橢圓知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)和例題

1、橢圓的基本知識(shí) 1橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距(設(shè)為2c) . 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（0） （0）焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0，n>0)不必考慮焦點(diǎn)位置，求出方程3.求軌跡方程的方法: 定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、直接法解: (相關(guān)點(diǎn)法)設(shè)點(diǎn)M(x, y), 點(diǎn)P(x0, y0), 則xx0, y 得x0x， y02y.x02y024, 得 x2(2y)24, 即所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓. 4.范圍. x2a2，y2b2，|x

2、|a，|y|b橢圓位于直線x±a和y±b圍成的矩形里5.橢圓的對(duì)稱性橢圓是關(guān)于y軸、x軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心橢圓的對(duì)稱中心叫做橢圓的中心6.頂點(diǎn) 只須令x0，得y±b，點(diǎn)B1(0,b)、B2(0, b)是橢圓和y軸的兩個(gè)交點(diǎn)；令y0，得x±a，點(diǎn)A1(a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)：A1(a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, b)、B2(0, b)橢圓和它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)叫橢圓的頂點(diǎn)線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸. 長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于2a. 短軸的長(zhǎng)等于2b.a叫做橢圓的長(zhǎng)

3、半軸長(zhǎng)b叫做橢圓的短半軸長(zhǎng)|B1F1|B1F2|B2F1|B2F2|a在RtOB2F2中，|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b27.橢圓的幾何性質(zhì)：橢圓的幾何性質(zhì)可分為兩類：一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心坐標(biāo)；一類是與坐標(biāo)系無關(guān)的本身固有性質(zhì)，如長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、離心率對(duì)于第一類性質(zhì)，只要的有關(guān)性質(zhì)中橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y互換，就可以得出的有關(guān)性質(zhì)?？偨Y(jié)如下：幾點(diǎn)說明：（1）長(zhǎng)軸：線段，長(zhǎng)為；短軸：線段，長(zhǎng)為；焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上。（2）對(duì)于離心率e，因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1，離心率反映了橢圓的扁平程度。由于，所以越趨近于1，越趨近于，橢圓越扁平

4、；越趨近于0，越趨近于，橢圓越圓。（3）觀察下圖，所以，所以橢圓的離心率e = cosOF2B28.直線與橢圓： 直線：（、不同時(shí)為0） 橢圓：那么如何來判斷直線和橢圓的位置關(guān)系呢？將兩方程聯(lián)立得方程組，通過方程組的解的個(gè)數(shù)來判斷直線和橢圓交點(diǎn)的情況。方法如下： 消去得到關(guān)于的一元二次方程，化簡(jiǎn)后形式如下， （1）當(dāng)時(shí)，方程組有兩組解，故直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）當(dāng)時(shí)，方程組有一解，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)（相切）； （3）當(dāng)時(shí)，方程組無解，直線和橢圓沒有公共點(diǎn)。 注：當(dāng)直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)其坐標(biāo)為，那么線段的長(zhǎng)度（即弦長(zhǎng)）為，設(shè)直線的斜率為，可得：，然后我們可通過求出方程的根或用韋

5、達(dá)定理求出。橢圓典型例題例1 已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得又，所以，適合故例2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定

6、義求解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由，知點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點(diǎn)）例4 已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點(diǎn)為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角

7、的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： ·由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4，半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7 已知橢圓（1）求過點(diǎn)且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平

8、行弦的中點(diǎn)軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點(diǎn)、，為原點(diǎn)，且有直線、斜率滿足，求線段中點(diǎn)的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為，線段的中點(diǎn)，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解

9、決例8 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得 ：解得方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長(zhǎng)問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長(zhǎng)問題，一般應(yīng)用弦長(zhǎng)公式用弦長(zhǎng)公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡(jiǎn)化運(yùn)算過程例9 以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線上一點(diǎn)作橢圓，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢

10、圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，4）此時(shí)最小所求橢圓的長(zhǎng)軸：，又，因此，所求橢圓的方程為例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由得，故的取值范圍是出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個(gè)條件，當(dāng)時(shí)，并不表示橢圓例11 已知表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方

11、程可化為因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點(diǎn)在軸上，知， (3)求的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件例12求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點(diǎn)的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡(jiǎn)便起見，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方程為(，)由和兩點(diǎn)在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)分析：可以利用弦長(zhǎng)公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可

12、以利用焦點(diǎn)半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式求解因?yàn)椋砸驗(yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以橢圓方程為，左焦點(diǎn)，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而 (法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以 (法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出例14橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，為的中點(diǎn)，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為A4B2 C8 D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由橢圓第一定義得，所以，又因?yàn)闉榈闹形痪€，所以，故答案為A說明：(1)橢圓定義：

13、平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓(2)橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離例15 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對(duì)于直線，橢圓上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則已知條件等價(jià)于：(1)直線；(2)弦的中點(diǎn)在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與交于點(diǎn)的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點(diǎn)，解得(法2)同解法1得出，即點(diǎn)坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢

14、圓上關(guān)于對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點(diǎn)在直線上，。由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)，關(guān)于直線恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式例17 在面積為1的中，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程解：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)則即得所求橢圓方程為例18 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計(jì)算即得并不需要求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一