橢圓典型題型歸納總結(jié)

1、橢圓典型題型歸納題型一. 定義及其應(yīng)用例1：已知一個動圓與圓相內(nèi)切，且過點，求這個動圓圓心M的軌跡方程； 練習(xí)：1.方程對應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓2.方程對應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓3.方程成立的充要條件是（ ）A. B. C. D. 4.如果方程表示橢圓，則的取值范圍是 5.過橢圓的一個焦點的直線與橢圓相交于兩點，則兩點與橢圓的另一個焦點構(gòu)成的的周長等于 ；6.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點，為圓周上任意一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為 ；題型二. 橢圓的方程 （一）由方程研究曲線例1.方程的曲線是到定點 和

2、 的距離之和等于 的點的軌跡（二）分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點，求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點、，求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過點且與橢圓有共同焦點的橢圓方程；（四）定義法求軌跡方程；例5.在中，所對的三邊分別為，且，求滿足且成等差數(shù)列時頂點的軌跡；練習(xí)：1、動圓P與圓內(nèi)切與圓外切，求動圓圓心的P的軌跡方程。2、已知動圓C過點A，且與圓相內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為 ；（五）相關(guān)點法求軌跡方程；例6.已知軸上一定點，為橢圓上任一點，求的中點的軌跡方程； （六）直接法求軌跡方程；例7.設(shè)

3、動直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點，點是直線上滿足的點，求點的軌跡方程； （七）列方程組求方程例8.中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程； 題型三.焦點三角形問題橢圓中的焦點三角形：通常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理來解決；橢圓上一點和焦點，為頂點的中，則當(dāng)為短軸端點時最大，且；=。（短軸長）例：知橢圓上一點的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個焦點分別為、，求、及；練習(xí)：1、橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則 ；的大小為 ；2、是橢圓上的一點，和為左右焦點，若。（1）求的面積；（2）求點的坐標(biāo)。題型四.橢圓的幾何性質(zhì)例1.已知是橢圓上的點，的縱坐標(biāo)為，、分別為橢

4、圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為 例2.橢圓的四個頂點為，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率為 ；例3.若橢圓的離心率為，則 ；例4.若為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，則橢圓的離心率為 題型五.求范圍例1.方程焦點在軸的橢圓，求實數(shù)的取值范圍；題型六.求離心率例1. 橢圓的左焦點為，是兩個頂點，如果到直線的距離為，則橢圓的離心率 例2.若為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，則橢圓的離心率為 例3. 、為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為 ；練習(xí)1、（2010南京二模）以橢圓的右焦點為圓心的圓經(jīng)過原點，且與該橢圓的右準線交于、兩點，已知是正三

5、角形，則該橢圓的離心率是 ；2、已知 分別為橢圓的右頂點、上頂點、和左焦點，若，則該橢圓的離心率為 ；3、（2012年新課標(biāo)）設(shè)是橢圓的左、右焦點,為直線上一點,是底角為的等腰三角形,則的離心率為（）ABCD4、橢圓(ab0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為_題型七.直線與橢圓的關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系例1. 當(dāng)為何值時，直線與橢圓相切、相交、相離？例2.曲線（）與連結(jié)，的線段沒有公共點，求的取值范圍。例3.過點作直線與橢圓相交于兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。例4.求直線

6、和橢圓有公共點時，的取值范圍 （二）弦長問題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點，若過點，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點的坐標(biāo)。例2.橢圓與直線相交于兩點，是的中點，若，為坐標(biāo)原點，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點分別是和，過中心作直線與橢圓交于兩點，若的面積是20，求直線方程。（三）弦所在直線方程例1.已知橢圓，過點能否作直線與橢圓相交所成弦的中點恰好是；例2.已知一直線與橢圓相交于兩點，弦的中點坐標(biāo)為，求直線的方程；例3. 橢圓中心在原點，焦點在軸上，其離心率,過點的直線與橢圓相交于兩點，且C分有向線段的比為2.（1）用直線的斜率表示的面積；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求橢圓E的方程（

7、四）關(guān)于直線對稱問題例1.已知橢圓，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個不同的點關(guān)于直線對稱； 例2.已知中心在原點，焦點在軸上，長軸長等于6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由。題型八.最值問題F2F1M1M2例1若，為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。結(jié)論1：設(shè)橢圓的左右焦點分別為,為橢圓內(nèi)一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為,最小值為；例2,為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。結(jié)論2設(shè)橢圓的左右焦點分別為，為橢圓外一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為，最小值為;2.二

