柯西不等式習(xí)題

1、.柯西不等式教學(xué)題庫大全一、二維形式的柯西不等式(a 2b2 )(c 2d 2 )(acbd ) 2 (a , b, c , dR , 當(dāng)且僅當(dāng) adbc時(shí) ,等號(hào)成立 .)二、二維形式的柯西不等式的變式(1)a2b2c2d 2acbd(a , b, c , dR , 當(dāng)且僅當(dāng) adbc時(shí),等號(hào)成立 .)(2)a2b2c2d 2acbd ( a , b , c, dR , 當(dāng)且僅當(dāng) adbc時(shí),等號(hào)成立 .)(3)(ab)(cd)( acbd ) 2(a , b , c , d0 , 當(dāng)且僅當(dāng) adbc時(shí)，等號(hào)成立 .)三、二維形式的柯西不等式的向量形式. (當(dāng)且僅當(dāng)是零向量 , 或存在實(shí)數(shù)

2、k , 使k時(shí) ,等號(hào)成立 .)借用一句革命口號(hào)說：有條件要用；沒有條件，創(chuàng)造條件也要用。比如說吧，對(duì)a2 + b2 + c2，并不是不等式的形狀，但變成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2) 就可以用柯西不等式了?；痉椒ǎ?）巧拆常數(shù)：例 ：設(shè) a、b 、 c 為正數(shù)且各不相等。求證：22291abb cc aa bc（2）重新安排某些項(xiàng)的次序：例 2： a 、 b 為非負(fù)數(shù)， a + b =1， x1 , x2R 求證： (ax1bx2 )(bx1ax2 )x1 x2（3）改變結(jié)構(gòu)：例 3、若 a > b > c求證：114abbcac

3、（4）添項(xiàng)：例 4： a, b, c R求證：abc3ccaa b2b;.【 1】、設(shè) a(2,1,2), b6 ，則 a b 之最小值為 _；此時(shí) b _。答案： 18;(4,2,4)解析： aba b a b1818a b 18ab 之最小值為 18，此時(shí) b2a(4,2, 4)【2】 設(shè) a(1，0，2)， b(x，y，z)，若 x 2y2z216，則 a b 的最大值為?！窘狻縜(1，0， 2)， b(x， y，z) a bx 2z由柯西不等式 1 20(2)2(x 2y2z2 )(x02z)2516(x2z)245x4545a b45 ，故 a b 的最大值為 45【3】空間二向量a

4、(1,2,3)，(x, y, z)，已知 b56 ，則(1) ab 的最大值為多少？ (2)此時(shí) b？bAns： (1) 28：(2) (2,4,6)【4】設(shè) a、b、c 為正數(shù)，求 (abc)( 4936 ) 的最小值。 Ans：121abc【5】. 設(shè) x ，y，zR，且滿足 x2y2z25，則 x2y3z 之最大值為解 (x2y3z) 2(x 2y2z2 )(1 22232)5 14 70x2y3z 最大值為70【6】 設(shè) x， y， zR，若 x2y2z24，則 x2y2z 之最小值為時(shí)， (x，y，z)解(x2y2z)2(x2y2z2)1 2(2) 222 4936x2y2z 最小值

5、為6，公式法求 (x，y，z) 此時(shí) xyz622212222( 2)23x2 ， y4 ， z4333【7】設(shè) x, y, zR ， x2y 2z225 ，試求 x2y2z 的最大值 M 與最小值 m。Ans： M15; m15【 8】、設(shè) x, y, zR , x2y 2z225 ，試求 x2 y2z 的最大值與最小值。;.答：根據(jù)柯西不等式(1 x 2 y 2 z) 212( 2)222 ( x 2y2z2 )即 (x2 y2z) 2925而有15x2 y2z 15故 x2y2z 的最大值為15，最小值為 15?！?9】、設(shè) x, y, zR , 2x y2z 6 ，試求 x 2y 2z

6、2 之最小值。答案：考慮以下兩組向量u = ( 2, 1, 2)v =( x, y, z )根據(jù)柯西不等式 (u v) 2u2v2 ，就有 2x ( 1) y ( 2) z 222( 1)2( 2) 2 ( x2y 2z2 ) 即(2xy2z)29( x2y 2z2 )將 2xy2z6 代入其中，得369(x 2y2z2 ) 而有x 2y 2z24故 x 2y 2z2 之最小值為 4?！?0】設(shè) x, y, zR ， 2xy2z6 ，求 x2y2z2 的最小值 m，并求此時(shí) x、 y、 z 之值。Ans： m4; ( x, y, z)(424,)333【11】 設(shè) x， y，zR， 2x2yz

7、80，則 (x1)2(y 2)2(z3)2 之最小值為解： 2x2y z8 02(x 1)2(y2)(z 3)9，考慮以下兩組向量u = (,) ， v =(,) (u v ) 222uv2(x 1)2(y2)(z 3) 2(x1)2(y 2) 2(z 3) 2(222212)(x2(y 2)2(z 3)2 (9) 291)9【 12】設(shè) x, y, zR，若 2x 3 yz3 ，則 x2( y1) 2z2 之最小值為 _，又此時(shí) y_。解： 2x 3 y z 32x3(y1)z ()，考慮以下兩組向量u = (,) ， v =(,)解析： x2( y1) 2z2 22(3) 212 ( 2x

8、3y3z) 2 x 2( y1) 2z2 36最小值 18xy1z147x2y3z3 ,t2 ( 2)t3 ( t 31 )323t ,1;.32 t y77【13】 設(shè) a，b，c 均為正數(shù)且 a b c9，則 4916 之最小值為abc解：考慮以下兩組向量u = (,) ， v =(,)( 416 )(a b c)(u v) 2uv( 2a3b4c )2922abcabc( 4916 )9(2 34)281abc4916819abc9【 14】、設(shè) a, b, c 均為正數(shù)，且 a2b 3c2，則 123 之最小值為 _，此時(shí) a _。abc解：考慮以下兩組向量u = (,) ， v =(

