概率論課后習(xí)題答案

1、習(xí)題七1.設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn為來(lái)自X的樣本，求參數(shù)p的矩法估計(jì).【解】因此np=所以p的矩估計(jì)量 2.設(shè)總體X的密度函數(shù)f（x,）=X1，X2，Xn為其樣本，試求參數(shù)的矩法估計(jì).【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估計(jì)量為 3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f（x，），X1，X2，Xn為其樣本，求的極大似然估計(jì).（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函數(shù)由知所以的極大似然估計(jì)量為.(2) 似然函數(shù),i=1,2,n.由知所以的極大似然估計(jì)量為 4.從一批炒股票的股民一年收益率的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取10人的收益率數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：序號(hào)123456789

2、10收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求這批股民的收益率的平均收益率及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值.【解】 由知,即有于是 所以這批股民的平均收益率的矩估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值分別為-0.94和0.966.5.隨機(jī)變量X服從0，上的均勻分布，今得X的樣本觀測(cè)值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估計(jì)和極大似然估計(jì)，它們是否為的無(wú)偏估計(jì).【解】(1) ,令，則且,所以的矩估計(jì)值為且是一個(gè)無(wú)偏估計(jì).(2) 似然函數(shù),i=1,2,8.顯然L=L()(>0)，那么時(shí)，L=L()最大,所以的極大似然估計(jì)值=0.

3、9.因?yàn)镋()=E(),所以=不是的無(wú)偏計(jì).6.設(shè)X1，X2，Xn是取自總體X的樣本，E（X）=，D（X）=2， =k,問(wèn)k為何值時(shí)為2的無(wú)偏估計(jì).【解】令 i=1,2,n-1,則 于是 那么當(dāng),即時(shí),有 7.設(shè)X1，X2是從正態(tài)總體N（，2）中抽取的樣本試證都是的無(wú)偏估計(jì)量，并求出每一估計(jì)量的方差.【證明】（1）,所以均是的無(wú)偏估計(jì)量.(2) 8.某車(chē)間生產(chǎn)的螺釘，其直徑XN（，2），由過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)知道2=0.06,今隨機(jī)抽取6枚，測(cè)得其長(zhǎng)度（單位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2試求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】n=6,2=0.06,=1-0.95

4、=0.05,的置信度為0.95的置信區(qū)間為.9.總體XN(,2)，2已知，問(wèn)需抽取容量n多大的樣本，才能使的置信概率為1-，且置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于L？【解】由2已知可知的置信度為1-的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長(zhǎng)度為,那么由L,得n10.設(shè)某種磚頭的抗壓強(qiáng)度XN（，2），今隨機(jī)抽取20塊磚頭，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（kg·cm-2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.（2） 求2的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】(1) 的置信度為0.95的置信區(qū)間(2)的置信度為0.

5、95的置信區(qū)間11.設(shè)總體Xf(x)=X1,X2,Xn是X的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量及極大似然估計(jì)量.【解】(1)又故所以的矩估計(jì)量 (2) 似然函數(shù).取對(duì)數(shù)所以的極大似然估計(jì)量為12.設(shè)總體Xf(x)= X1,X2,Xn為總體X的一個(gè)樣本（1） 求的矩估計(jì)量；（2） 求.【解】(1) 令 所以的矩估計(jì)量 (2)，又于是,所以13.設(shè)某種電子元件的使用壽命X的概率密度函數(shù)為f(x,)= 其中(>0)為未知參數(shù)，又設(shè)x1,x2,xn是總體X的一組樣本觀察值，求的極大似然估計(jì)值.【解】似然函數(shù)由那么當(dāng)所以的極大似然估計(jì)量14. 設(shè)總體X的概率分布為X0 1 2 3P2 2(1-) 2 1-2其

6、中(0<<)是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值.【解】所以的矩估計(jì)值（2） 似然函數(shù)解得 .由于 所以的極大似然估計(jì)值為 .15.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x,）=其中未知參數(shù)>1,>0，設(shè)X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的樣本（1） 當(dāng)=1時(shí)，求的矩估計(jì)量；（2） 當(dāng)=1時(shí)，求的極大似然估計(jì)量；（3） 當(dāng)=2時(shí)，求的極大似然估計(jì)量. 【解】當(dāng)=1時(shí)，當(dāng)=2時(shí), (1) 令,于是所以的矩估計(jì)量(2) 似然函數(shù)所以的極大似然估計(jì)量(3) 似然函數(shù)顯然那么當(dāng)時(shí), ,所以的極大似然估計(jì)量.16.從正態(tài)總體XN（3.4，62）

