就是說(shuō)用頂點(diǎn)計(jì)算邊的時(shí)候每條邊都被計(jì)算了兩次。因此，我們把剛才得到的除以2，就得出任意一個(gè)維體總共有條邊。我們還知道，跟“二維盒子”長(zhǎng)方形、三維盒子長(zhǎng)方體類(lèi)似，一個(gè)維盒子有種長(zhǎng)度不同的邊，并且每種長(zhǎng)度的邊的條數(shù)都相等。這樣，我們就得出了每種長(zhǎng)度的邊有條和這個(gè)維盒子的邊長(zhǎng)總和為。另一方面，是與之具有相同體積的正維盒子（維立方體）的邊長(zhǎng)總和。又由不等式，我們便得到：，并且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。最后，我們總結(jié)一下，不等式對(duì)于幾何上的解釋就是，在所有的面積一定維盒子中，當(dāng)且僅當(dāng)它是正維盒子（維立方體）的時(shí)候，它的邊

18、長(zhǎng)總和達(dá)到最小值。應(yīng)用舉例：；對(duì)于所有正實(shí)數(shù)。假設(shè)我們希望找到這個(gè)函數(shù)的極小值。首先，我們對(duì)它進(jìn)行一些變形：不妨令.則 這樣，我們便可以利用不等式，此時(shí)，,我們就得到此外，我們還知道等號(hào)成立的條件就是當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r(shí)候。即：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，且為最小值。所有的滿(mǎn)足這些條件的點(diǎn)都分布在一個(gè)開(kāi)始于原點(diǎn)的半行內(nèi)，并表示如下：在金融數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的實(shí)際應(yīng)用是計(jì)算回報(bào)率：年化回報(bào)率，由幾何平均計(jì)算得到，會(huì)低于平均年度回報(bào)率，由算術(shù)平均值計(jì)算得到（當(dāng)且僅當(dāng)所有的回都是相等的時(shí)候他們就會(huì)就會(huì)相等）。這是在分析投資很重要，因?yàn)槠骄找婵浯罅死鄯e效應(yīng)。我們這里有幾種方法來(lái)證明對(duì)不等式，例如，它可以從不等式可以推斷，利用

19、凹函數(shù)的。它也可以使用在重排不等式證明。考慮長(zhǎng)度和所需的先決條件，通過(guò)誘導(dǎo)初等證明下面給出的可能是進(jìn)行首讀的最好的建議。前兩個(gè)證明的想法我們 必須表明，（>0）只有當(dāng)所有的字母都是相等的時(shí)候等號(hào)成立。當(dāng)時(shí)，然后通過(guò)將都換成，這樣就會(huì)使得左側(cè)的算術(shù)平均值不變，而右側(cè)的幾何平均值就會(huì)增大，因?yàn)椋?因此，右側(cè)將是最大的 - 這樣的想法 - 當(dāng)所有變量都與算術(shù)平均值相等的時(shí)候：下面，因?yàn)橹坝?jì)算出右側(cè)的算術(shù)平均值是最大的，于是我們就得到：這是當(dāng)情況下的有效證明，但這種采取迭代平均值的成對(duì)的過(guò)程在的情況下可能會(huì)失敗。例如一種較簡(jiǎn)單的情況；平均兩個(gè)不同的號(hào)碼產(chǎn)生兩個(gè)相等的數(shù)字，但第三個(gè)是仍然不同。因

20、此，我們從來(lái)沒(méi)有真正得到涉及三個(gè)相等的數(shù)字幾何平均不等式。因此，為了有效證明n3的情況，更多的方法或修改的參數(shù)是需要的。數(shù)學(xué)歸納法證明:對(duì)于算術(shù)平均值，當(dāng) 為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，不等式就等價(jià)于 ;并且當(dāng)且僅當(dāng)變量 都相等時(shí)，等號(hào)成立。然而以下的證明我們運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法和唯一一個(gè)著名的運(yùn)算規(guī)則。奠基歸納：當(dāng)時(shí),顯然這個(gè)不等式是成立的；假設(shè)歸納：假設(shè)不等式對(duì)時(shí)成立；遞推歸納：利用假設(shè)歸納的結(jié)論推斷當(dāng)時(shí)，不等式也成立。利用不等式的自然對(duì)數(shù)的有限形式，我們可以證明加權(quán)算術(shù)之間的不平等均值和加權(quán)幾何平均如上所述。因?yàn)橐粋€(gè)變量當(dāng)他的“權(quán)”等于零的時(shí)候，他就有對(duì)不等式不會(huì)產(chǎn)生影響，我們可能會(huì)在以下假定所有的權(quán)重都是正

