熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理復(fù)習(xí)

1、熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理復(fù)習(xí)（ 2011 年）一、 簡答題（每小題 4 分， 共 20 分）二、 填空題（每空 2 分，共 36 分）三、 證明和計(jì)算題（ 10+12+10+12=44 分）第一部分1. 熵增原理（ P42）在絕熱過程中，系統(tǒng)的熵永不減少，對(duì)于可逆絕熱過程，系統(tǒng)的熵不變； 對(duì)于不可逆絕熱過程，系統(tǒng)的熵總是增加，這個(gè)結(jié)論叫做熵增加原理。2. 特性函數(shù) （ P63）如果適當(dāng)選擇獨(dú)立變量（稱為自然變量） ，只要知道一個(gè)熱力學(xué)函數(shù)，就 可以通過求偏導(dǎo)數(shù)而求得均勻系統(tǒng)的全部熱力學(xué)函數(shù)， 從而把均勻系統(tǒng)的 平衡性質(zhì)完全確定。這樣的熱力學(xué)函數(shù)稱為特性函數(shù)。3. 熱力學(xué)第二定律的兩種表述及其本質(zhì)（ P3

2、0） 熱力學(xué)第二定律的克氏表述： 不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不 引起其他變化 , 這種表述反映了熱傳導(dǎo)的不可逆性；開氏表述：不可能從 單一熱源吸熱使之完全變成有用功而不引起其他變化 , 這種表述反映了功 熱（ 或熱功 ）轉(zhuǎn)換的不可逆性 .4. 熵判據(jù)（ P76） 如果孤立系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到了熵為極大的狀態(tài)，就不可能在發(fā)生任何宏觀變 化，系統(tǒng)就達(dá)到了平衡態(tài)。 我們可以利用熵函數(shù)這一性質(zhì)來判定孤立系統(tǒng) 的平衡態(tài)，這稱為熵判據(jù)。如5. 單元系、單元復(fù)相系（ P80）單元系是指化學(xué)上純的物質(zhì)系統(tǒng)，它只含一種化學(xué)組分（一個(gè)組元）果一個(gè)單元系不是均勻的，但可以分為若干個(gè)均勻的部分， 該系統(tǒng)稱為單 元復(fù)

3、相系。比如水和水蒸汽共存構(gòu)成一個(gè)單元兩相系。6. 單元復(fù)相系平衡條件包括哪些？ （P82）單元復(fù)相系達(dá)到平衡條件必須同時(shí)滿足熱學(xué)平衡條件、力學(xué)平衡條件和相平衡條件。7. 等幾率原理（P178）對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率是相等的。這是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的基本假設(shè)。8空間（P165）設(shè)粒子的自由度為r,為了形象地描繪粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用qi，q r ；共2r個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)2r維空間，稱為空間。粒子在某一時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（qi，； Pi， ， Pr）可以用空間中一點(diǎn)表示，稱為粒子力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)代表點(diǎn)。9.近獨(dú)立粒子系統(tǒng)（P174）近獨(dú)立粒子系統(tǒng)是指系統(tǒng)中的粒子

4、之間相互作用很弱，相互作用的平均能 量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量，因而可以忽略粒子間的相互作用，將整個(gè)系統(tǒng)的能量表達(dá)為單個(gè)粒子的能量之和10. 全同性粒子系統(tǒng)（P174）全同性粒子系統(tǒng)是指由具有完全相同的內(nèi)稟屬性（相同的質(zhì)量、電賀、自 旋等等）的同類粒子組成的系統(tǒng)。11. 玻色子、費(fèi)米子 （P175）自然界中的基本粒子可分為兩類，自旋量子數(shù)為半整數(shù)的稱為費(fèi)米子；自 旋量子數(shù)為整數(shù)的稱為玻色子。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個(gè)最根本的觀點(diǎn)是，宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的特性是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。13. 統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的最根本觀點(diǎn)是什么？（ P187）ai費(fèi)米分布;玻耳茲曼分布：ai

5、= -.i-bl ；玻色分布與費(fèi)米分布:玻色分布）14. 玻耳茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式（P187、P佃6）a非簡并條件（經(jīng)典極限條件）：e1或者亠輕1或者n： 1氣體越稀i薄，溫度越高，分子質(zhì)量越大越容易滿足。（P228）若簡并條件：或n，3雖小但不可忽略；（P239）強(qiáng)簡并條件：e-： 1或者n3 115. 簡并條件（經(jīng)典極限條件）、弱簡并條件、強(qiáng)簡并條件（P175）系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述：假如全同粒子可以分辨，確定全同近獨(dú)立粒子 組成的系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)歸結(jié)為確定每一個(gè)粒子的個(gè)體量子態(tài)；對(duì)于不 可分辨的全同粒子，確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)歸 結(jié)為確定每一個(gè)