7、中抽取容量為n的樣本，如果其樣本均值位于區(qū)間（1.4，5.4）內(nèi)的概率不小于0.95，問(wèn)n至少應(yīng)取多大？z1.281.6451.962.33j(z)0.90.950.9750.99【解】,則于是則, n35.17. 設(shè)總體X的概率密度為f(x，)=其中是未知參數(shù)（0<<1）,X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x1,x2,xn中小于1的個(gè)數(shù).求：（1） 的矩估計(jì)；（2） 的最大似然估計(jì). 解 (1) 由于.令，解得，所以參數(shù)的矩估計(jì)為.似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)求導(dǎo)，得令 得 ，所以的最大似然估計(jì)為.18.19.習(xí)題八1. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常情況下

8、服從正態(tài)分布N(4.55,0.1082).現(xiàn)在測(cè)了5爐鐵水，其含碳量（%）分別為4.28 4.40 4.42 4.35 4.37問(wèn)若標(biāo)準(zhǔn)差不改變，總體平均值有無(wú)顯著性變化（=0.05）?【解】所以拒絕H0，認(rèn)為總體平均值有顯著性變化.2. 某種礦砂的5個(gè)樣品中的含鎳量（%）經(jīng)測(cè)定為：3.24 3.26 3.24 3.27 3.25設(shè)含鎳量服從正態(tài)分布，問(wèn)在=0.01下能否接收假設(shè)：這批礦砂的含鎳量為3.25.【解】設(shè)所以接受H0，認(rèn)為這批礦砂的含鎳量為3.25.3. 在正常狀態(tài)下，某種牌子的香煙一支平均1.1克，若從這種香煙堆中任取36支作為樣本；測(cè)得樣本均值為1.008（克），樣本方差s2=

9、0.1(g2).問(wèn)這堆香煙是否處于正常狀態(tài).已知香煙（支）的重量（克）近似服從正態(tài)分布（取=0.05）.【解】設(shè)所以接受H0，認(rèn)為這堆香煙（支）的重要（克）正常.4.某公司宣稱(chēng)由他們生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池其平均壽命為21.5小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為2.9小時(shí).在實(shí)驗(yàn)室測(cè)試了該公司生產(chǎn)的6只電池，得到它們的壽命（以小時(shí)計(jì)）為19，18，20，22，16，25，問(wèn)這些結(jié)果是否表明這種電池的平均壽命比該公司宣稱(chēng)的平均壽命要短？設(shè)電池壽命近似地服從正態(tài)分布（取=0.05）.【解】所以接受H0，認(rèn)為電池的壽命不比該公司宣稱(chēng)的短.5.測(cè)量某種溶液中的水分，從它的10個(gè)測(cè)定值得出=0.452(%),s=0.037(%)

10、.設(shè)測(cè)定值總體為正態(tài)，為總體均值，為總體標(biāo)準(zhǔn)差，試在水平=0.05下檢驗(yàn).（1） H0：=0.5(%)；H1：0.5(%).（2） =0.04(%)；0.04(%).【解】(1)所以拒絕H0，接受H1.(2)所以接受H0，拒絕H1.6.某種導(dǎo)線的電阻服從正態(tài)分布N（，）.今從新生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中抽取9根，測(cè)其電阻，得s=0.008歐.對(duì)于=0.05，能否認(rèn)為這批導(dǎo)線電阻的標(biāo)準(zhǔn)差仍為0.005?【解】故應(yīng)拒絕H0，不能認(rèn)為這批導(dǎo)線的電阻標(biāo)準(zhǔn)差仍為0.005.7.有兩批棉紗，為比較其斷裂強(qiáng)度，從中各取一個(gè)樣本，測(cè)試得到：第一批棉紗樣本：n1=200，=0.532kg, s1=0.218kg；第二批棉