21、的。如果所有的是相等的，那么等式成立。因此，它仍然證明不全等，如果他們并不都是平等的，我們將承擔(dān)以下，太。如果至少有一個(gè)是零（但不是全部都為零） ，然后加權(quán)幾何平均值為零，而加權(quán)算術(shù)平均數(shù)是正的，因此不等式成立。因此，我們也可以假設(shè)所有的變量是非負(fù)的。河北師范大學(xué)本科生畢業(yè)論文翻譯原文Inequality of arithmetic and geometric meansKazarinoff.N.D. 1986. Geometric InequalitiesIn mathematics, the inequality of arithmetic and geometric

22、means, or more briefly the AMGM inequality, states that the arithmetic mean of a list of non-negative real numbers is greater than or equal to the geometric mean of the same list; and further, that the two means are equal if and only if every number in th

23、e list is the same.The simplest non-trivial case i.e., with more than one variable for two non-negative numbers x and y, is the statement thatwith equality if and only if x = y. This case can be seen from the fact that the square of a real number is always non-negative

24、(greater than or equal to zero) and from the elementary case (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 of the binomial formula:In other words (x + y)2  4xy, with equality precisely when (x  y)2 = 0, i.e. x =

25、 y. For a geometrical interpretation, consider a rectangle with sides of length x and y, hence it has perimeter  and area xy. Similarly, a square with all sides of length  has the perimeter and the same area as the rectangle.

26、 The simplest non-trivial case of the AMGM inequality implies for the perimeters that 2x + 2y and that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area.The general AMGM inequality corresponds to the fact that the natural logarithm, which converts mu

27、ltiplication to addition, is a strictly concave function; using Jensen's inequality the general proof of the inequality follows.Extensions of the AMGM inequality are available to include weights or generalized means.BackgroundThe arithmetic mean, or l

28、ess precisely the average, of a list of n numbers x1, x2, . . . , xn is the sum of the numbers divided by n:The geometric mean is similar, except that it is only defined for a list of nonnegative real numbers, and uses multiplication and a&

29、#160;root in place of addition and division:If x1, x2, . . . , xn > 0, this is equal to the exponential of the arithmetic mean of the natural logarithms of the numbers:The inequalityRestating the inequality using mathematical notation, we have that for

30、 any list of n nonnegative real numbers x1, x2, . . . , xn,and that equality holds if and only if x1 = x2 = · · · = xn.Geometric interpretationIn two dimensions, 2x1 + 2x2 is the perimeter of a rectangle with s

31、ides of length x1 and x2. Similarly, 4x1x2 is the perimeter of a square with the samearea. Thus for n = 2 the AMGM inequality states that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area.The full inequality is an extension of thi

32、s idea to n dimensions. Every vertex of an n-dimensional box is connected to n edges. If these edges' lengths arex1, x2, . . . , xn, then x1 + x2 + · · · + xn is the total length of edges incident to the vertex. Ther

33、e are 2n vertices, so we multiply this by 2n; since each edge, however, meets two vertices, every edge is counted twice. Therefore we divide by 2 and conclude that there are 2n1n edges. There are equally many edges of each length and n lengths; hence ther

34、e are 2n1 edges of each length and the total edge-length is 2n1(x1 + x2 + · · · + xn). On the other hand,is the total length of edges connected to a vertex on an n-dimensional cube of equal volume. Since the inequality sayswe getwith equality if

35、 and only if x1 = x2 = · · · = xn.Thus the AMGM inequality states that only the n-cube has the smallest sum of lengths of edges connected to each vertex amongst all n-dimensional boxes with the same volume.1Example applicationConsider the functi

36、onfor all positive real numbers x, y and z. Suppose we wish to find the minimal value of this function. First we rewrite it a bit:withApplying the AMGM inequality for n = 6, we getFurther, we know that the two sides are equal exactly when all the terms of the mean are e

37、qual:All the points (x, y, z) satisfying these conditions lie on a half-line starting at the origin and are given byPractical applicationsAn important practical application in financial mathematics is to computing the rate of return: the annualized return, com