6、個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)。17系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述（量子）第二部分第一章用熵的定義式計(jì)算熵增第二章證明題P53 P54 ；第六章 P1886.1、6 3、第七章 P195推導(dǎo)單原子理想氣體物態(tài)方程；P220 7 1片2第八章 卩240 241推導(dǎo)費(fèi)米能級(jí)（ 0）（3二J ；2m V第早1、證:選擇T , p為獨(dú)立變量，焓的全微分為dHdTp(1)而由dH =TdS Vdp(2)及以T, p為變量，熵的全微分表達(dá)dS 二(3)(cS dT + T j疋p丿T比較(1)和(4)得.-p T可得dH =T f p=v由麥?zhǔn)详P(guān)系dp(5)(4)2、證明:及以證畢(6)選T，V為獨(dú)立變量,dU =而由內(nèi)能

7、的全微分為dU =TdS - pdVT，V為自變量時(shí)熵的全微分表達(dá)dSdT +i dV 2 分 可得 5丿tdU 二T -p,(2)比較（1）和（2） 得fcU由麥?zhǔn)详P(guān)系0 Jv(3)（3）式變?yōu)椋唬篣=T：:PcT八22二 L證畢。第八早 6.1解：在體積V內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p+dp范圍內(nèi)三維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為(1)4 二V 2 P dp h自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為2 p2m2因此有 p =2m;I m Idp = d ；雖丿（2）（3）22二 L22二 L將（2）（ 3）代入（1）即得在體積V內(nèi)，在；到d ；的能量范圍內(nèi)，三維自由粒子的量 子態(tài)數(shù)為3 2(2m)(4)6.2證明：面積

8、L2內(nèi)，動(dòng)量大小在p到p+dp范圍內(nèi)二維自由粒子可能的量子態(tài)數(shù)為pdp(2)自由粒子的能量動(dòng)量關(guān)系為22二 L2m因此有p = (2 m ;)(3)(4)m 12(3) (4) (2)得在面積l2內(nèi)，在；到二亠d ；的能量范圍內(nèi)二維自由粒子量子態(tài)數(shù)為(5)第七章1解：將單原子理想氣體能量表達(dá)式為12 2 2=(Px +Py + Pz )2 m在相空間dxdydzdp xdp ydp z范圍內(nèi)，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)為dxdydzdp x dpydpz于是，系統(tǒng)配分函數(shù)為1h3e 2mdxdydzdp xdp y dp zV(1)V(1)上式可分解為六個(gè)積分相乘:-2mp2 dp-0:edpy J

9、dPz由積分公式，可得V(1)V(1)=V其中V in dxdydz是氣體的體積。根據(jù)p =史In Z可求得系統(tǒng)的壓強(qiáng)為P eVNkT2證:處在邊長為L的立方體中，非相對(duì)論粒子的能量本征值為12 二 2222()(nx ny - nz)2 m 2 m LV(1)f =1: 1(0)為了方便，將上式簡記為；i二 aV 3(2)3其中V八為系統(tǒng)的體積，常量），并以單一指標(biāo)1代表nxnynz三個(gè)量子數(shù)，由（2）得52虧2；iaV 3-(3):V33 V代入壓強(qiáng)公式有；| 22 UP - -7 a 1a 1 -1 (4);V3V13 Va2z2n y nTn22 mf =1: 1(0)f =1: 1(

10、0)式中U八* ai ；i是系統(tǒng)內(nèi)能1上述證明未涉及分布ai，的具體表達(dá)式，因此（4）式對(duì)波耳茲蔓分布、玻色分布和費(fèi)米分布都成立。第八章根據(jù)費(fèi)米分布，溫度為T處在能量為；的平均一個(gè)量子態(tài)上的電子數(shù)為（1）kTe - 1考慮到自旋因子，在體積V內(nèi)在的能量范圍; V ;內(nèi)，電子的量子態(tài)數(shù)3f =1: 1(0)f =1: 1(0)所以在體積V內(nèi)在的能量范圍 一d ；內(nèi)，平均電子數(shù)為i 4二V 32； 2d ;-2m -he kT +1(4)在給定系統(tǒng)N、T、V情況下，化學(xué)勢能由下式?jīng)Q定(2m )2e kT 1以J（0）表示0K時(shí)電子氣體的化學(xué)勢，由（1）知當(dāng)0K時(shí)(5)f =0； 7(0)上式可知J(0)為0