2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽(四川初賽)試題及答案

1、2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽（四川初賽）（5 月 14 日下午 14:3016:30）題目一一三總成績13141516得分評卷人復(fù)核人考生注意：1.本試卷共有三大題（16個小題），全卷滿分140分2. 用黑（藍(lán)）色圓珠筆或鋼筆作答。3. 計算器，通訊工具不準(zhǔn)待入考場。4. 解題書寫不要超過封線一，單項選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）1 .已知函數(shù)f（x ）=aln x+x2在x=1處有極值，則實數(shù)a的值是（）A. -2 B. -1 C. 1D.22 .已知j P w（0,冗）t am,t a R是方程2+3x+1 = 0的兩個根，則cos（u P的值是（）A.B.C.D.3

2、.在（x + y+z8的展開式。所有形如x2yazb（a.bWN ）的項的系數(shù)之和是（）A. 112 B. 448 C. 1792D.14336224 .已知F1，F(xiàn)2為橢圓 備+與=1（aAb>0 ）的左，右焦點，該橢圓上存在兩點 A,B, a b使得FA=3F2B,則該橢圓的離心率的取值范圍是（A. (0. 1) B. (0. 1 ) C. (1,1) D. 2321)AC 十 AB的最大值時（B.3C.2D.55 .已知 ABC, AB BC = 3CA AB46 .已知數(shù)列 Q滿足：an = （2+1n-（V2-1n（n N）,用lx】表示不超過實數(shù) x的最大整數(shù)，則az。”】的

3、個位數(shù)是（）A.2B.4C.6D.87.已知函數(shù)f（x）=25x25x 58.設(shè) a w R,復(fù)數(shù) zi =a +i, z2 =2a +2iZ3=3a+4i ,其中i是虛數(shù)單位，若馬，Z2 ,Z3成等比數(shù)列，則實數(shù)a的值是,填空題（本大題共6個小題，每條題5分，共30分）2016 f k 、則工f iy <2017)22的最小值是9 .若P（x,y混雙曲線士匕=1上的點，則x-8410 .如圖，設(shè)正方體ABCD -ABC1D1的棱長為1, a為過直線BD1的平面，則 必a截該正方體的截面面積的取值范圍是11 .已知實數(shù)x1,x2,x3滿足：x12+x2+x2+x1x2+x2x3 =2，則

4、x2的最大值是12 .設(shè)集合M =1,2,3,4,5,6,7,8,9,1。, A= &x, y, z )1 x, y,z- M，且 9| (x3 + y3 + z3則集合A中元素的個數(shù)是,解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）13.已知數(shù)列6滿足:ai=a,a5an -8n 1 一；an -1(1)若a=3,求證：數(shù)列包二2?成等比數(shù)列，并求出數(shù)列七的通項公式; .an -4,(2)若對任意的正整數(shù)n,都有an >3,求實數(shù)a的取值范圍。14.1993年，美國數(shù)學(xué)家F.Smarandache提出許多數(shù)論問題，引起國內(nèi)外相關(guān)學(xué) 者的關(guān)注，其中之一便是著名的 Smaran

5、dache函數(shù)。正整數(shù)n的Smarandache函數(shù)定義為 Sn)=min 'ml m N*,n| m!，,比如：S2)=2, S3)=3, S6)=3(1)求數(shù) S (16)和 S (2016)的值；(2)若S (n) =7,求正整數(shù)n的最大值；(3)證明：存在無窮多個合數(shù)n,使得S(n)=p，其中p為n的最大質(zhì)因數(shù).15 .如圖，點A與點A'在x軸上，且關(guān)于y軸對稱，過點A'垂直于x軸的直線與拋物線y2 =2x交于B,C,點D為線段AB上的動點，點E在線段AC上，?西足幽=四CA AB(1)求證：直線DE與此拋物線有且只有一個公共點；(2)設(shè)直線DE與此拋物線的公共

6、點F,記BCFt ADE勺面積分別為 § , S2,求盤的值.S216 .設(shè) u, P 為實數(shù)，若對任意的實數(shù) x, y, z,有u(xy + yz + zx)W M wP(x2 + y2+z2)包成立，其中22 -22222222-22M = x xy y . y yz z y yz z z zx x z zx x x xy y求口的最大值和P的最小值2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（四川初賽）試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一，選擇題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）1.A2.B3.C4.C5.B6.A二，填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）67.10088.09.210. |-