38、puted via the geometric mean, is less than the average annual return, computed by the arithmetic mean (or equal if all returns are equal). This is important in analyzing investments, as the average return overstates the cumulative effect.Proofs of the AMGM inequalityThere are several ways to prove t

39、he AMGM inequality; for example, it can be inferred from Jensen's inequality, using the concave function ln(x). It can also be proven using the rearrangement inequality. Considering length and required prerequisites, the elementary proof by induction given below is probably the best re

40、commendation for first reading.Idea of the first two proofsWe have to show thatwith equality only when all numbers are equal. If xi  xj, then replacing both xi and xj by (xi + xj)/2 will leave the arithmetic mean on the left-hand side unchanged,

41、 but will increase the geometric mean on the right-hand side becauseThus right-hand side will be largest so the idea when all xis are equal to the arithmetic meanthus as this is then the largest value of right-hand side of the expression, we haveThis is a valid proof for the case n =

42、2, but the procedure of taking iteratively pairwise averages may fail to produce n equal numbers in the case n  3. An example of this case is x1 = x2  x3: Averaging two different numbers produces two equal numbers, but the third one is still different. Th

43、erefore, we never actually get an inequality involving the geometric mean of three equal numbers.Hence, an additional trick or a modified argument is necessary to turn the above idea into a valid proof for the case n  3.Proof by inductionWith the arithmetic meanof the non-negative real num

44、bers x1, . . . , xn, the AMGM statement is equivalent towith equality if and only if  = xi for all i  1, . . . , n.For the following proof we apply mathematical induction and only well-known rules of arithmetic.Induction basis: For n&#

45、160;= 1 the statement is true with equality.Induction hypothesis: Suppose that the AMGM statement holds for all choices of n non-negative real numbers.Induction step: Consider n +1 non-negative real numbers. Their arithmetic mean  satisfies.本科生畢業(yè)論文設(shè)計(jì)

46、關(guān)于不等式證明方法的探討作者姓名：曾海輝指導(dǎo)教師：張碩所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)（系）：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)班級(jí)（屆）：2014屆數(shù)學(xué)B班二一四年 四月 三十日目錄目錄1摘要、關(guān)鍵字21 問(wèn)題提出 31.1 在現(xiàn)實(shí)生活中的意義及前景 31.2 在數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀和問(wèn)題 32 常用證明方法 52.1 比較法 52.2 分析綜合法 62.3 反證法 72.4 放縮法 82.5 換元法 112.6 數(shù)學(xué)歸納法 142.7 判別式法 152.8 函數(shù)單調(diào)性法 162.9 幾何證法 172.10 面積體積法 182.11 極值法 193 教學(xué)建議與思考203.1 內(nèi)容綜述與建議 193.2 問(wèn)題總結(jié)

47、與思考 22參考文獻(xiàn) 23Abstract 24 關(guān)于不等式證明方法的探討學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)指導(dǎo)教師： 張 碩作 者： 曾海輝摘要：不等式及其證明的內(nèi)容極為豐富，在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)了相當(dāng)關(guān)鍵的主體地位，它貫穿于高中數(shù)學(xué)的幾乎每一個(gè)章節(jié)之中，同時(shí)，他又是我們實(shí)踐生活應(yīng)用甚為廣泛的一種集理論和技巧于一身的格式化計(jì)算性工具。不等式及其證明在實(shí)際中的普遍應(yīng)用呈現(xiàn)在廣泛的采購(gòu)批發(fā)方法，房屋租賃方法，購(gòu)物娛樂(lè)方法等的設(shè)計(jì)現(xiàn)象之中。然而，對(duì)一些不等式的證明又為我們?cè)谏钪欣貌坏仁教峁┝擞辛ψC據(jù)。在這里我們就來(lái)探討不等式的一些常用證明方法。在證明不等式過(guò)程中，除了等特別常見(jiàn)的原理