11、紗樣本：n2=200，=0.57kg, s2=0.176kg.設(shè)兩強(qiáng)度總體服從正態(tài)分布，方差未知但相等，兩批強(qiáng)度均值有無(wú)顯著差異？(=0.05)【解】所以接受H0，認(rèn)為兩批強(qiáng)度均值無(wú)顯著差別.8.兩位化驗(yàn)員A，B對(duì)一種礦砂的含鐵量各自獨(dú)立地用同一方法做了5次分析，得到樣本方差分別為0.4322(%2)與0.5006(%2).若A，B所得的測(cè)定值的總體都是正態(tài)分布，其方差分別為A2，B2，試在水平=0.05下檢驗(yàn)方差齊性的假設(shè)【解】那么所以接受H0，拒絕H1.9.10.11.12.習(xí)題九1 燈泡廠用4種不同的材料制成燈絲，檢驗(yàn)燈線材料這一因素對(duì)燈泡壽命的影響.若燈泡壽命服從正態(tài)分布，不同材料的燈

12、絲制成的燈泡壽命的方差相同，試根據(jù)表中試驗(yàn)結(jié)果記錄，在顯著性水平0.05下檢驗(yàn)燈泡壽命是否因燈絲材料不同而有顯著差異？試驗(yàn)批號(hào)1 2 3 4 5 6 78燈絲材料水平A1A2A3A416001580146015101610164015501520165016401600153016801700162015701700175016401600172016601680180017401820【解】=69895900-69700188.46=195711.54,=69744549.2-69700188.46=44360.7,=151350.8,故燈絲材料對(duì)燈泡壽命無(wú)顯著影響.表9-1-1方差分析表方

13、差來(lái)源平方和S自由度均方和F值因素影響44360.7314786.92.15誤差151350.8226879.59總和195711.54252. 一個(gè)年級(jí)有三個(gè)小班，他們進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)考試，現(xiàn)從各個(gè)班級(jí)隨機(jī)地抽取了一些學(xué)生，記錄其成績(jī)?nèi)缦拢?3 6688 7768 4189 6078 3179 5982 4548 7856 6843 9391 6291 5380 3651 7671 7973 7785 9671 1574 808756試在顯著性水平0.05下檢驗(yàn)各班級(jí)的平均分?jǐn)?shù)有無(wú)顯著差異.設(shè)各個(gè)總體服從正態(tài)分布，且方差相等.【解】=199462-185776.9=13685.1,=18611

14、2.25-185776.9=335.35,=13349.65,故各班平均分?jǐn)?shù)無(wú)顯著差異.表9-2-1方差分析表方差來(lái)源平方和S自由度均方和F值因素影響335.352167.680.465誤差13349.6537360.80總和13685393. 下面記錄了3位操作工分別在不同機(jī)器上操作3天的日產(chǎn)量.操作工機(jī)器甲乙丙A115 15 1719 19 1616 18 21A217 17 1715 15 1519 22 22A315 17 1618 17 1618 18 18A418 20 2215 16 1717 17 17取顯著性水平=0.05,試分析操作工之間，機(jī)器之間以及兩者交互作用有無(wú)顯著差

15、異？【解】由已知r=4,s=3,t=3.的計(jì)算如表9-3-1.表9-3-1Tij機(jī)器工作操甲乙丙475455156514563159485154153604851159206198223627表9-3-2得方差分析表方差來(lái)源平方和S自由度均方和F值因素A（機(jī)器）2.7530.92=053因素B（操作工）27.17213.58=7.89交互作用A×B73.50612.25=7.12誤差4.33241.72總和1094.75接受假設(shè)，拒絕假設(shè).即機(jī)器之間無(wú)顯著差異，操作之間以及兩者的交互作用有顯著差異.4. 為了解3種不同配比的飼料對(duì)仔豬生長(zhǎng)影響的差異，對(duì)3種不同品種的豬各選3頭進(jìn)行試驗(yàn)

16、，分別測(cè)得其3個(gè)月間體重增加量如下表所示，取顯著性水平=0.05，試分析不同飼料與不同品種對(duì)豬的生長(zhǎng)有無(wú)顯著影響？假定其體重增長(zhǎng)量服從正態(tài)分布，且各種配比的方差相等.體重增長(zhǎng)量因素B（品種）B1B2B3因素A（飼料）A1A2A3515352565758454947【解】由已知r=s=3,經(jīng)計(jì)算=52, =50.66,=53=52.34, =52, =57, =47,表9-4-1得方差分析表方差來(lái)源平方和S自由度均方和F值飲料作用8.6824.345.23品種作用15027590.36試驗(yàn)誤差3.3240.83總和162由于因而接受假設(shè),拒絕假設(shè).即不同飼料對(duì)豬體重增長(zhǎng)無(wú)顯著影響,豬的品種對(duì)豬體

