概率論與隨機過程題集

1、第二章 概率論與隨機過程2-16 圖P2-16中的電路輸入為隨機過程X(t),且EX(t)=0,() =(),即X(t)為白噪過程。（a）試求譜密度（f）。（b）試求()和EY(t)。CRY(t)X(t)圖P2-16解：（a）= 又系統(tǒng)函數(shù)= (b) = =2-20 一離散時間隨機過程的自相關序列函數(shù)是，試求其功率密度譜。解：由功率密度譜的定義知 即為所求。2-23 試證明函數(shù) ，= 0，在區(qū)間上為正交的，即所以，抽樣定理的重建公式可以看作帶限信號的級數(shù)展開式，其中權值為的樣值，且是級數(shù)展開式中的正交函數(shù)集。證明： 由題得 命題得證。2-24 系統(tǒng)的噪聲等效帶寬定義為式中,。利用該定義，試確定

2、圖P2-12中的理想帶通濾波器和圖P2-16中的低通系統(tǒng)的噪聲等效帶寬。CRY(t)X(t)BB 圖P2-12 圖P2-16解：(1) 對于圖P2-12有 圖P2-12的系統(tǒng)的等效帶寬為B (2) 對于圖P2-16有 = =第三章 信源編碼3-4 X、Y是兩個離散隨機變量,其概率為P(X=x, Y=y)=P(x, y)證明：I(X,Y)，當且僅當X和Y統(tǒng)計獨立時等號成立。證明： 0, 當且僅當X和Y統(tǒng)計獨立時 此時, 3-5 某DMS信源輸出由可能的字符，組成，其發(fā)生概率分別是，。證明信源熵至多是。證明： 由熵定義可知 ； 又 1 又 0 當且僅當 時等號成立。3-11 設和是兩個聯(lián)合分布的離

3、散隨機變量 （a）證明： (b) 利用上述結果證明： 在什么情況下上式的等號成立? （c） 證明： 當且僅當和獨立時上式等號成立。證明：(a) 由離散隨機變量的邊緣概率可知 同理可知： （b） = 當=1時，等號成立。 (c) 由3-4的結論可知： 若存在不獨立，使得 即 不獨立，所以與以上推論相互矛盾； 當且僅當相互獨立時上式等號成立。3-23 一個無記憶信符源的字集為-5,-3,-1,0,1,3,5,相應的概率分別是0.05,0.1,0.1,0.15,0.05,0.25,0.3,(a) 計算信源熵。(b) 假設信源輸出按如下量化規(guī)則量化 ,計算量化后的信息熵。解： (a) 由熵的定義可得取

4、2作底可得 (b) 量化后的字符集為,且 此時的熵為 取2作底可得 0.883-25 對下列二進制序列做L-Z信源編碼 ： 再從編成的L-Z信源碼中恢復原序列。解：將該二進制序列做如下分解，可得到下列碼段： 0，00，1，001，000，0001，10，00010，0000，0010，00000，101，00001，000000，11，01，0000000，110 可得L-Z算法字典如下：字典位置字典內容碼字1000010000000200010000000103000111000001400100001000101500101000000100600110000100101170011110

5、00011080100000010001100901001000000101010010100010001000110101100000010010120110010100111113011010000101001114011100000000101101501111110001111610000010000111710001000000001110018100101100111103-30 某加性高斯白噪聲信道的輸出是,此處是信道輸入，是噪聲，概率密度函數(shù)為 ，如是及的白高斯輸入，計算： (a) 條件差熵。 (b) 平均互信息。解：(a) 已知信源的概率刻度函數(shù)為，為加性噪聲， ， 條件熵為

6、 (b) 平均互信息為3-38 考慮一個平穩(wěn)隨機信號序列，其均值為0，自相關序列 1 （n=0） 0.5 (n=) 0 (其它) （a）的一階最小MSE預測器為，計算預測系數(shù)以及相應的最小均方誤差。（b）對于二階預測器重復（a）的問題。解：（a）由 且 ， 可得 0.5 此時最小均方誤差為 （b）二階最小MSE預測器 此時， ， 此時的最小均方誤差為 第四章 通信信號與系統(tǒng)的表征4-9 已知一組M個正交信號波形，他們具有相同的能量?，F(xiàn)定義一組新的M個波形 ， ，試證明這M個信號波形 有相同的能量，即并且是等相關的，相關系數(shù)為證明： 由能量定義可得 ，為正交向量 即M個信號波形 有相同的能量。又

7、 即證。0.50.54-10 考察圖P4-10所示的3個波形。0 1 2 3 4t-0.50.50.5t0 40.5 0.5t0 2 4圖 P4-10（a）試證明這些波形是標準正交的。（b）如果 1 1 1 試將表示為，2，3的加權線性組合，并求加權系數(shù)。證明：（a）由圖可知 ， ， ， ，是標準正交的。（b） ，是兩兩正交的 它們是線形獨立的 不能由，線形表示。4-13 低通高斯隨機過程的功率密度譜為 試求的功率密度譜和自相關函數(shù)。解： 根據(jù)題意可知 又 ， 4-17 試對圖4-2-1（a）中的信號按，的次序進行格拉姆-施密特（GramSchmidt）正交化，得到標準正交函數(shù)集。試利用標準正

8、交函數(shù)集將信號表示為向量形式，并求各向量的能量。1t0 2110 2 3tt1-10 2-10 3t圖4-2-1（a）解： 的能量為 ，在投影為+= 的能量為 在投影為在投影為 是，的線性組合 信號空間為2 且，3，3，24-18 如圖P4-18所示，由，標準正交基函數(shù)，試求4個信號的信號空間表示形式。畫出信號空間圖，并證明這種信號集等價于四相PSK信號集。0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 10 10 1圖 P4-18（1）解：的信號空間表示式為 信號空間為 （2）證明：由題可得的能量分別為 ， 即 又 ， ， 可知 當 時 此信號集與四PSK信號集等價。第五章 加性高斯白噪聲信道的最佳

9、接收機5-2 有一個信號為： （a）試求該信號的匹配濾波器的沖激響應。（b）試求在時刻匹配濾波器的輸出。（c）設信號通過一個相關器，它將輸入和進行相關運算。試求時刻相關器的輸出值。試與（b）中的結果相比較。解：（a） 由匹配濾波器的定義可知，其沖激響應即為 （b） 匹配濾波器的輸出為 在時刻的輸出為 （c） 由題可知，信號通過相關器，即，信號進行自相關。 顯然與（b）相同。5-6 有一個等效低通（復值）信號，其能量為假設該信號受到AWGN的惡化，其等效低通形式為，則觀察到的信號為：，該接收信號通過一個（等效低通）沖激響應為的濾波器。試求，要求（在時刻）使輸出SNR最大。解： 當信號受到AWGN影響時，具有匹配于的沖激響應的濾波器使輸出SNR最大。 且 在在時刻輸出SNR最大5-10 三元通信系統(tǒng)在每個秒內傳輸下列三個信號之一：，則接收信號為，或，其中為高斯白噪聲，。最佳接收機計算以下相關度量將與門限和門限相比較。若,則判發(fā)送，