48、外，統(tǒng)一的方法沒(méi)有很多，但是經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)同一不等式可有多種證明方法的情形。上年代以來(lái)，由于不等式的改進(jìn)和新型的發(fā)現(xiàn)絡(luò)繹不絕，就促使著科學(xué)家們對(duì)更多新的證明方法的研究和發(fā)現(xiàn)。在教學(xué)生活中，不等式及其證明是教師們的重頭戲，是學(xué)生們的老大難，因此在本文中，、函數(shù)單調(diào)性法、幾何證法、面積體積比較法、極值法等常見(jiàn)證明方法，期望能對(duì)讀者、。關(guān)鍵詞：1 問(wèn)題提出不等式及其證明非但是各級(jí)數(shù)學(xué)中的重、難、考、熱點(diǎn)，教師們的重頭戲，學(xué)生們的老大難；而且是現(xiàn)實(shí)生活中運(yùn)用最普遍，跨領(lǐng)域性最強(qiáng)的一種集理論、技巧于一身的格式化計(jì)算工具，以下就是對(duì)他的實(shí)際價(jià)值、研究現(xiàn)狀和發(fā)展前景的論述。1.1 在現(xiàn)實(shí)生活中的意義及前景在日常

49、實(shí)踐活動(dòng)中，不等式及其證明是運(yùn)用最為廣泛，跨領(lǐng)域性最強(qiáng)的一種集理論、技巧于一身的格式化計(jì)算工具，而且，使用不等式來(lái)實(shí)現(xiàn)任務(wù)完成的情況呈現(xiàn)于社會(huì)生產(chǎn)和實(shí)踐生活的各方各面，各個(gè)層次，例如，經(jīng)常見(jiàn)到采購(gòu)批發(fā)方案設(shè)計(jì)，房屋租賃方案設(shè)，消費(fèi)娛樂(lè)方案設(shè)計(jì)等。然而，甚為廣范的不等式使用從何而來(lái)呢？不等式的證明為我們?cè)谏钪欣貌坏仁教峁┝擞辛ψC據(jù)。在研究不等式各個(gè)內(nèi)容（如不等式性質(zhì)、解法和證明方法）的進(jìn)程中，但在此性質(zhì)和解法就不做探討了，而主要探討了不等式的證明中使用的一些常用方法,如上文中所列。，直接效果是使我們可以掌握數(shù)學(xué)中一些更細(xì)致更準(zhǔn)確的理論，從發(fā)展數(shù)學(xué)的角度，使我們能站在一個(gè)更高層次的數(shù)學(xué)角度對(duì)不

50、等式進(jìn)行研究。但是在上世紀(jì)以前，證明不等式的方法中，除個(gè)別非常一般的原理（如 ）外，統(tǒng)一的證明方法沒(méi)有很多，然而幾種不同的方法或幾種方法用于同一證明過(guò)程中來(lái)證明不等式的情況出現(xiàn)較多。，大量的新型不等式的發(fā)現(xiàn)和對(duì)已知不等式的改進(jìn)，以及發(fā)現(xiàn)在更多的領(lǐng)域都廣泛都涉及到不等式的應(yīng)用，這讓現(xiàn)有的不等式內(nèi)容及界限難以滿(mǎn)足社會(huì)時(shí)代和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，促使科學(xué)家們不得不開(kāi)始著眼于研究更多特殊情況下不等式的證明及其方法。因此，上世紀(jì)末新世紀(jì)初，不等式在形式要求下，得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展和開(kāi)拓，打破了原有的局限，在更多領(lǐng)域得到了更加廣泛更加深層的應(yīng)用。在此基礎(chǔ)上，為了由特殊到一般，就更加迫切要求我們進(jìn)一步更加細(xì)致周密廣泛

51、普及的總結(jié)更多的更廣泛統(tǒng)一性證法。1.2 在數(shù)學(xué)教學(xué)中的現(xiàn)狀和問(wèn)題。例如，刊物， 其受重視程度可見(jiàn)一斑，一個(gè)常見(jiàn)的現(xiàn)象是，當(dāng)今許多研究成果中， 許多基本重 在另一方面，不等式及其證明非但是各級(jí)數(shù)學(xué)中的重、難、考、熱點(diǎn)，教師們的重頭戲，學(xué)生們的老大難，他不僅可以多方面對(duì)學(xué)生的綜合能力的鍛煉增強(qiáng)，有效提高學(xué)生敏銳的綜合分析解決問(wèn)題或完成任務(wù)的水平，與此同時(shí)，不等式的證明的內(nèi)容靈活多變，而且可以從多個(gè)角度考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中一個(gè)多可多得的好素材。然而，眾所周知，我們教育教學(xué)現(xiàn)在面臨的不等式及其證明的現(xiàn)狀是學(xué)生無(wú)法掌握變化多樣的不等式證明方法，遇到問(wèn)題時(shí)，不知如何選用合適的方法，這也是

