圓錐曲線軌跡方程經(jīng)典例題

1、軌跡方程經(jīng)典例題一、軌跡為圓的例題：1、必修 2 課本 P124B 組 2:長為 2a 的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在x軸和y軸上移動(dòng)，求線段 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡方程:1必修 2 課本 P124B 組：已知 M 與兩個(gè)定點(diǎn)(0,0)，A( 3,0)的距離之比為一，求點(diǎn) M 的軌跡方程；(一般地：必修 2 課2本 P144B 組 2 :已知點(diǎn) M(X,y)與兩個(gè)定點(diǎn)MM2的距離之比為一個(gè)常數(shù)m;討論點(diǎn) M(X,y)的軌跡方程(分m=1，與 m = 1 進(jìn)行討論)2、必修 2 課本 P122例 5:線段 AB 的端點(diǎn) B 的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)(2013 新課標(biāo) 2 卷文 20)在平面直角坐標(biāo)系xOy

2、中，已知圓P在x軸上截得線段長(2)若P點(diǎn)到直線y=x的距離為，求圓P的方程。2如圖所示，已知 P(4, 0)是圓 x2+y2=36 內(nèi)的一點(diǎn)，A、B 是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足/ APB=90,求 矩形 APBQ的頂點(diǎn) Q 的軌跡方程.解：設(shè) AB 的中點(diǎn)為 R,坐標(biāo)為(x,y),則在 Rt ABP 中，AR|=|PR|又因?yàn)?R 是弦 AB 的中點(diǎn)，依垂徑定理：在 Rt OAR 中，|AR|2=|AO|2 |ORf=36（x2+y2）又|AR|=|PR|=、（x -4）2，y2所以有（x4)2+y2=36 (x2+y2),即 x2+y2 4x 10=0 因此點(diǎn) R 在一個(gè)圓上，而當(dāng) R 在此圓上

3、運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q 點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng) 設(shè) Q(x,y) ,R(X1,y” ,因?yàn)?R 是 PQ 的中點(diǎn)，所以対=口1二工0，代入方程 x2+y2 4x 10=0,得2 2(寧)2(寸)2-410=0 整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線丨：y = 2x-4設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直 線y =x -1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA =2M0，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.(2013 陜西卷理 20)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長為 8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡

4、C的方程；(2)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線I與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若x軸是.PBQ的角平分線，證明直線I過定點(diǎn)。為2.2，在y軸上截得線段長為2 3。(1)求圓心的 P 的軌跡方程;2 2(x 1) y =1上運(yùn)動(dòng)，求 AB 的中點(diǎn)M 的軌跡。二、橢圓類型：13、定義法：（選修 2-1P50第 3 題）點(diǎn) M（x,y）與定點(diǎn) F（2, 0）的距離和它到定直線x=8的距離之比為，求點(diǎn) M2的軌跡方程.（圓錐曲線第二定義）討論：當(dāng)這個(gè)比例常數(shù)不是小于1,而是大于 1， 或等于 1 是的情形呢？ （對應(yīng)雙曲線，拋物線）4、圓錐曲線第一定義：（選修 2-1P50第 2 題）一個(gè)

5、動(dòng)圓與圓2 2 2 2x y 6x 0外切，同時(shí)與圓x y - 6x -91 = 0內(nèi)切，求 動(dòng)圓的圓心軌跡方程。6、其他形式：（選修 2-1P50例 3）設(shè)點(diǎn) A,B 的坐標(biāo)分別是（-5,0），（ 5,0），直線 AM,BM 相交于點(diǎn) M，且他們的斜4率的乘積為-一，求點(diǎn) M 的軌跡方程：（是一個(gè)橢圓）94（討論當(dāng)他們的斜率的乘積為時(shí)可以得到雙曲線）9（2013 新課標(biāo) 1 卷 20）已知圓M :（x 1）2y1，圓N :（x -1）2y9，動(dòng)圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C。（ 1）求C的方程；（2）|是與圓P，圓M都相切的一條直線，I與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑

6、最長時(shí)，求AB（2013 陜西卷文 20）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M （x, y）到直線I : x二4的距離是它到點(diǎn)N （1,0）的距離的2倍。（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程（2）過點(diǎn)P（0,3）的直線m與軌跡C交于 代B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率。5、29圓錐曲線第一定義：點(diǎn) M（x,y）圓F1（x+1） +y =9上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F?（1,0）為定點(diǎn)。線段MF2的垂直平分線與MF1相交于點(diǎn) Q（x,y）,求點(diǎn) Q 的軌跡方程;（注意點(diǎn)F2（ 1,0）在圓內(nèi)）MF2FiMQF222M(Xo, yo)圓Fi(x 1) y =1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)MF?的垂直平分線與MFi相交于點(diǎn) Q(x,y),求點(diǎn) Q

7、(1,0)在圓外)165定義法：(選修 2-1P59例 5)點(diǎn) M(X,y)與定點(diǎn) F(5，0)的距離和它到定直線x的距離之比為，求點(diǎn) M 的軌跡方54程(圓錐曲線第二定義)四、拋物線類型：10、定義法：(選修 2-1 )點(diǎn) M(X,y)與定點(diǎn) F(2，0)的距離和它到定直線X =-2的距離相等，求 點(diǎn) M 的軌跡方程。(或：點(diǎn) M(x,y)與定點(diǎn) F(2, 0)的距離比它到定直線x =-3的距離小 1,求點(diǎn) M 的軌跡方程。)(2013 陜西卷文 20)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x,y)到直線I :x=4的距離是它到點(diǎn)N(1,0)的距離的2倍。(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌 跡C的方程(2)過點(diǎn)P(0,3)的直線m與

8、軌跡C交于A,B兩點(diǎn)，若A是PB的中點(diǎn)，求直線m的斜率已知三點(diǎn)0(0,0),A(-2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點(diǎn)M(x, y)滿足|MA MB |=OM (OA OB) 2。(1)求曲線C的方程；)在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1的點(diǎn)均在 C2： (x-5)2+ y2=9 夕卜，且對 C1上任意一點(diǎn) M , M 到直線 x= - 2 的距離等 于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值(I)求曲線 C1的方程；(湖北)設(shè) A 是單位圓 x2+y2=1 上的任意一點(diǎn)，i 是過點(diǎn) A 與 x 軸垂直的直線，D 是直線 i 與 x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn) M 在直線 I 上, 且滿足丨 DM| =m| D

9、A|( m0,且m1)。當(dāng)點(diǎn) A 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn) M 的軌跡為曲線 G(I )求曲線 C 的方程，判斷曲線 C 為何種圓錐曲線，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；三、雙曲線類型：&圓錐曲線第一定義：點(diǎn)F2(1,0)為定點(diǎn)。線段的軌跡方程;(注意點(diǎn)F22 2(四川)如圖，動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A(_1,0)、B(2,0)構(gòu)成MAB，且.MBA =2 MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C。(I)求軌跡C的方程；(n)設(shè)直線y - -2x m與y軸交于點(diǎn)P,與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ |：| PR|,求J_PRI的取值范圍。|PQ|二、填空題a a13.( ) ABC 中，A 為動(dòng)點(diǎn)，B、C 為定點(diǎn)，B(- - ,0)

10、,C(- ,0)，且滿足條件 si nC si nB=si nA,則動(dòng)點(diǎn) A 的軌跡方程為_.4. ()高為 5 m 和 3 m 的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距 10 m ,如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(-5,0)、B(5, 0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是 _ .三、解答題5. ()已知 A、B、的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)2與=1 的實(shí)軸為 AiA2,點(diǎn) P 是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引AiQ 丄 AiP, A2Q 丄 A2P, AiQ 與bA2Q 的交點(diǎn)為 Q,求 Q 點(diǎn)的軌跡方程.228.()已知橢圓 令y2=1(ab 0),點(diǎn) P 為其上一點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，/