17、重增長(zhǎng)有顯著影響.5.研究氯乙醇膠在各種硫化系統(tǒng)下的性能（油體膨脹絕對(duì)值越小越好）需要考察補(bǔ)強(qiáng)劑（A）、防老劑（B）、硫化系統(tǒng)（C）3個(gè)因素（各取3個(gè)水平），根據(jù)專(zhuān)業(yè)理論經(jīng)驗(yàn)，交互作用全忽略，根據(jù)選用L9(34)表作9次試驗(yàn)及試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)下表：表頭設(shè)計(jì)試驗(yàn)列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1 2 3 4結(jié)果1234567891 1 1 11 2 2 21 3 3 32 1 2 32 2 3 12 3 1 23 1 3 23 2 1 33 3 2 17.255.485.355.404.425.904.685.905.63試作最優(yōu)生產(chǎn)條件的直觀分析，并對(duì)3因素排出主次關(guān)系.給定=0.05,作方差分析與(1)比較.【解】(1

18、) 對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行極差計(jì)算，得表9-5-1.表9-5-118.0817.3319.0517.30T=50.0115.7215.8016.5116.0616.2116.8814.4516.652.361.534.461.24由于要求油體膨脹越小越好，所以從表9-5-1的極差Rj的大小順序排出因素的主次順序?yàn)椋褐鞔蜝,A,C最優(yōu)工藝條件為：.(2) 利用表9-5-1的結(jié)果及公式,得表9-5-2.表9-5-2A1B2C341.0340.4123.5390.256表9-5-2中第4列為空列，因此,其中，所以=0.128方差分析表如表9-5-3.表9-5-3方差來(lái)源顯著性A1.03420.5174.03

19、9B0.41220.2061.609C3.53921.76913.828e0.25620.128由于，故因素C作用較顯著，A次之，B較次，但由于要求油體膨脹越小越好，所以主次順序?yàn)椋築AC，這與前面極差分析的結(jié)果是一致的.6. 某農(nóng)科站進(jìn)行早稻品種試驗(yàn)（產(chǎn)量越高越好），需考察品種（A），施氮肥量（B），氮、磷、鉀肥比例（C），插植規(guī)格（D）4個(gè)因素，根據(jù)專(zhuān)業(yè)理論和經(jīng)驗(yàn)，交互作用全忽略，早稻試驗(yàn)方案及結(jié)果分析見(jiàn)下表：因素試驗(yàn)號(hào)A品種B施氮肥量C氮、磷、鉀肥比例D插植規(guī)格試驗(yàn)指標(biāo)產(chǎn)量123456781（科6號(hào)）12(科5號(hào))21(科7號(hào))12(珍珠矮)21(20)2(25)1212121(221)

20、2(323)1221211(5×6)2(6×6)21122119.020.021.922.321.021.018.018.2(1) 試作出最優(yōu)生產(chǎn)條件的直觀分析，并對(duì)4因素排出主次關(guān)系.(2) 給定=0.05,作方差分析，與(1)比較.【解】被考察因素有4個(gè)：A，B，C，D每個(gè)因素有兩個(gè)水平，所以選用正交表L8（27），進(jìn)行極差計(jì)算可得表9-6-1.表9-6-1列號(hào)水平試驗(yàn)號(hào)1A23B4C5D67試驗(yàn)結(jié)果1111111119.02111222220.03122112221.94122221122.35212121221.06212212121.07221122118.082

21、21211218.2T1j83.281.075.279.980.180.580.3T=161.4T2j78.280.486.281.581.380.981.1Rj5.00.611.01.61.20.40.8從表9-6-1的極差Rj的大小順序排出因素的主次為：最優(yōu)方案為：(2) 利用表9-6-1的結(jié)果及公式得表9-6-2.表9-6-21A23B4C5D673.1250.04515.1250.3200.1800.0200.080表9-6-2中第1,3,7列為空列，因此se=s1+s3+s7=18.330,fe=3,所以=6.110.而在上表中其他列中.故將所有次均并入誤差，可得整理得方差分析表為表