52、一個(gè)很多老師都遇到的一直未成功解決的共性問(wèn)題。但是，萬(wàn)千事物萬(wàn)變不離其宗，遇事抓住其根本，總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗(yàn)，舉一反三，必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破，獨(dú)樹(shù)一幟。因此，在不等式及其證明的教學(xué)工作中應(yīng)讓學(xué)生熟悉正確掌握不等式的各種性質(zhì)，并適當(dāng)不間斷加強(qiáng)和鞏固學(xué)生們對(duì)他們?cè)诓坏仁綐?gòu)造、解法和證明上的運(yùn)用。另外，這里給出一點(diǎn)建議它們是最基礎(chǔ)、最根本、最普遍的不等式證明方法，此外，在教學(xué)過(guò)程，也需要提供更多類(lèi)別的難易程度合理的不等式證明方法讓學(xué)生學(xué)習(xí)鉆研。在這樣的形勢(shì)下，本文更多的是從一般普遍的情況下進(jìn)行研究，查閱了各方面關(guān)于不等式的習(xí)題相應(yīng)的解題方法，并對(duì)這些習(xí)題和方法進(jìn)行了細(xì)致全面的歸

53、納總結(jié)，還有諸如反證法、體積法等也很常用的證明方法以供參考，希望給讀者們進(jìn)行進(jìn)一步總結(jié)提供一些借鑒和幫助。2 常用證明方法萬(wàn)千事物萬(wàn)變不離其宗，遇事抓住其根本，總結(jié)前人和自己的生活學(xué)習(xí)工作經(jīng)驗(yàn)，舉一反三，必定能夠在數(shù)學(xué)研究中有所突破，獨(dú)樹(shù)一幟。下面我們就一起來(lái)討論總結(jié)這些不等式的常用證明方法。2.1 比較法概述：包括作差和作商。采用比較的方法，轉(zhuǎn)折性的一步是要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如分解，方式，加法和減法，分裂，定理和公式法，和積化差等。一般情況下比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 的大小時(shí)，我們會(huì)先將其進(jìn)行作差，再判斷的正負(fù)性，該方法被稱(chēng)作作差法。其步驟一般是：作差，形變，判斷差值正負(fù)，下論斷，當(dāng)觀察到 同號(hào)時(shí),我們一

54、般會(huì)將其進(jìn)行坐商，再比較 的大小，該方法被稱(chēng)為作商法。：作商，比較法是數(shù)學(xué)上最普遍，最基礎(chǔ)的證明方法。常見(jiàn)類(lèi)型：（1）單項(xiàng)比較法：也由項(xiàng)目比較法和比較的方法稱(chēng)為項(xiàng)目，是比較不等式的兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，每個(gè)相同或相似的項(xiàng)目之間的異同點(diǎn)，并根據(jù)相似性和差異性，給予相同的兩側(cè)，剩余項(xiàng)的大小，不僅減小了不等式的長(zhǎng)度，而且使剩余的不等式的變形方向更加明了，它主要在不等式的證明中的兩側(cè)結(jié)構(gòu)類(lèi)似的情況下應(yīng)用。 （2）類(lèi)型比較法：也簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比法，指的是將不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，然后把類(lèi)似的項(xiàng)目?jī)蓛沙蓪?duì)（可進(jìn)行移項(xiàng)，同類(lèi)項(xiàng)合并等），然后再判斷每對(duì)的大?。ㄈ缯?fù)性）。（3）綜合比較法：這是一個(gè)更復(fù)雜涉及因素更多需多方面考