8、次函數(shù)法例3求定點到橢圓上的點之間的最短距離。結(jié)論3：橢圓上的點到定點A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用兩點間距離公式表示MA或MB，通過動點在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3.三角函數(shù)法例4求橢圓上的點到直線的距離的最值；4.判別式法例4的解決還可以用判別式法結(jié)論5：橢圓上的點到定直線l距離的最值問題,可轉(zhuǎn)化為與l平行的直線m與橢圓相切的問題,利用判別式求出直線m方程，再利用平行線間的距離公式求出最值。題型九.軌跡問題例1到兩定點，的距離之和為定值5的點的軌跡是 例2已知點，點在圓的上半圓周上(即y0)，AOP的平分線交于Q，求點Q的軌跡方程。例

9、3.已知圓及點，是圓C上任一點，線段的垂直平分線l與PC相交于Q點，求Q點的軌跡方程。橢圓典型題型歸納題型一. 定義及其應(yīng)用橢圓定義：平面內(nèi)一動點到兩定點，的距離和等于常數(shù)（ 大于= ）點的集合叫橢圓；即注：當(dāng)時軌跡為橢圓；當(dāng)時軌跡為線段；當(dāng)時無軌跡。例1：已知一個動圓與圓相內(nèi)切，且過點，求這個動圓圓心的軌跡方程； 練習(xí)：1.方程對應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓2.方程對應(yīng)的圖形是（ ）A.直線 B. 線段 C. 橢圓 D. 圓3.方程成立的充要條件是（ ）A. B. C. D. 4.如果方程表示橢圓，則的取值范圍是 5.過橢圓的一個焦點的直線與橢圓相交于兩點，則兩

10、點與橢圓的另一個焦點構(gòu)成的的周長等于 ；6.設(shè)圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點，為圓周上任意一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為 ；題型二. 橢圓的方程 （一）由方程研究曲線例1.方程的曲線是到定點 和 的距離之和等于 的點的軌跡；（二）分情況求橢圓的方程例2.已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點，求橢圓的方程；（三）用待定系數(shù)法求方程例3.已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點、，求橢圓的方程；例4.求經(jīng)過點且與橢圓有共同焦點的橢圓方程；注：一般地，與橢圓共焦點的橢圓可設(shè)其方程為；（四）定義法求軌跡方程；例5.在中，所對的三邊分別為，且，求滿足且成等差

11、數(shù)列時頂點的軌跡；練習(xí)1、動圓P與圓內(nèi)切與圓外切，求動圓圓心的P的軌跡方程。練習(xí)2、已知動圓C過點A，且與圓相內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為 ；（五）相關(guān)點法求軌跡方程；例6.已知軸上一定點，為橢圓上任一點，求的中點的軌跡方程； （六）直接法求軌跡方程；例7.設(shè)動直線垂直于軸，且與橢圓交于兩點，點是直線上滿足的點，求點的軌跡方程； （七）列方程組求方程例8.中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，求此橢圓的方程； 題型三.焦點三角形問題橢圓中的焦點三角形：通常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理、勾股定理來解決；橢圓上一點和焦點，為頂點的中，則當(dāng)為短軸端點時最大，且；=。（短軸長）例：

12、知橢圓上一點的縱坐標(biāo)為，橢圓的上下兩個焦點分別為、，求、及；練習(xí)：1、（2009北京）橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則 ；的大小為 ；2、是橢圓上的一點，和是焦點，若，則的面積等于 （ ）3、是橢圓上的一點，和為左右焦點，若。（1）求的面積；（2）求點的坐標(biāo)。題型四.橢圓的幾何性質(zhì)例1.已知是橢圓上的點，的縱坐標(biāo)為，、分別為橢圓的兩個焦點，橢圓的半焦距為，則的最大值與最小值之差為 例2.橢圓的四個頂點為，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率為 ；例3.若橢圓的離心率為，則 ；例4.若為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，則橢圓的離心率為 題型五.求范圍例1.方程焦點在軸的橢圓，求實數(shù)的取值

13、范圍；題型六.求離心率例1. 橢圓的左焦點為，是兩個頂點，如果到直線的距離為，則橢圓的離心率 例2.若為橢圓上一點，、為其兩個焦點，且，則橢圓的離心率為 例3. 、為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓的離心率為 ；練習(xí)1、（2010南京二模）以橢圓的右焦點為圓心的圓經(jīng)過原點，且與該橢圓的右準線交于、兩點，已知是正三角形，則該橢圓的離心率是 ；2、已知 分別為橢圓的右頂點、上頂點、和左焦點，若，則該橢圓的離心率為 ；3、（2012年新課標(biāo)）設(shè)是橢圓的左、右焦點,為直線上一點,是底角為的等腰三角形,則的離心率為（）ABCD4、橢圓(ab0)的左、右頂點分別是A,B,左、右焦點分別是F