11、 F1PF2的外角平分線為 I,a b點(diǎn) F2關(guān)于 I 的對稱點(diǎn)為 Q, F2Q 交 I 于點(diǎn) R.1.()已知橢圓的焦點(diǎn)是F2, P 是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長的軌跡是()2.( )設(shè)交點(diǎn)的軌跡方程為(2?B.橢圓 C.雙曲線的一支2 2A1、A2是橢圓 =1 的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，942 2Ax y丿A.194A.圓Pi、FiP 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn) QD.拋物線P2是垂直于 A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線 AiPi與 A2P22 2yxB.2XC.92x14C 是直線 I 上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6,OO 切直線 I 于點(diǎn) A,又過 B、C 作OO 異于 I P,求

12、點(diǎn) P 的軌跡方程2x6.()雙曲線一2a常數(shù)) )，動(dòng)圓點(diǎn)，G與Co相2 2由條件丄x -ay。xoayoxo _a-1xo=x(x圧士a)得-12 2x -ay0 =y而點(diǎn) P(xo,yo)在雙曲線上，. b2xo2 a2yo2=a2b2.2 2即 b2( x2) a2(xy2 2)=a b化簡得 Q 點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2 b2y2=a4(xza).8.解：(1 廠點(diǎn) F2關(guān)于 I 的對稱點(diǎn)為 Q,連接 PQ,/F2PR=ZQPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2|又因?yàn)?I 為/ F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)P、Q 在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0) ,Q(x1,y1),F

13、1( c,0),F2(c,0).2 2 2|FiQ|=|F2P|+|PQ|=|FiP|+|PF2|=2a,則(x 什 c) +yi=(2a).xo -x1y-Y1% 一2得 Xi=2xo c,yi=2yo.2 2 2 (2xo) +(2yo) =(2a),Xo2+yo2=a(1)當(dāng) P 點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 R 形成的軌跡方程；設(shè)點(diǎn) R 形成的曲線為 C,直線 I : y=k(x+a)與曲線 C 相交于 A、B 兩點(diǎn)，當(dāng) AOB 的面積取得最大值時(shí)，求一、1解析： IPF+lPFzFZaJPQFIPFzl，. |PFi|+|PF2|=|PFi|+|PQ|=2a,即|FiQ|=2a,.動(dòng)點(diǎn) Q

14、到定點(diǎn) Fi的距離等于定 長 2a故動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡是圓.2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y) ,Ai( 3,0),A2(3,0), Pi(xo,yo),P2(xo,yo)I,Ai、pi、p共線，=-A?、巳、p共線，x _ x0 x + 32 22 2 J L 解得 x0=9,y。=注代入得旦一匹即匚丄=1x - x0 x -3x x94941i、3.解析：由 sinC sinB= sinA,得 c b= a,二應(yīng)為雙曲線一支,22答案：16x2-16y22“(x 4a23a244.-解析：設(shè)P(x,y),依題意有 -2-寸(x+5)2+y2答案：4/+4y2 85x+100=0三、 5.解： 設(shè)過

15、 B、 C 異于 I 的兩切線分別切OO于 D、 E 兩點(diǎn)， 兩切線交于點(diǎn) P.由切線的性質(zhì)知： |BA|=|BD|,|PD|=|PE|, |CA|=|CE|,故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD |+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18 6=|BC|,故由橢圓定義知，點(diǎn)P 的軌跡是以 B、C 為兩焦點(diǎn)的橢圓，以 I 所在的直線為、x2y2x 軸，以 BC 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡方程為=1(yM0)81726.解：設(shè) P(xo,yo) (XM土 a),Q(x,y).TAi(a,0),A2(a,0).且實(shí)軸長為

16、|,故方程為16x216y2ax=22，化簡得P點(diǎn)軌跡方程為2 24x +4y 85x+100=0.故 R 的軌跡方程為：x2+y2=a2(yz0)1 a2如右圖， SAAOB|OA| |OB| sinAOB=sinAOB1當(dāng)/ AOB=90。時(shí)，&AOB最大值為a2.2此時(shí)弦心距|OC|=丨茫ak|J1 +k2.在 Rt AOC 中，/ AOC=45 ,罔=黑35仝專題一：求曲線的軌跡方程5. 如圖 4,垂直于y軸的直線與y軸及拋物線y2=2(x-1)分別交于點(diǎn)A、P，點(diǎn)B在y軸上，且點(diǎn)A滿足|AB | =2|OA|，則線段PB的中點(diǎn)Q的軌跡方程是 _.幾種常見求軌跡方程的方法： 丄