55、慮的證明方法，經(jīng)過(guò)綜合分析不等式，經(jīng)常會(huì)同時(shí)用到數(shù)種方法進(jìn)行證明。應(yīng)用范圍：一般的，比較法通常用于雙側(cè)為多項(xiàng)式，分式或?qū)?shù)型的證明中，而坐商法一般用于雙側(cè)是乘冪或指數(shù)形式的不等式證明中。典型例題討論：2.2 分析與綜合法概述：很多情況下，我們會(huì)把一個(gè)整體事物或現(xiàn)象劃分為更加熟悉簡(jiǎn)潔的幾個(gè)部分，分別進(jìn)行研究探討，并把各個(gè)部分的討論結(jié)果進(jìn)行綜合研究，最終總結(jié)出論斷，此方法我們把它稱(chēng)為分析與綜合法。當(dāng)分析與綜合法應(yīng)用于不等式證明中時(shí)，它是從已知條件出發(fā)導(dǎo)出證明不等式分析方法，并同時(shí)從待證不等式問(wèn)題出逐漸發(fā)找到該不等式的充分條件合成方法，最后歸結(jié)為已知條件。，而且，。常見(jiàn)類(lèi)型：（1）定性分析：一般的，

56、我們會(huì)根據(jù)不等式雙側(cè)的具體結(jié)構(gòu)類(lèi)型，也可進(jìn)行一些變形，再比較雙側(cè)的正負(fù)性，如證明 ，（2）定量分析：有時(shí)候，我們可以直接計(jì)算出不等式雙側(cè)的值或是其具體極限，再用算出的論斷做出比較，形如： ， （3）因果分析：顧名思義，從結(jié)果的指導(dǎo)，通過(guò)相同的結(jié)果，是一個(gè)已知的條件下，一步一步導(dǎo)向不等式的結(jié)果，同時(shí)發(fā)現(xiàn)證明不等式的充分條件，最后成功證明不等式的方法。注意事項(xiàng)：（1）靈活熟練運(yùn)用常用不等式，形如，（2）， 巧妙解讀并利用條件中的隱含條件，形如的隱含條件為定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，（3） 不等式的各種變形技術(shù)的靈活運(yùn)用，例如，移項(xiàng)分割，合并等。讓我們一起來(lái)討論下面這個(gè)典型例題吧：評(píng)：此題為因果分析，利用已

57、知條件，從其兩側(cè)共同出發(fā)，尋找它們解決問(wèn)題的吻合點(diǎn)，從而完成其證明，是的一個(gè)典型應(yīng)用，其關(guān)鍵是要據(jù)題意分析題中可能涉及到的定理、公式等。2.3 反證法概述:是從待證不等式的否定式入手，經(jīng)推導(dǎo)獲得，若否定成立，則其會(huì)與已知條件或某些定理沖突，因此反面證得所求的不等式成立。其事先需要假設(shè)待證不等式不成立,并從這起點(diǎn)出發(fā),聯(lián)系已知條件,定理，推論等,開(kāi)始準(zhǔn)確的推理,獲得與已知條件或某些定理沖突的論斷,獲得論斷假設(shè)不準(zhǔn)確,因此得出待證不等式成立。注意事項(xiàng):（1）應(yīng)該準(zhǔn)確的對(duì)全部能夠出現(xiàn)的負(fù)面結(jié)果一一探討，明確如惟一、非正、大于等詞語(yǔ)的否定式，（2）經(jīng)常是在直接的結(jié)論與允許的條件之間的關(guān)系和線索不明顯的

58、情況下應(yīng)用，（3） “否定假設(shè)”。一般流程：（1） 假設(shè)待證不等式不成立，也就是假設(shè)待證不等式的否定式成立，（2）從該否定式出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理證明獲得與已知條件或客觀事實(shí)相沖突的論斷，（3）由沖突獲得假設(shè)的否定式不成立，從而獲得原待證不等式成立。適用情況：（1）情況”惟一”式不等式證明，（2）情況否決性不等式證明，如 一定不等于零，（3）“最“式不等式證明，形如 中最少有一個(gè)大于零，(4)“都”或“且”式不等式證明。一起來(lái)研究典型例題吧：例5.已知： ，求證：中至少有一個(gè)不小于 。證明：假設(shè) 都小于 ，則（注：由假設(shè)驗(yàn)證其與事實(shí)沖突之處）由 得 與（2）沖突。 假設(shè)不成立，即原不等式成立。（“至多”“至少”型問(wèn)題）2.4 放縮法概述：在一些不等式證實(shí)過(guò)程中，使用不等式傳遞性，我們會(huì)使其某些項(xiàng)地值適當(dāng)?shù)臄U(kuò)大或減縮，有時(shí)也會(huì)舍掉或增加某些項(xiàng)，然后就可以使不平等相關(guān)項(xiàng)目之間的關(guān)系的尺寸更清楚一些，進(jìn)而使得不等式的其他