14、1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為_題型七.直線與橢圓的關(guān)系（1）直線與橢圓的位置關(guān)系例1. 當(dāng)為何值時，直線與橢圓相切、相交、相離？例2.曲線（）與連結(jié)，的線段沒有公共點，求的取值范圍。例3.過點作直線與橢圓相交于兩點，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值。分析：若直接用點斜式設(shè)的方程為，則要求的斜率一定要存在，但在這里的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線的方程為，這樣就包含了斜率不存在時的情形了，從而簡化了運算。 解：設(shè)，：把代入橢圓方程得：，即，此時 令直線的傾角為，則即面積的最大值為，此時

15、直線傾斜角的正切值為。例4.求直線和橢圓有公共點時，的取值范圍。 （二）弦長問題例1.已知橢圓，是軸正方向上的一定點，若過點，斜率為1的直線被橢圓截得的弦長為，求點的坐標(biāo)。 分析：若直線與圓錐曲線相交于兩點、，則弦的長度的計算公式為，而，因此只要把直線的方程代入圓錐曲線方程，消去（或），結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求出弦長。 解：設(shè)（），則直線的方程為，設(shè)直線與橢圓相交于、，由，可得，則，即，又，；例2.橢圓與直線相交于兩點，是的中點，若，為坐標(biāo)原點，的斜率為，求的值。例3.橢圓的焦點分別是和，過中心作直線與橢圓交于兩點，若的面積是20，求直線方程。（三）弦所在直線方程例1.已知橢圓，過

16、點能否作直線與橢圓相交所成弦的中點恰好是；例2.已知一直線與橢圓相交于兩點，弦的中點坐標(biāo)為，求直線的方程；例3. 橢圓中心在原點，焦點在軸上，其離心率,過點的直線與橢圓相交于兩點，且C分有向線段的比為2.（1）用直線的斜率表示的面積；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求橢圓E的方程解：（1）設(shè)橢圓的方程為，由，a2=3b2故橢圓方程；設(shè)，由于點分有向線段的比為2，即由消去y整理并化簡得(3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0由直線l與橢圓E相交于兩點而 由得:，代入得：.（2）因,當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值此時，又，；將及代入得3b2=5，橢圓方程例4.已知是橢圓上的三點，為橢圓的左焦點，且成等差數(shù)列，則的

17、垂直平分線是否過定點？請證明你的結(jié)論。（四）關(guān)于直線對稱問題例1.已知橢圓，試確定的取值范圍，使得橢圓上有兩個不同的點關(guān)于直線對稱； 例2.已知中心在原點，焦點在軸上，長軸長等于6，離心率，試問是否存在直線，使與橢圓交于不同兩點，且線段恰被直線平分？若存在，求出直線傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由。題型八.最值問題F2F1M1M2例1若，為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。分析：欲求的最大值和最小值o可轉(zhuǎn)化為距離差再求。由此想到橢圓第一定義, 為橢圓的左焦點。解：，連接，延長交橢圓于點M1,延長交橢圓于點由三角形三邊關(guān)系知當(dāng)且僅當(dāng)與重合時取右等號、與重合時取左等號。因為

18、，所以, ；結(jié)論1：設(shè)橢圓的左右焦點分別為,為橢圓內(nèi)一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為,最小值為；例2,為橢圓的右焦點，點M在橢圓上移動，求的最大值和最小值。分析：點在橢圓外，交橢圓于，此點使值最小，求最大值方法同例1。解：，連接并延長交橢圓于點M1，則M在M1處時取最大值；最大值是10+，最小值是。結(jié)論2設(shè)橢圓的左右焦點分別為，為橢圓外一點，為橢圓上任意一點，則的最大值為，最小值為;2.二次函數(shù)法例3求定點到橢圓上的點之間的最短距離。分析：在橢圓上任取一點，由兩點間距離公式表示，轉(zhuǎn)化為的函數(shù)求最小值。解：設(shè)為橢圓上任意一點，由橢圓方程知的取值范圍是（1）若，則時，（2）若,則時（3）若,則結(jié)論3：橢圓上的點到定點A(m,0)或B(0,n)距離的最值問題，可以用兩點間距離公式表示MA或MB，通過動點在橢圓上消去y或x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，注意自變量的取值范圍。3.三角函數(shù)法例4求橢圓上的點到直線的距離的最值；解：三角換元 令 則當(dāng)時；當(dāng)時,結(jié)論4：若橢圓上的點到