9、,)( 2)2( 3)2(u v) 2uv( a )2( 2b ) 2( 3c )2 ( 1 ) 2(1 2 3)222abc (123)18 ，最小值為 18等號(hào)發(fā)生于u / v故a2b3cabc1231abc a b c 又 a 2b 3c 2 a3【15】. 設(shè)空間向量 a 的方向?yàn)椋?， ，0， ，csc29 csc225 csc2的最小值為。解sin2sin2sin22 由柯西不等式(sin 2sin2sin2) (1 )2(3)2(5)2(1 35)22(csc29csc225csc2 ) 81sinsinsincsc29csc225csc281故最小值為 8122【注】本題亦可求

10、tan29 tan225tan2與 cot29cot 225cot2之最小值，請(qǐng)自行練習(xí)。【16】. 空間中一向量 a 與 x 軸， y 軸， z 軸正向之夾角依次為，（，均非象限角），;.求149的最小值。sin 2sin 2sin 2解 : 由柯西不等式(1)2(2) 2(3)2 (sin 2sin 2sin 2)sinsinsin(1sin2sin3sin) 2sinsinsin(1) (4)(9)(sin2sin2sin2)(123)22sin22sinsinsin2sin2sin222(149)36(149) 182sin2sin22sin2sin2sinsin149的最小值18si

11、n 2sin 2sin 2【17】.空間中一向量 a 的方向角分別為 ,，求92516的最小值。sin2sin 2sin 2答 72 利用柯西不等式解之【 18】、設(shè) x, y, zR，若 (x1) 2( y2) 2z24，則 3xy2z 之范圍為何？又 3xy 2z 發(fā)生最小值時(shí)， x？答案： ( x1) 2( y2) 2z 2 32(1) 2( 2)2(3x3y22z)24(14)(3xy2z5) 22 143xy2z52 1452143xy 2z5 214若 3xy2 z52 14又 x1y 2zt 3(3t 1) ( t 2) 2( 2t) 5 2 14312 t14 x314177【

12、19】 設(shè)ABC 之三邊長 x， y，z 滿足 x2y + z = 0 及 3x + y2z = 0，則ABC 之最大角是多少度？x 2 y z 02 11 112【解】x：y：z =1：23：= 3：5：73x y 2z0231設(shè)三邊長為 x = 3k， y = 5k，z = 7k 則最大角度之 cos= (3k )2(5k)2(7k )2=1， =1202(3k)(5k)2【20】. 設(shè) x， y， zR 且 (x 1) 2( y2)2( z3) 21，求 xyz 之最大值，最小值。1654Ans 最大值 7；最小值3;.【解】(x 1) 2( y 2) 2(z 3)216541由柯西不等

13、式知42(5)22x 12(y 22(z 324(x 15(y 22 () 245245( z 3)225 1 (x y z 2)25 |x y z 2|25xyz253xyz7故 xyz 之最大值為 7，最小值為3【21】. 求 2sin3 cossincos cos的最大值與最小值。答. 最大值為 2 2 ，最小值為22【詳解】令向量 a(2sin ，3 cos ，cos )， b(1，sin ，cos )由柯西不等式| a b |a |b |得| 2sin3 cossincos cos |4 sin23 cos2cos2，1sin2cos24(sin 2cos2)(1sin 2cos2)

14、22所求最大值為 22 ，最小值為2 2【22】 ABC的三邊長為 a、b、c，其外接圓半徑為 R，求證：(a 2b2c 2 )(1A1B1)36 R2 證明：由三角形中的正弦定理得sin 2sin 2sin 2Csin Aa，所以14R 2，同理14R214R2sin2Aa2sin2Bb2 ，2Cc2于是左邊 =2Rsin;.(a 2b2c 2 )( 4R24R 24R2)( a 2Ra 2Ra2R)236R2 。a2b2c 2abc【 23】求證 :點(diǎn) P(x0 ,y0)到直線 Ax+By+C=0的距離 d=| Ax0By0C |.A2B 2證明 :設(shè) Q(x,y) 是直線上任意一點(diǎn),則

15、Ax+By+C=0. 因?yàn)?|PQ|20 20222=(x-x ) +(y-y) ,A+B 0,由柯西不等式得(A2222222| Ax0By0C |+B )(x-x 0)+(y-y 0) A(x-x 0)+B(y-y0)= (Ax+By)-(Ax 0+By 0)=(Ax 0+By 0+C) ,所以 |PQ| B 2.A2當(dāng)x x0y y0Ax 0 By0 C時(shí) ,取等號(hào) ,由垂線段最短得| Ax0By0C |ABA2B 2d=A2B 2.111【 24】已知正數(shù) x,y,z 滿足 x+y+z=xyz, 且不等式恒成立 ,求 的范圍 .xyyzzx解析 :由二元均值不等式及柯西不等式,得111 1111 (zzxzy)x y y z z x2 xy 2 yz 2 zx2x yx yx yz1 (121212 )(zxy)3 故 的取值范圍是3,+ ).2x y z x y z x y z22溫馨提示本題主要應(yīng)用了最值法,即不等式111111x y y z z x恒成立 ,等價(jià)于 () max,問題轉(zhuǎn)x y y z z x化為求 f(x,y,z)=111的最大值 .x y y zz x【 25】設(shè) a,b,c,x,y,z 均為正實(shí)數(shù) ,且滿足 a2+b2+c2=25,x2 +y2+z2 =36,ax+by+cz=30