22、9-6-3.表9-6-3方差來(lái)源顯著性A0.04510.0450.017B0.32010.3200.119C0.18010.1800.067D0.02010.0200.007e18.33036.11018.89572.699由于，故4因素的影響均不顯著，但依順序?yàn)椋号c（1）中極差分析結(jié)果一致. 習(xí)題十1. 在硝酸鈉(NaNO3)的溶解度試驗(yàn)中，測(cè)得在不同溫度x()下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)y的數(shù)據(jù)如下，試求y關(guān)于x的線性回歸方程.xi0 4 10 15 21 29 36 51 68yi66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1【解】經(jīng)計(jì)

23、算得，故從而回歸方程：2. 測(cè)量了9對(duì)父子的身高，所得數(shù)據(jù)如下（單位：英寸）.父親身高xi60 62 64 66 67 68 70 72 74兒子身高yi63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70求（1） 兒子身高y關(guān)于父親身高x的回歸方程.（2） 取=0.05，檢驗(yàn)兒子的身高y與父親身高x之間的線性相關(guān)關(guān)系是否顯著.（3） 若父親身高70英寸，求其兒子的身高的置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間.【解】經(jīng)計(jì)算得，故回歸方程：故拒絕H0，即兩變量的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的.從而其兒子的身高的置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間為(68.5474±0.9540)=(67.59

24、34,69.5014).3.隨機(jī)抽取了10個(gè)家庭，調(diào)查了他們的家庭月收入x（單位：百元）和月支出y(單位：百元)，記錄于下表：x20 15 20 25 16 20 18 19 22 16y18 14 17 20 14 19 17 18 20 13求：(1) 在直角坐標(biāo)系下作x與y的散點(diǎn)圖，判斷y與x是否存在線性關(guān)系.(2) 求y與x的一元線性回歸方程.(3) 對(duì)所得的回歸方程作顯著性檢驗(yàn).（=0.025）【解】(1) 散點(diǎn)圖如右，從圖看出，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系.(2) 經(jīng)計(jì)算可得從而回歸方程：題3圖故拒絕H0,即兩變量的線性相關(guān)關(guān)系是顯著的.4.設(shè)y為樹(shù)干的體積，x1為離地面一定高度的樹(shù)

25、干直徑，x2為樹(shù)干高度，一共測(cè)量了31棵樹(shù)，數(shù)據(jù)列于下表，作出y對(duì)x1,x2的二元線性回歸方程，以便能用簡(jiǎn)單分法從x1和x2估計(jì)一棵樹(shù)的體積，進(jìn)而估計(jì)一片森林的木材儲(chǔ)量.x1(直徑) x2(高) y(體積)x1(直徑) x2(高) y(體積)8.3 70 10.312.9 85 33.88.6 65 10.313.3 86 27.48.8 63 10.213.7 71 25.710.5 72 10.413.8 64 24.910.7 81 16.814.0 78 34.510.8 83 18.814.2 80 31.711.0 66 19.715.5 74 36.311.0 75 15.616

26、.0 72 38.311.1 80 18.216.3 77 42.611.2 75 22.617.3 81 55.411.3 79 19.917.5 82 55.711.4 76 24.217.9 80 58.311.4 76 21.018.0 80 51.511.7 69 21.418.0 80 51.012.0 75 21.320.6 87 77.012.9 74 19.1【解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得正規(guī)方程組解之得，b0=-54.5041,b1=4.8424,b2=0.2631.故回歸方程：=-54.5041+4.8424x1+0.2631x2.5.一家從事市場(chǎng)研究的公司，希望能預(yù)測(cè)每日出版的報(bào)紙?jiān)诟鞣N不同居民區(qū)內(nèi)的周末發(fā)行量，兩個(gè)獨(dú)立變量，即總零售額和人口密度被選作自變量.由n=25個(gè)居民區(qū)組成的隨機(jī)樣本所給出的結(jié)果列表如下，求日?qǐng)?bào)周末發(fā)行量y關(guān)于總零售額x1和人口密度x2的線性回歸方程.居民區(qū)日?qǐng)?bào)周末發(fā)行量yi(×104份)總零售額xi1(105元)人口密度xi2(×0.001m2)13.02