7、6,7211.212.243三，解答題（本大題共4個小題，每小題20分，共80分）5an -8 .- 213.證明：（1）因為 陋二2 =亙二1一=3 ,史二2an 1 - 4 5an -8 _ 4an - 4an -1所以，數(shù)列曳二2>成等比數(shù)歹I、an -4,于是且二2=曳二2 3n，解得a an 4 a1 44 3、2n - 3n4 14 3n,2, .an 二 n-d即數(shù)列Gn的通項公式3 +110分（2）法1:因為an a 3對任意的正整數(shù)n都成立，故2=日>3由（1）知a心=曳2 3n工= _3nan -4a1 -4解得an =3n1當(dāng) 3<a<4 時,則

8、b<0,注意到 0 Ab 3nJ>b 3n -12b 3n -12b 3n-1,于是an書A an ,即數(shù)列an單調(diào)遞增1015分從而an >3,因止匕3 <a <4當(dāng)a=4時，由條件可知an =4滿足條件:當(dāng) a>4 時，a -2>a-4>0 ,則 b>1 b 3n,1注意到an =3+b 3n,而b .3n>0,故an >3,滿足條件b 3-1綜上，所求實數(shù)a的取值范圍(3,+的)20分法2:因為烝>3對任意的正整數(shù)n都成立，故a = &A3下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)a>3時，對任意的正整數(shù)n,都有an &

9、gt;3 當(dāng)n =1時，結(jié)論成立：假設(shè)n = k(k至1網(wǎng)，結(jié)論成立當(dāng)門=卜+1 時，注意至U ai = ak- = 3 + ak,15 分ak -1ak -1于是結(jié)論對n = k+1也成立.由歸納原理知，對任意的正整數(shù) n,都有an 3綜上，所求實數(shù)a的取值范圍(3,+如)20分14.解：因為16=24 ,故S(16)=65分由 20 1 6 = 25 x 32 父7知S(2016 )=maxg(25), S(32 ), S(7 j又 S(7)=7, S(32)=6, S(25 )=8,故 S(2016)=810 分(2)由 S(n )=7知n 17!,從而 n <7!又S(7! )=

10、7.所以，正整數(shù)n的最大值是7! =504015分(3)因為對任意奇質(zhì)數(shù) P,取n=2P ,都有S(n)=P所以，存在無窮多個合數(shù) n,使得S(n )= P,其中P為n的最大質(zhì)因數(shù)20分 15,解：（1）設(shè) A（ 2a2,0）, A2a2,0）所以可得 B2a2,2a ,C2a2,-2a,設(shè) D（x1, y1 ）, AD = ZAB，則 CE =九CA于是8+2a2,y )=九(4a2,2a)故D的坐標(biāo)為4九_2尸2,2人a)設(shè) E(x2，y2 ),由CE=nCA導(dǎo)，儀22a2,y2+2a)=M4a2,2a)所以E的坐標(biāo)為2 -4Z a2 , (2九_2 a )2a1因此直線DE的斜率為：kD

11、E =_2ar=1一，8 -4 a24' -2 a5分所以直線DE的方程是y2Ka=1(x-(4Z-2 a2 ,4- -2 a化簡得，(4人2 Ry 2>La(4九一2 a = x (4九一2 a 即，x = 2a(2九一1 '一2a (2九1)222 1與拋物線方程聯(lián)立，得y = 2 2a 2 - 1 y - 2a 2 - 1,即 y2 -4a 2 -1 y 4a2 2 , -12=0此時，方程有兩個相等的根：y = 2a 2，-1代入，得x -2a2 2- -1 2所以直線 DE 與此拋物線有且只有一個公共點F(2a2(2?.-1f , 2a(2九一1 )10分(2)

12、1 1S =Scf = BC h= 4a2a2 -xF )=4a3(4九一4K2)15分2 2設(shè)直線DE與x軸交于點G,令y=o.代入方程，x = 2a（2?1）y 2a2（2，0 1f解得 x = a2（2九一1立故AG =2a2 2a2（2九-12 =2a2（4九一4九2）于是S2 = S.ADE二 S&DG _S&EG = 1 AG ' Yd -Ye| = a2(4九一 4九2 ) 27 a (2九一 2 a| = 2a3(4九 一4九2)以20所S1S216.解：取 x = y = z=1,有3a <9 <3P，則 a <3 , P >3(1)先證：M占3(xy+yz+zxg寸任意白勺實數(shù)x,y,z成立因為.x2 xy y2 , y2 yz z2心力4y卜，UYz+義<2人 2J 4112: xz xy yz y22=2 xy yz zx Ex2，一一 _ r 11所以