17、二-1，化簡得：(x )x x -a其軌跡是以0A為直徑的圓在圓0內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn)).已知直角坐標(biāo)平面上一點(diǎn)Q(2,0)和圓C:x2y1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長等于圓C的半 徑與| MQ |的和求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.解：如圖，設(shè)MN切圓C于N，又圓的半徑| ON|=1,|OM f = | NM |2|ON |2= |NM |21,|MN| =_|0M |2-1，由已知|MN |= |MQ | 1.課前自主練習(xí)：1如圖 1,ABC中，已知B( -2,0),C(2,0)，點(diǎn)A在x軸上方運(yùn)動(dòng)，且ta nB ta nC=2，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是_ ._ 2 22.如圖 2,若圓C

18、:(x 1) y =36上的動(dòng)點(diǎn)則G的軌跡方程是M與點(diǎn)B(1,0)連線BM的垂直平分線交CM于點(diǎn)G,3. 如圖 3,已知點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)P在圓x程是_ .4. 與雙曲線x -2y=2有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)(2, -2)的雙曲線方程為AP于Q，則Q的軌跡方1.直接法：由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件列出等式，再用 坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.直接法求軌跡方程的一般步驟： 建系設(shè)點(diǎn)列式代換化簡檢驗(yàn)；(1)求和定圓x2yR2的圓周的距離等于(2)過點(diǎn)A(a,0)作圓O：x2y R2(a R 0)的割線，求割線被圓O截得弦的中點(diǎn)的軌跡.設(shè)動(dòng)

19、點(diǎn)P(x,y)，則有|OP|=2R或|OP| =0.即x2y4R2或x2y0.故所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2 y2=4R2或x2 y2=0.設(shè)弦的中點(diǎn)為M (x,y)，連結(jié)OM，則OM _ AM.心也皿=一1,【例 1】解:( 1)化簡R的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;嚀y2謁2.2【例 2】22y-1上運(yùn)動(dòng)， AOP的平分線交設(shè)M (x, y)，貝H .x2y2-仁,(x2)2y21,4.待定系數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是確定的某種曲線時(shí)，設(shè)出這種曲線的方程，然后列方程，求出所設(shè)的參數(shù)，進(jìn)而求出方程.如求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求. 2【例 7】若拋物線y =4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實(shí)軸在y

20、軸上的雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，又直線y = 2x被雙曲線截得的線段長等于2.5，求此雙曲線方程.2 2解：設(shè)所求雙曲線方程為-X2務(wù)=1，將y2二4x代入整理得：a2x2-4b2x a2b2二0.a b拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程a2x2-4b2x a2b0應(yīng)有等根=16b44a3b2= 0, 即卩a 2b.2x22、22 2 c2=1得：(4b -a )x -a b = 0.b2_ _ i2b221八八4 %).-a2.由a2；2b22得：a2=2,b2=1.雙曲線的方程是a b =4b -a5 .參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不

21、易建立時(shí)，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t，并用t表示動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)x、y，從而動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程Xf(t)消去參數(shù)t,便可得到動(dòng)點(diǎn)P的二2x -3 (x -2)2y2，即3x2y2_8x 5=0 (x _3).可化為9(x -4)2-3y2=1 (x_衛(wèi)).v23245故所求的軌跡是以點(diǎn)(_,：)為中心，實(shí)軸在x軸上的雙曲線的右支，頂點(diǎn)為(_,：)，如圖.33【例 4】已知定圓A的半徑為r，定點(diǎn)B與圓A的圓心A的距離為m (m . 2r).又一動(dòng)圓P過定點(diǎn)B, 且與定圓A相切.求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.解：以AB所在的直線為x軸， 當(dāng)動(dòng)圓P與定圓A外切時(shí)， 由雙曲線的定義知?jiǎng)訄A圓心 支).顯然，c =m，又a22 2222m7故b = c a :4x軸上的雙曲線的右支，頂點(diǎn)為以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖.|PA| _|P